數(shù)學建模線性規(guī)劃PPT課件

1、2022-2-31實驗目的實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學軟件包求解線性規(guī)劃問題。1、了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。* *2 2、線性規(guī)劃的基本算法。5 5、實驗作業(yè)。3、用數(shù)學軟件包求解線性規(guī)劃問題。1、兩個引例。4、建模案例：投資的收益與風險第1頁/共32頁2022-2-32問題一 ： 任務分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可用臺時數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺時數(shù)和加工費用如下表。問怎樣分配車床的加工任務，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？ 單位工件所需加工臺時數(shù) 單位工件

2、的加工費用 車床類 型 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 可用臺時數(shù) 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900 兩個引例第2頁/共32頁2022-2-33解 設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6?？山⒁韵戮€性規(guī)劃模型：6543218121110913minxxxxxxz 6 , 2 , 1, 09003 . 12 . 15 . 08001 . 14 . 0500600400 x . .654321635241ixxxxxxxxxxxxts

3、i 解答第3頁/共32頁2022-2-34問題二： 某廠每日8小時的產(chǎn)量不低于1800件。為了進行質(zhì)量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標準為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標準為：速度15小時/件，正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省，該工廠應聘一級、二級檢驗員各幾名？解 設(shè)需要一級和二級檢驗員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應付檢驗員的工資為：212124323848xxxx因檢驗員錯檢而造成的損失為：21211282)%5158%2258(xxxx第4頁/共32頁2022-2-35故目標函數(shù)為：

4、2121213640)128()2432(minxxxxxxz約束條件為：0, 0180015818002581800158258212121xxxxxx第5頁/共32頁2022-2-36線性規(guī)劃模型：213640minxxz0, 01594535 . .212121xxxxxxts 解答返 回第6頁/共32頁2022-2-371.1.線性規(guī)劃的標準形式：xmin z=)(xf. .ts )(xgi0 （), 2 , 1mi其中目標函數(shù))(xf和約束條件中)(xgi都是線性函數(shù)min min f = = c xs.t. s.t. Ax = = b （1 1） x 0 0這里 A = (ija)

5、m,n , x = T 21nxxx b= T 21nbbb, c= nccc21用單純法求解時，常將標準形式化為：2. 線性規(guī)劃的基本算法單純形法線性規(guī)劃的基本算法單純形法第7頁/共32頁2022-2-38例例 min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5x2 60 10 x1 + 20 x2 150 x1 8 x1, x2 0引入松弛變量x3, x4, x5, 將不等式化為等式, 即單純形標準形: min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5x2 + x3 = 60 10 x1 + 20 x2 - x4 = 150 x1 + x5 = 8 xi 0 (i = 1,2

6、,3,4,5)系數(shù)矩陣為: 6 5 1 0 0 A = 10 20 0 -1 0 = (P1 P2 P3 P4 P5) 1 0 0 0 1 b = (60, 150, 8 ) T 顯然A的秩ran(A)=3, 任取3個線性無關(guān)的列向量,如P3 P4 P5稱為一組基, 記為B. 其余列向量稱為非基, 記為N .第8頁/共32頁2022-2-39于是 f = cBxB + cNxN , Ax = BxB + NxN = b, 則 xB = B-1b-B-1NxN , f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN 令非基變量 xN = 0, 解得基變量 xB = B1b, 稱(xB, xN)

7、為基解基解.基解的所有變量的值都非負，則稱為基可行解基可行解，此時的基稱為可行基可行基. 若可行基進一步滿足: cN cBB-1N0, 即: cBB-1N - cN0則對一切可行解x, 必有f(x) cBB-1b, 此時稱基可行解x = (B-1b, 0) T為最優(yōu)解. 3. 最優(yōu)解的存在性定理將A的列向量重排次序成A = (B, N), 相應x = (xB, xN) T, c = (cB, cN)基對應的變量xB稱為基變量, 非基對應的變量xN稱為非基變量.定理1 1 如果線性規(guī)劃(1)有可行解，那么一定有基可行解.定理2 2 如果線性規(guī)劃(1)有最優(yōu)解，那么一定存在一個基可行解 是最優(yōu)解.

