8.9二重積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第一講第一講 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 教學(xué)要求教學(xué)要求 1. 理解二重積分的意義與性質(zhì)；理解二重積分的意義與性質(zhì)； 2. 掌握二重積分的概念與性質(zhì)。掌握二重積分的概念與性質(zhì)。平頂柱體體積平頂柱體體積=底面積底面積高高曲頂為平頂曲頂為平頂.求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積 V =？曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、實(shí)例一、實(shí)例曲頂柱體曲頂柱體: :平面上的有界閉區(qū)域平面上的有界閉區(qū)域D D為底，為底，xoy以以,),(常數(shù)時(shí)常數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxf側(cè)面是以側(cè)面是以D D的邊界曲線為準(zhǔn)線的邊界曲線為準(zhǔn)線, ,母母線平行線平行 軸

2、的柱面所圍成的圖形軸的柱面所圍成的圖形. .z)0(),( yxfz以連續(xù)曲面以連續(xù)曲面為頂，為頂，)0(),( yxfz以連續(xù)曲面以連續(xù)曲面為頂，為頂，),(yxfz D例如例如曲頂柱體體積曲頂柱體體積 V V 求法如下：求法如下：（1分割分割:D 將區(qū)域?qū)^(qū)域: 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域n , , 1i 記為記為i 并并表表示示該該區(qū)區(qū)分別以這些分別以這些小區(qū)域的邊界曲小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，線為準(zhǔn)線，),(yxfz D Dzxyo任意任意分成分成. , n , 域域的的面面積積i ),(yxfz D Dzxyo , 頂頂柱柱這這些些柱柱面面把把原原來來的的曲曲軸軸的的柱柱面面作作母母線線平平行行

3、 z . 個(gè)個(gè)如如下下圖圖其其中中第第個(gè)個(gè)小小曲曲頂頂柱柱體體體體分分成成in(2)求每個(gè)小曲頂柱體的體積近似值：求每個(gè)小曲頂柱體的體積近似值： , 個(gè)小曲頂柱體為例個(gè)小曲頂柱體為例以第以第 i),(iii 個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在第第),(ii ,),(為高為高以以iif ,可可得得到到平平頂頂柱柱體體從從而而可可個(gè)個(gè)小小曲曲頂頂柱柱體體體體得得到到第第 i的近似值的近似值積積 iV iVni,.,2 , 1 ),(iif ,為為底底以以i iiif ),(3)求近似和：求近似和： niiVV1iniiif 1),(（4取極限：取極限：,分分割割得得越越細(xì)細(xì)密密當(dāng)當(dāng)區(qū)區(qū)域域D,

4、V和式越接近于體積和式越接近于體積 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域中中的的直直徑徑最最取取 n, 大者記為大者記為則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 iniiifV 10),(lim iVni,.,2 , 1 iiif ),(上式右端的上式右端的xyoD 有有一一質(zhì)質(zhì)量量非非均均勻勻分分布布的的平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域 D，求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量將區(qū)域?qū)^(qū)域 D任意任意 分成若分成若干干 個(gè)小區(qū)域，（如右圖）個(gè)小區(qū)域，（如右圖） xy),(yx 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，且且),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)， 求求平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量 M求法步驟如

5、下：求法步驟如下：（1分割：分割：ni ,., . , , 21記記為為i 且表示該區(qū)域的面積。且表示該區(qū)域的面積。（2求近似：求近似：的的近近個(gè)個(gè)小小薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量則則第第iMi , 個(gè)小薄片為例個(gè)小薄片為例以第以第i個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域在第在第i , ) ,( ii 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn):似似值值為為iiiiM ),(),(ii ni,.,2 , 1 .),(lim10iiniiM （3求和：求和： 將求得的將求得的 n 個(gè)小薄片質(zhì)量相加，個(gè)小薄片質(zhì)量相加，便得到整個(gè)薄片質(zhì)量便得到整個(gè)薄片質(zhì)量 M 的近似值：的近似值： niiMM1iniii 1),(（4求極限：求極限：將區(qū)域?qū)^(qū)域 D

6、 無限細(xì)分，無限細(xì)分，個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域中中即即n,0 時(shí)時(shí)的最大直徑的最大直徑 和式的極限就是薄片的質(zhì)量和式的極限就是薄片的質(zhì)量 抽去上述兩個(gè)問題的實(shí)際意義，歸納它們的抽去上述兩個(gè)問題的實(shí)際意義，歸納它們的相同點(diǎn)，給予定義如下：相同點(diǎn)，給予定義如下： 設(shè)設(shè)),(yxfz 是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，二、二重積分的概念二、二重積分的概念定義：定義：將將閉閉區(qū)區(qū)域域D任任意意分分成成 n個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也表表示示它它的的面面積積， 在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域i ), 2 , 1(ni 上上任任取取一一點(diǎn)

