全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)真題及逐題詳細(xì)解析(文科)—廣東卷

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東B卷）數(shù)學(xué)（文科）選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M2,3,4,N0,2,3,5A.3,5 B . 3,42,30,22.已知復(fù)數(shù)z滿足（34i）z25,則zA. 3 4i3 4i C4i3 4i3 .已知向量a(1,2),b(3,1)，A. (4,3)(2,0)(2,1)(2,1)4 .若變量x,y滿足約束條件2y 8x 4則2xy的最大值等于A.11B.105 .下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（“2-xA. x 2 B2cosx3 x sin x D2x40的樣本，則分段的間

2、6 .為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為隔為（）A.20B.25C.40D.507 .在ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,則“ab”是“sinAsinB”的（）A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分非必要條件22228 .若實數(shù)k滿足0k5,則曲線人一y1與曲線L1的（）165k16k5A.焦距相等B.離心率相等C.虛半軸長相等D.實半軸長相等9 .若空間中四條兩兩不同的直線l123,l4,滿足l1l2/2/l3/3L,則下列結(jié)論一定正確的是（）A.1114B.11/14C.li與14既不垂直也不平行D.11與14的位置關(guān)

3、系不確定10 .對任意復(fù)數(shù)w1,w2，定義1211，其中二是2的共軻復(fù)數(shù)，對任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3有如下四個命題：（z1Z2）Z3（z1Z3）（Z2Z3）；Z1（Z2Z3）（z1Z2）（z1Z3）；（z1Z2）Z3z1（Z2Z3）；z1Z2Z2z1；則真命題的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.（一）必做題（1113題）11 .曲線y5ex3在點0,2處的切線方程為.12 .從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母，則取字母a的概率為13 .等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1a54,則1og2a1+1og2a2+1og2a3

4、+1og2a4+1og2a5=（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14 .（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為2cos2sin與cos1,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點的直角坐標(biāo)為15 .（幾何證明選講選做題）如圖1,在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB2AE,AC與DE交于點F則3mAEF的周長80分（0, 一），求 f （一 ）26三.解答題：本大題共6小題，滿笠16 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)Asin(x),x3(1) 求A

5、的值；(2)若f()f()后17 .(本小題滿分13分)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計20(1) 求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2) 以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖;(3) 求這20名工人年齡的方差.18 .(本小題滿分13分)如圖2,四邊形ABC型矩形，PDL平面ABCDAB=1,BC=PC=2作如圖3折疊：折痕EF/DG其中點E,F分別在線段PD,PC上，沿EF折疊后點P在線段AD上的點記為M并且MFICF.(1) 證明：CF，平面MDF(2) 求三棱錐M-CDE勺體積.19.(本小題滿分14

6、分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為&,且SnS；n2n3Sn3n2n0,nN(1)求ai的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;證明：對一切正整數(shù)n,有a1 a111a2 a2 1an an 120.(本小題滿分14分)22已知橢圓C ： x2 4 1 aa bb 0的一個焦點為 j5,0 ,離心率為.5o3(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動點Pxo,yo為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求P的軌跡方程.21.(本小題滿分14分)1 Q 9已知函數(shù) f (x) - x x ax 1(a R)(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; 1f(Xo) f(-)11(2) 當(dāng)a0時

7、，試討論是否存在x0(0,)U("1),使得參考答案一、選擇題1. C解析：本題考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.MN2,3,故選C.解析2絕對送分題。答案為B。因為集合為高中教材的第一個內(nèi)容。也基本上是各省市的必考內(nèi)容，放在第一小題給人信心。雖然為送分題，但仍然會有個別同學(xué)拿不到分，原因主要是粗心引起。2525(34i)2. A解析：本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.z34i.故選A.34i34i(34i)解析2同樣的送分題。一般解法是將左邊Z的復(fù)數(shù)除到右邊。秒殺方法是兩邊同時乘以|3+4/|,口算得到結(jié)果D。3. C解析：本題考查向量的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.bl(31,12)(2

