數(shù)字信號(hào)處理有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)PPT課件

1、2022-2-317.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe (7.1.1) (7.1.2) 第1頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-32 式中，Hg()稱(chēng)為幅度特性，()稱(chēng)為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=, 為常數(shù) (7.1.3) 如果()滿(mǎn)足下式： ()=0-,0是起

2、始相位 (7.1.4) 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿(mǎn)足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即( )dd 第2頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-33 也稱(chēng)這種情況為線性相位。一般稱(chēng)滿(mǎn)足(7.1.3)式是第一類(lèi)線性相位；滿(mǎn)足(7.1.4)式為第二類(lèi)線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿(mǎn)足第一類(lèi)線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿(mǎn)足第二類(lèi)線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱(chēng)，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)第3頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-34 (1) 第一類(lèi)線性相位條件證明：1010( )( )( )(

3、1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz將(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) 第4頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-35 按照上式可以將H(z)表示為1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 將z=e j代入上式，得到： 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nn

4、NHh nnN 按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為(7.1.8) (7.1.9) 第5頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-36 (2) 第二類(lèi)線性相位條件證明：110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令m=N-n-1,則有 同樣可以表示為1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 第6頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-371120

5、112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) 第7頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-38第8頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-39第9頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-310 2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn) 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)H g()為101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)

6、，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為第10頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-311(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn令m=(N-1)/2-n,則有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中 第11頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-312 按照(7.1.13)式，由于式中cosn項(xiàng)

7、對(duì)=0,2皆為偶對(duì)稱(chēng)，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)=0,2是偶對(duì)稱(chēng)的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒(méi)有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。 101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn第12頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-313 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫(xiě)如下：令m=N/2-n,則有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.

8、1.15) (7.1.16)101( )( )sin ()2NgnNHh nn第13頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-314 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類(lèi)似上面3)情況，推導(dǎo)如下： 令m=(N-1)/2-n，則有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令m=N/2-n,則有第14頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-315/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,

9、2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)第15頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-316 3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第 一 類(lèi) 和 第 二 類(lèi) 線 性 相 位 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 分 別 滿(mǎn) 足 ( 7 . 1 . 7 ) 式 和(7.1.10)式，綜合起來(lái)用下式表示：(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布 第16頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-317 4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )

10、(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令m=N-n-1,則有第17頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-31812(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnN nnNNnN nnH zh n zzNH zh n zzhz (7.1.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出， (7.1.23) 第18頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-319圖7.1.2 第一類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1

11、h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)第19頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-320圖7.1.3 第二類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)111111111第20頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-3217.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej),hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此 ()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeed第21頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-322

12、相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)h-d(n)為,()0,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱(chēng)。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)第22頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-323 我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，10( )( )NnnH zh n z圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗第23頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-324 以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)

13、FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e j)是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級(jí)數(shù)，即()( )jj nddnHeh n e對(duì)(7.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed (7.2.4) 式中，Hd(e j)和RN(e j)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) 第24頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-325sin(/21( ),sin(/2)2NNNRRN()稱(chēng)為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ej)寫(xiě)成下式：

14、()( )jj addHeHe按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為1,( )0,cdcH將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 第25頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-326 將H(ej)寫(xiě)成下式： ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)第26頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-327 圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響 第27頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-328 通過(guò)以上分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有

15、以下兩點(diǎn)： (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似為 sin(/2)sin( )/2NNxRNx第28頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-329 下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過(guò)，按照(7.2.5)式，其頻率響應(yīng)為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNW

16、ee第29頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-330 2. 三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其頻率響應(yīng)為 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) 第30頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-331 3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN當(dāng)N1時(shí)，N-1N， 22( )0

17、.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN第31頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-332圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性第32頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-333 4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其頻域函數(shù)WHm (e j)為22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函數(shù)WHm()為當(dāng)N1時(shí)，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN第33頁(yè)/共

18、82頁(yè)2022-2-334 5. 布萊克曼(Blackman)窗24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其頻域函數(shù)為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函數(shù)為22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN(7.2.14) 第34頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-335圖7.2.4 常用的窗函數(shù)第35頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-336 圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特

19、利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗 第36頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-337 圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第37頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-338 6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中 I0(x)是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：第38頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-339 一般I0(x)取1525項(xiàng)，便可

20、以滿(mǎn)足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4，如有，再在該點(diǎn)附近找出局部極值點(diǎn)，并用該點(diǎn)代替原來(lái)的點(diǎn)。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E()|的點(diǎn)作為新的局部極值點(diǎn)，從而又得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組。第70頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-371圖7.4.2 雷米茲算法流程圖給出M2 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組頻率初始值：i , i0,1,2, M1得用（7.4.7) 式計(jì)算偏差得用（7.4.9) 式計(jì)算Hd()計(jì)算誤差函數(shù)E()，以及局部極值點(diǎn)頻率，在這些點(diǎn)上滿(mǎn)足得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組頻率極值點(diǎn)是M2個(gè)還是M3 個(gè)？極值頻率相對(duì)上次是否變化？得到最佳一致逼近的Hd()結(jié)

21、束舍掉兩個(gè)端點(diǎn)中使偏差較小的一個(gè)M3M2不變E() 第71頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-372 3. 線性相位FIR濾波器的四種類(lèi)型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié)，我們已推導(dǎo)出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g()分別如下式： 000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos() ,22MgnMgn iMgnMgnh nh NnNNHa nn Mh nh NnNNHb nnMh nh NnNNHc nn Mh nh NnNNHd nnM 奇數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 偶

22、數(shù) 第72頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-373 經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可把H-g()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系數(shù)不同的余弦組合式，Q()是不同的常數(shù)，四種情況的Q()和P()如表7.4.1所示。第73頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-374表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況 第74頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-375 表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關(guān)系如下： ( )b n( )c n( )d n1(1)(0)(1)21( ) (1)( )21()(1)22,3,1bbbb nb nb nb Mb MnM(7.4.14) 第75頁(yè)/共82頁(yè)2022-2-3761(1)(0)(2)21( ) (1)(1)21(1)(2)21()(1)22,3,2cccc nc nc nc Mc Mc