全等三角形輔助線系列之一角平分線類輔助線作法大全

1、全等三角形輔助線系列之一一角平分線類輔助線作法大全全等三角形輔助線系列之一與角平分線有關(guān)的輔助線作法大全、角平分線類輔助線作法角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等.對于有角平分線的輔助線的作法，一般有以下四種.1、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；2、截取構(gòu)全等利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；3、延長垂線段題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；4、做平行線：以角分線上一點做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時，常

2、過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形.或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形.通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時,般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形.至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件.圖三22 / 29典型例題精講【例1】如圖所示，BN平分/ABC,P為BN上的一點,并且PDXBCTD,AB+BC2BD.求證：BAP+BCP180.【解析】過點P作PEXAB于點E.PELAB, PD±BC? BN 平分/ABC,.PEPD在RtZPBE和RtAPBC中,BPBPPEPD). RtZPBE舉t/PBC

3、(HL ),.BE BD,AB BC 2BDBC CD BD) AB BEAE >, AE CDVPE±AB, PD±BC?.PEB PDB 90在APAE和RtAPCD中,PEPDPEBPDCAEDC，zPAE渤八PCD,. pcbEAP.BAPEAP180BAPBCP180【答案】見解和【例2】如圖，已知：A90,AD/BC,P是AB的中點,PD平分/ADC,求證：CP平分/DCB.【解析】因為已知PD平分/ADC,所以我們過P點作PEXCD,垂足為E,則pape,由P是AB的中點，得pbpe,即CP平分/DCB.【答案】作PEXCD,垂足為E)，PECA90)P

4、D平分/ADC,，pape,又*/BPEC90).=PBPE)，點P在/DCB的平分線上,.CP平分/DCB.請你證明（1）得出的結(jié)論.(1)(2)【例3】已知：aob90,OM是/AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與【解析】（1）PCPD.(2)過P分別作PELOB于E,PFXOATF,DEP90.OM是/AOB的平分線，.pepf1 FPD 90 H AOB 90FPE 90二2FPD90)12在3FP和GEP中CPFDEPPFPE,，ZCFP/©EP,/.PCPD.12【答案】見解析.【例4】如圖，OP是/MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)

5、P所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法，解答下歹U問題：(1)如圖，在4ABC中，ZACB是直角，b60,AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線，AD、CE相交于點F,請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明)；(2)如圖，在4ABC中，b60,請問，在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.G.¥國5DA_Elr【解析】如圖所示;(1)FEFD如圖，過點F作FGXAB于G,作FHLBC于H,作FK工AC于K,.AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線,FGFHFK)在四邊形BGFH中，gfh36060902120,.

6、AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線,1,FACFCA18026060在MFC中,AFC180FACFCA18060120EFDAFC120EFGDFH在在FG和ZDFH中,EFGDFHEGFDHF,/.ZEFGzDFH,，F(xiàn)EFDFGFH【答案】見解析.【例5】已知MAN120,AC平分/MAN，點B、D分別在AN、AM上.(1)如圖1,若ABCADC90,請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；(2)如圖2,若ABCADC180,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.ABN【解析】(1)得到ACDACB30后再可以證得ADAB；AC)從而

7、，證得結(jié)論;(2)過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F,證得MED0CFB后即可得到ADABAEEDAFFBAEAF)從而證得結(jié)論.【答案】(1)關(guān)系是：ADABAC.證明：.AC平分/MAN)MAN120.二CADCAB60又ADCABC90,.二ACDACB30則ADABAC(直角三角形一銳角為30°,則它所對直角邊為斜邊一半).*.ADABAC,(2)仍成立.證明：過點C分別作AM、AN的垂線)垂足分別為E、F/AC平分/MAN，CECF（角平分線上點到角兩邊距離相等）ABCADC180ADCCDE180CDEABC又CEDCFB90,zCED二CFB(AAS)EDF

8、B).ADABAEEDAFFBAEAF由(1)知AEAFAC).*.ADABAC.【例6】如圖 證：AD平分/ BAC,求,在ABC中，C2B,ABACCD.AC【解析】在AB上截取點E,使得AEAC.AD平分/BAC,.eadcad,/.ZADEADC(SAS).，aedc,edcdC2B).=AED=2B.AEDBEDB).<BEDB).*.BEDE.'.CDBEABAEABAC【，案】見解析.AC【例7】如圖)ZABC中, AB AC ) 點,求證： BC AC CD .A 108,BD 平分 ABC 交 AC 于 D【解析】在BC上截取E點使BEBA,連結(jié)DE.BD平分A

9、BC).二ABDEBD.在ABD與EBD中ABDEBD)BDBDABD© EBD)A DEB AB AE )DEC 72又 ADB361854CDE 72CDECDCE.BCBEEC)BCACCD【答案】見解析.BE CAD【例8】已知ABC中）A60）BD、CE分別平分ABC和ACB,BD、CE交于點O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.EAD【解析】在BC上截取一點F 使得 BF BE)易證 BOE0 BOF)在根據(jù) BOC 120推出 BOE COF 60）再證明OCOCD即可.【答案】BCBECD【例9】如圖：已知AD為4ABC的中線，且12,34,求證：BECF