8、,1).故選C.解析2又一送分題，由向量減法法則秒殺。答案為B。4. B解析：本題考查線性規(guī)劃問題。在平面直角坐標(biāo)系中畫圖，作出可行域，可得該可行域是由(0,0),(0,3),(2,3),(4,2),(4,0)組成的五邊形。由于該區(qū)域有限，可以通過分別代這五個邊界點進(jìn)行檢驗，易知當(dāng)x=4,y=2時，z=2x+y取得最大值10。本題也可以通過平移直線y2x,當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(4,2)時，截距達(dá)到最大，即z取得最大值10.故選答案B.解析2基礎(chǔ)題，一般做法畫出可行區(qū)域。求出交點(2,3),(4,2)。得最大值為Co此題容易x2 2x ,非奇非偶，對33 _x ( sin x) x sin x錯選

9、成D,即將(4,3)代入，要注意(4,3)在區(qū)域之外。5. D解析：本題考察函數(shù)的奇偶性.對于A,x22xx223C, ( x) Sin( x)于b,2cos(x)12cosx1,為偶函數(shù)；對于V11V為偶函數(shù)；D中函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點稱，且2x2x2xT2x2xj22xx1(2)為奇函數(shù).故答案為D=解析2選Bo又一送分題。一種做法是用奇函數(shù)的性質(zhì)。容易得出結(jié)果。另一秒殺方法是用0代入,只有國勺結(jié)果為0.6. B解析：本題考查系統(tǒng)抽樣的特點。分段的間隔為100025,故答案為B.40解析2由系統(tǒng)抽樣的概念，先進(jìn)行分組，每組為1000除以40即每組25名學(xué)生，故分段時隔為25.選Q2R,

10、所以 a 2RsinA,b 2RsinB,7. A解析：本題考查正弦定理的應(yīng)用。由于sinAsinB所以ab2RsinA2RsinBsinAsinB,故"ab"是"sinAsinB”的充要條件，故選答案為A.解析2由大邊對大角，或由正弦定理都可以秒殺。答案為A。8. A解析：本題可以采用一般法和特殊法，一般法在這里不贅述，令k4,則這兩個曲線方程分2222別為：x_y_1和工1,它們分別對應(yīng)的J216117,c2212517,故C1c2。161125所以它們的焦距相等，故答案為A.解析2由已知可得兩曲線均為雙曲線，在又曲線中C是最長的。故選D。9. D解析：本題考

11、查空間中線線的位置關(guān)系。以正方體為模型，易知11和14的位置關(guān)系可能有1114或1114,故11與14的位置關(guān)系不確定.故答案為D.解析2線與線的位置關(guān)系，放在選擇的倒數(shù)第二題，相對來說有一定難度?？梢韵胂笠幌乱怨P為直線，將L1和L4放在課桌面上，第二條和第三條與課桌面垂直，問題得到解決。此題需要一定的空間想象能力。對于，z1 z2 z3Zi Z2Z3令 z9 a bi , z3 c di ,貝U z2z32bdi,則 z2z3a c b d i10. C解析：對于，ZiZ2Z3z1z2z3z1z3z2z3z1z3z2z3abicdiz2z3,所以ZiZ2Z3Zi Z2Z3Zi(Z2 Z3)Z

12、i Z2Z1Z3ZiZ2ZiZ3 Zi Z2Z3Z1Z2Z3Z1Z2 Z3Zi Z2 Z3ZiZ2 Z3Zi (Z2Z3) Z1Z2Z3Z1 z3 z2 故 z1z2z3ZiZ2Z3Z1z2z1z2,z2Z1z2z1,故ZiZ2Z2Zi故答案為C.解析2此題為創(chuàng)新題，另一種說法是定義新運算。解法較多?；窘夥梢杂锰厥庵捣ǎ缛∪齻€已知復(fù)數(shù)分別代入。另一個秒殺的方法是，前9個題的結(jié)果是1A,3B,2C,3D,按照歷年廣東文科的分布規(guī)律最后一題應(yīng)選A這種解題法沒有科學(xué)依據(jù)，但近十年來都是這樣的分布！11.解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義。y'5ex,故k5e05,所以y5ex3在點0,2處的