8、第9頁/共32頁2022-2-3104. 4. 基可行解是最優(yōu)解的判定準則因為 f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN，即 f - 0 xB + (cBB-1N- cN )xN = cBB-1b若基B=(1P,2P,mP), 非基N=(1mP,2mP,nP)，令j=Bc1BjP-jc，j=m+1,m+2, ,n ,則 (1) 可寫成min fs.t. Bx + 1BNNx = 1Bbf + 0Bx + nmjjjx1 = Bc1Bb x 0稱為（1）式的典式典式.定理定理 3 3 設(shè)（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個可行基，B是對應的基陣,如果典式中的1,2,m都不大于零

9、,即對應的1m0,2m0,n0,則基（1x,2x,mx）對應的基可行解0X = 01bB 是最優(yōu)解.第10頁/共32頁2022-2-311令1Bb = m21，1BN= nmmmmmnmmnmm,2,1, 22, 21, 2, 12, 11, 15.5.基可行解的改進 線性規(guī)劃（1）的典式變?yōu)椋簃in fs.t. ix + nmjjijx1= i i=1,2, ,mf + 0Bx + nmjjjx1 =Bc1Bb x 0第11頁/共32頁2022-2-312定理定理 4 4 設(shè)（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個可行基，B是對應的基陣,如果存在km0，使1) km, 1,km, 2,km

10、m,中至少有一個大于零；2) 所有的i0，i=1,2, ,m則一定存在另一個可行基，它對應的基可行解使目標函數(shù)值更小.令0=kmiikmi,0,min = kmll,則把lx從原有的基中取出來，把kmx加進后得到的（1x,2x,lx ,kmx,1lx,mx）仍是基，即是所要找的新基.改進方法：返 回第12頁/共32頁2022-2-313用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃min z=cX bAXts. .1、模型：命令：x=linprog（c，A，b） 2、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeq命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式： 存在，則令

11、A= ，b= .bAX 第13頁/共32頁2022-2-3143、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeqVLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：1 若沒有等式約束: , 則令Aeq= , beq= . 2其中X0表示初始點 beqXAeq4、命令：x,fval=linprog()返回最優(yōu)解及處的目標函數(shù)值fval.第14頁/共32頁2022-2-315解 編寫M文件xxgh1.m如下：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.6

12、4 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例例1 max 6543216 . 064. 072. 032. 028. 04 . 0 xxxxxxz 85003. 003. 003. 001. 001. 001. 0. .654321xxxxxxt s 70005. 00

13、2. 041xx 10005. 002. 052xx 90008. 003. 063xx 6, 2 , 10jxj To Matlab (xxgh1)第15頁/共32頁2022-2-316例例 2 321436minxxxz 120. .321xxxts 301x 5002 x 203x解: 編寫M文件xxgh2.m如下： c=6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,0,20; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh2)321)436(minxxxz32120

14、030 xxx50120010111 .321xxxts第16頁/共32頁2022-2-317S.t.Xz8121110913min 9008003 . 12 . 15 . 000000011 . 14 . 0X500600400100100010010001001X ，0654321xxxxxxX改寫為：例3 問題一的解答 問題第17頁/共32頁2022-2-318編寫M文件xxgh3.m如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

15、 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh3)第18頁/共32頁2022-2-319結(jié)果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004 即在甲機床上加工600個工件2,在乙機床上加工400個工件1、500個工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費最小為13800。第19頁/共32頁2022-2-320例2 問題二的解答 問題 213640min

16、xxz s.t. )45(3521xx改寫為：第20頁/共32頁2022-2-321編寫M文件xxgh4.m如下：c = 40;36;A=-5 -3;b=-45;Aeq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=9;15; %調(diào)用linprog函數(shù)：x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh4)第21頁/共32頁2022-2-322結(jié)果為：x = 9.0000 0.0000fval =360即只需聘用9個一級檢驗員。 注：本問題應還有一個約束條件：x1、x2取整數(shù)。故它是一個整數(shù)線性規(guī)劃問題。這里把它當成一個線性規(guī)劃