10、EF.【解析】在DA上截取DNDB,連接NE,NF,則DNDC,在GBE和ADNE中：DNDB-12EDED/.zDBEBNE(SAS),.ne同理可得：CFNF在在FN中，ENFNEF(三角形兩邊之和大于第三邊).BECFEF【答案】見解析.【例10】已知：在四邊形ABCD中）BCBA）AC180）且C60)BD平分/ABC)求證：BCABDC.【解析】在BC上截取BEBA,BD平分/ABC,.abd在ABAD和ZBED中，BABEABDEBD)BDBD.zBADWEED,/.addeBEDDEC180AC180二CDEC.*.DEDC.*.DCAD5,C60，工DE是等邊三角形,'

11、DECDCEBCBECEABCD【答案】見解析.【例11】觀察、猜想、探究:在4ABC中，ACB2B.(1)如圖，當C90,AD為/BAC的角平分線時，求證：ABACCD；(2)如圖，當c90,AD為/BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；(3)如圖，當AD為ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.【解析】(1)過D作DEXAB,交AB于點E,理由角平分線性質(zhì)得到ED=CD,利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得至ljAEAC,

12、AEDACB,由ACB2B）利用等量代換及外角性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊得到BEDE,由ABAEEB,等量代換即可得證；（2） ABCDAC）理由為：在AB上截取AGAC）如圖2所示，由角平分線定義得到一對角相等，再由adad,利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來同（1）即可得證；（3） ABCDAC）理由為：在AF上截取AGAC,如圖3所示，同（2）即可得證.【答案】（1）過D作DELAB,交AB于點E,如圖1所示,.AD為/BAC的平分線，DC±AC,DE±AB,DEDC在RtMCD和RtAAED中，adad,dedc,/RtMCDRtMED(H

13、L)”acae,acbaed,ACB2B).=AED2B)又AEDBEDB).<BEDB).BEDEDC,貝(JABBEAECDAC；(2) ABCDAC)理由為：在AB上截取agac,如圖2所示，.AD為/BAC的平分線，.GADCAD,AGAC在ZADG和9DC中，gadcadADAD/.ZADGADC(SAS),cg,agdacb,ACB2B.二AGD2B又 AGD BGDBB GDB .BEDG DC貝 U AB BG AG CD AC ；(3) ABCDAC)理由為:在AF上截取AGAC,如圖3所示,.AD為/FAC的平分線，.gadcad,在zADG和MDC中，AGACGAD

14、CAD,zADG二公DC(SAS),ADAD.CDGD,AGDACD)即ACBFGD)ACB2B).=FGD2B)又*FGDBGDBBGDB).*.BGDGDC)貝(JABBGAGCDAC.【例如圖所示，在ABC中，ABC3C,AD是/BAC的平分線，BEXAD于F.求證:BEACA【解析】延長BE交AC于點F,則AD為/BAC的對稱軸，,.BE工AD于F”.點B和點F關(guān)于AD對稱,i.BEEF-BF?ABAF,ABFAFB.:ABF+FBCABC3C,ABFAFBFBC+C)FBC+C+FBC3C.二FBCC/.FBFC111.BE-FC-ACAFACAB222【答案】見解析.24 / 29

15、.E.B，DC【例13】如圖，已知：ABC中AD垂直于/C的平分線于D,DE/BC交AB于E.求證：EAEB.【解析】由AD垂直于/C的平分線于D,可以想到等腰三角形中的三線合一，于是延長AD交BC與點F,得D是AF的中點，又因為DE/BC,由三角形中位線定理得eaEB.【答案】延長AD交BC與點F,.CD平分/ACF,.i2,又ADLCD,.AADC9FDC,，adfd,又DE/BC,/.eaEB【例14】已知：如圖，在ABC中,±AE.求證:ACAB2BE.【解析】延長BE交AC于M,VBEXAE)AEBAEM在MBE中，.13AEB,390同理）4902,ABAMVBE

16、7;AE,，bm.ACABACAMCMA90出是推CM的外角，J45CABC354534 / 29【例15】如圖，已知AB線，CEXBE,.3C4525C/.5C.*.CMBMACABBM2BE【答案】見解析.AC,BAC90,BD為/ABC的平分求證:BD2CE.【解析】延長CE,交BA的延長線于點F.BD為/ABC的平分線，CEXBE,ZBEF4+EC,，BCBF,CEFE.BAC90,CELBE).二ABDACF)又.ABAC?/.ZABD=ACF?/BDCF.，BD2CE.【答案】見解析.課后復習【作業(yè)1】如圖所示，在AABC中，BP、CP分別是/ABC的外角的平分線，求證：點P在/A

17、的平分線上,【解析】過點P作PEXAB于點E,PGXAC于點G,PFXBC于點F.因為P在/EBC的平分線上，PE±AB,PHBC）所以PEPF.同理可證PFPG.所以PGPE,又PELAB,PGXAC,所以P在/A的平分線上，【答案】見解析.AP【作業(yè)2】已知：如圖，AB2AC,BADCAD,DADB求證:DCLAC.【解析】在AB上取中點E,連接DE,則AEBEab.DADB)/.DEXAB?AED90.又AB2AC)AEAC.BADCAD,.叢DEADC(SAS).AEDACD90,即DCLAC.【答案】見解析.【作業(yè)3】已知等腰ABC, AA100 , ABC 的平分線交AC于D)貝UBDADBC.【解析】如圖，在BC上截取BE BD)連接DE，DF / BC )ADF又2)故DFBF顯然FBCD 是等腰梯形.DCDFDCABC1180210020BEDBDE1180 2DEC180BED 10