13、切線方程為y25x即5xy20解析2此為基礎(chǔ)題。求出導(dǎo)數(shù)為一5,然后用點斜式方程。12 .解析：本題考查古典概型.采用列舉法，從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de42共10個，含有子母a有ab,ac,ad,ae。故概率為105A后，需要在另外4個字母中解析2一般解法是用列舉的辦法或畫數(shù)狀圖。簡單解法是取到字母任取一個，有4種方法，一共從5個字母中取2個有10種方法。13.解析：本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì).10g2(a1a2a3a4a5)log2(aa5a2a4a3)log(442)5本題也可以直接引入a1和q這兩個基本量求解解

14、析2此題秒殺方法是令此數(shù)列an2的常數(shù)列。結(jié)果為5.14 .解析：本題考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系的互化.由2cos2sin得22cos2sin,即2x2y,由cos1得x1.聯(lián)立2x2y和x1,解得x1,y2,所以則曲線C1與C2交點的直角坐標(biāo)為(1,2).2解析2轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系萬程C1:yx,C2:y1后易得結(jié)果。15 .解析：本題考查平行線分線段成比例定理或相似三角形的判定以及性質(zhì)。因為ABDC即3AEAE，CDF的周長DCABAECD,所以CDFsAEF,所以的國上AEF的周長AEAE解析2顯然兩三解形相似。相似三角形面積的等于相似比的平方。故面積比為9.16解析：(1)由題意得f(A

15、)Asin()Asin-三2A包2,所以12123422A3.(2)由(1)得f(x)3sin(x一),所以f()f()3sin(一)3sin(一)3333(sincoscossin)3(sincoscossin)3sinJ3,所以3333sin一,所以.cos V1 sin221 1吏,1 33所以f ()3sin(一 63sin( ) 3cos 2點評：筆者覺得2014年廣東高考的三角函數(shù)題目難度總體比往年大，第一問屬于送分題，與往年設(shè)計求解特殊函數(shù)值類似，第二問比往年設(shè)計得復(fù)雜些，但對于中上層考生來講，筆者仍覺得這是個容易題，思維受阻的可能性比較小.17 .解析：（1）年齡30的的工人數(shù)

16、為5,頻率最高，故這20名工人年齡的眾數(shù)為30,極差為最大值與最小值的差，即40-19=21.（2）莖葉圖如下：-12349888999000001111 2220（3）這20名工人年齡的平均數(shù)為192832933053143234013020所以這20名工人年齡的方差222222s21930328303(2930)4(3130)3(3230)4030二620.點評：類似于本題的題目其實學(xué)生已經(jīng)不小，所以學(xué)生對這種題型不會有陌生感.但是我覺得會遇到幾個問題，一是關(guān)于計算，而是在畫莖葉圖可能不是很規(guī)范。另外關(guān)于極差，很可能大部分學(xué)生都忘記了.18 .（1）證明：（1）因為PD面ABCD,AD面A

17、BCD,所以PDAD.又因為四邊形ABCD為矩形，所以CDAD,因為PDCDD,所以AD面PCD.在圖3中，因為CF面PCD,所以ADCF即MDCF,又因為MFCF,MDMFM,所以CF面MDF.,3.(2)因為CF面MDF,DF面MDF,所以CFDF.在圖2中，PD1PC2CD2因為PD 3, PC2,DC 1,所以 PCD .所以在Rt3DFC 中，DFDC sin 一3,32CFDC cos31一.所以在圖3中，PF PC 23FC 即2MF一.在 Rt 2MDF ,MDDF 2三6.又因為在Rt DPC ,2EF/ DC,所以DE CFDP CP1 -,所以4DE1 DP4、3 _3,