7、點(diǎn)),(ii ，作作乘乘積積),(iif i ， niiiif1. ),( 并并作作和和式式如果當(dāng)各如果當(dāng)各小區(qū)域直徑最大值小區(qū)域直徑最大值,0時(shí)時(shí) 此和式的極限存在，此和式的極限存在， 則稱此則稱此極限值為函數(shù)極限值為函數(shù)上的上的在區(qū)域在區(qū)域 Dyxf ),( Ddyxf ),(記為記為iniiiDfdyxf 10),(lim),(即即二重積分二重積分面積微元面積微元積分變量積分變量積分區(qū)域積分區(qū)域被積函數(shù)被積函數(shù)積分和式積分和式二重積分中各種符號(hào)的稱呼：二重積分中各種符號(hào)的稱呼：由二重積分定義，可以得出：由二重積分定義，可以得出：曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 V Ddyxf ),(平面薄片

8、的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 M Ddyx ),(iniiiDfdyxf 10),(lim),(二重積分號(hào)二重積分號(hào)(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定定義義中中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在.對(duì)二重積分定義的說明：對(duì)二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義 當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積體積 當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值體

9、積的負(fù)值 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域區(qū)域 D，如右圖。，如右圖。 DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分在直角坐標(biāo)系下可寫為故二重積分在直角坐標(biāo)系下可寫為即面微積元為即面微積元為在二重積分的定義中，對(duì)區(qū)域在二重積分的定義中，對(duì)區(qū)域 D 的劃分是任意的，的劃分是任意的，因此，可對(duì)區(qū)域因此，可對(duì)區(qū)域 D 進(jìn)行特殊進(jìn)行特殊劃分，劃分，xyo 這樣面積微元這樣面積微元 可以可以記作記作 ，如圖，如圖 ddxdyxxx yyy yx 從從而而xdxx ydyy d三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)

10、，為常數(shù)時(shí)，k Ddyxkf ),(性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）常數(shù)可以提到積分號(hào)之外。常數(shù)可以提到積分號(hào)之外。 Ddyxfk ),(性質(zhì)性質(zhì) (對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性) Ddyxf ),(則則性質(zhì)性質(zhì)21DDD 若若 21),(),(DDdyxfdyxf （如圖（如圖1）1 ),(,yxfD函函數(shù)數(shù)的的面面積積為為區(qū)區(qū)域域若若 D1D2D圖圖1D1 xoyz圖圖2 Dd 則則, )(2如如圖圖性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdy

11、xgdyxf 則有則有),(yxgz DxyzoDxyzo),(yxfz Dxyzo 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則 性質(zhì)性質(zhì) DMdyxfm),(（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf , | ),(|),(| ),(|yxfyxfyxf 所以所以),( f),( 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為區(qū)域區(qū)域 D的面積，則在的面積，則在 D上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)),( 使得使得性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重

12、積分中值定理） ),(),(fdyxfDoyxzD ),(yxfz 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 ),(yxf性質(zhì)的幾何意義是：性質(zhì)的幾何意義是：區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值41 M),(yxf的最小值的最小值51 m),(21 yx當(dāng)當(dāng).2152 I解解例例 1 1 估估計(jì)計(jì) DxyyxdI16222 的的值值， 其其中中 D： 20, 10 yx. x0y12D)(0 yx當(dāng)當(dāng) 52 MIm 42 故故 DMdyxfm ),( 不不作作計(jì)計(jì)算算，估估計(jì)計(jì) dyxID )1(的的值值， 其其中中D是是矩矩形形區(qū)區(qū)域域： 20, 10 yx .

13、在在D上上， 當(dāng)當(dāng) x=0,y=0 時(shí)時(shí)，1 yx取取最最小小值值 1 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,4)( dyxD解解8)1(2 dyxD即即區(qū)域區(qū)域 D的面積的面積 221 在在D上，上， 當(dāng)當(dāng) x=1,y=2時(shí)，時(shí)，1 yx取最大值取最大值 4x0y12D練習(xí)練習(xí)例例 2 2 比比較較二二重重積積分分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln(的的大大小小，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域D是是三三角角形形區(qū)區(qū)域域，三三頂頂點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為( (1 1, ,0 0) )，( (1 1, ,1 1) )，( (2 2, ,0 0) ) 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)Dyx ),(時(shí)時(shí), 最小值為最小值為yx 從從而而 2)ln()ln(yxyx , 由由性性質(zhì)質(zhì) 5 可可知知 DDdyxdyx 2)ln()ln(. 解解21ln)ln(ln yxeln 0故故 1 ,1最大值為最大值為. 2oyx)0 , 1()1 , 1()0 , 2(1. 二重積分的定