17、來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應用專門的方法求解。返 回第22頁/共32頁2022-2-323 投資的收益和風險一、問題提出一、問題提出 市場上有 n 種資產(chǎn)is（i=1,2n）可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為 M 的相當大的資金作一個時期的投資。這 n 種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買is的平均收益率為ir，風險損失率為iq，投資越分散，總的風險越小，總體風險可用投資的is中最大的一個風險來度量。 購買is時要付交易費，(費率ip)，當購買額不超過給定值iu時，交易費按購買i

18、u計算。另外，假定同期銀行存款利率是0r，既無交易費又無風險。 （0r=5%）已知 n=4 時相關(guān)數(shù)據(jù)如下：isir（%）iq（%）ip（%）iu（元）S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定達到資金 M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風險盡可能小。第23頁/共32頁2022-2-324基本假設(shè)：基本假設(shè)：1. 投資數(shù)額 M 相當大,為了便于計算，假設(shè) M=1；2投資越分散，總的風險越??；3總體風險用投資項目is中最大的一個風險來度量；4n 種資產(chǎn) Si之間是相互獨立的；5

19、在投資的這一時期內(nèi), ri,pi,qi，r0為定值，不受意外因素影響；6凈收益和總體風險只受 ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。二、基本假設(shè)和符號規(guī)定二、基本假設(shè)和符號規(guī)定符符號號規(guī)規(guī)定定：Si 第 i 種投資項目，如股票，債券ri,pi,qi -分別為 Si的平均收益率,風險損失率，交易費率ui -Si的交易定額 0r -同期銀行利率xi -投資項目 Si的資金 a -投資風險度Q -總體收益 Q -總體收益的增量第24頁/共32頁2022-2-325三、模型的建立與分析三、模型的建立與分析1.總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來衡量,即max qixi|i=1，2,n2購買 Si

20、所付交易費是一個分段函數(shù),即 pixi xiui 交易費 = piui xiui而題目所給定的定值 ui(單位:元)相對總投資 M 很小, piui更小,可以忽略不計,這樣購買 Si的凈收益為(ri-pi)xi 3要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小,這是一個多目標規(guī)劃模型: 目標函數(shù) MAXniiiixpr0)( MINmax qixi 約束條件 niiixp0)1 (=M xi0 i=0,1,n4. 模型簡化：第25頁/共32頁2022-2-326c投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風險、收益賦予權(quán)重 s（0s1)，s 稱為投資偏好系數(shù).模型模

21、型 3 目標函數(shù)：min smaxqixi -（1-s）niiiixpr0)( 約束條件 niiixp0)1 (=M， xi0 i=0,1,2,nb若投資者希望總盈利至少達到水平 k 以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。模型模型 2 固定盈利水平，極小化風險 目標函數(shù)： R= minmax qixi 約束條件：niiiixpr0)(k， Mxpii)1 ( ， xi 0 i=0，1，na 在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限 a，使最大的一個風險 qixi/Ma，可找到相應的投資方案。這樣把多目標規(guī)劃變成一個目標的線性規(guī)劃。模型模型 1 1 固定風險水平，優(yōu)化收

22、益 目標函數(shù)： Q=MAX11)(niiiixpr 約束條件： Mxqiia Mxpii)1 (， xi 0 i=0，1，n第26頁/共32頁2022-2-327四、模型四、模型1 1的求解的求解 模型1為: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1s.t. 0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4a xi 0 (i = 0,1,.4) 由于a是任意給定的風險度，到底怎樣給定沒有一個準則，

23、不同的投資者有不同的風險度。我們從a=0開始，以步長a=0.001進行循環(huán)搜索，編制程序如下：第27頁/共32頁2022-2-328a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)To Matlab（xxgh5）第28頁/共32頁2022-2-329a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.00