18、所以s4DEC1-DE DC2所以Vm cde1 -S DEC MD3216點評：本次考試的立體幾何題基本與近兩年較相似，主要匯集在線面位置關(guān)系的證明和錐（柱）體的體積求解，本題的第（2）問計算量較大，這也是做立體幾何題常常會遇到的一個困難和挑戰(zhàn)!19.解析：（1）當(dāng)n 1時,2a1ai6 。解得ai2或ai3。因為an0 ,所以a12 .(2)由題意得Sn3 Sn(n2n)0,因為an所以Sn0 ,所以Sn30 ,所以Sn(n2 n) 0即 Sn2時，an Sn Sn1 n2(n21)(n1)2n(3)所以所以1, a12滿足上式，故an證明：當(dāng)n 1時,2時，an(an 1)1an(an1

19、)a1(a11)2n(na1(a11)2n(2n 1)4n2 2n3n22n3n2 n 2n 3n(n 1)1(13n(n 1)37）（nn 12)a2 ( a21)an(an 1)a2 ( a21)an(an 1)111)n163故對一切正整數(shù)n,有a1 a11a2 a2_11 an an 1點評：本道題的第（1）問是基礎(chǔ)題，難度較小，第（2）問可能會讓部分學(xué)生思維受阻，注意到222Snnn3Sn3nn0,nN，其本質(zhì)就是關(guān)于Sn的一元二次方程，采用因式分解或1一求根公式求出Sn是解決本題的關(guān)鍵！第（3）問是數(shù)列求和放縮問題，放縮目標(biāo)為一，結(jié)合題目特311點不難猜測利用這個模型就可以達(dá)到目的

20、，而在證明an（an1）3n（n1）an（an1）3n（n1）方法很多，分析法和綜合法都可以派上用場。與2014年廣東理科數(shù)列題第19相比，筆者覺得文科的難度其實更大！20 .解析：（1）由題意得c55,ec出，所以a3,所以b2a2c24,所以橢圓Ca322的標(biāo)準(zhǔn)方程為二匕1.94（3）由題意可設(shè)兩條直線的斜率都要存在,設(shè)其中的一條切線方程為y kx b,則另一條切線為1y kx bx m.聯(lián)立 22k4x2 9y36，消 y得 4 9k2 x2 18kbx 9b2 036 0因為直線與橢圓相切，所以18kb 2 4(4 9k2)(9b2 36) 0 ,化簡得 b2 9k2 4 .同理可2y

21、 kx b19得m2 9 4 4 ）。又因為P xo, y0是這兩條切線的交點，所以聯(lián)立1kky - x mk解得粵圖，所以k2 1y kx2k (m b)b 2k2 1k2.所以xok(mb)k2 1k2m by。k22x。-22 22bmk k b22k 12y。42_22k m 2k mb bk2 1所以2x。2y。2 2422k bk m b22k2 1b2 9k29代入 k2式，得22x。y。292_249- 2k2 42 k2(9k2 4) k4(42) 9k2 4kk13(k4 2k2 1)13-當(dāng)11與x軸垂直，12y軸時，或|2與x軸垂直11y軸時，此時滿足條件的 p的坐標(biāo)為 3, 2 ,滿足上述方程，所以點22P的軌跡方程為x0y013點評：本題的第（2）問與2。12年廣東文科高考和2011年廣東理科第（1）問有幾分相似，方法很類似，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，計算量較大.可以看出往年的高考題就是最好的模擬試題!21 .解析：f'(x)x22xa.令x22xa0當(dāng)44a。即a1時，f'(x)。，所以f(x)的單增區(qū)間為，.當(dāng)。即a1時，x22xa。有兩