數(shù)學(xué)物理方法分離變量法PPT課件

1、本章基本要求n掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義n著重掌握分離變量法的解題思路、 解題步驟及其核心問(wèn)題-本征值問(wèn)題1第1頁(yè)/共82頁(yè)分離變量法核心：本章考慮問(wèn)題（1）混合問(wèn)題（2）邊值問(wèn)題本章層次：2偏微分方程常微分方程齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+非齊次邊界條件第2頁(yè)/共82頁(yè)分離變量法思路起源分離變量法思路起源物理上由樂(lè)器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的物理上由樂(lè)器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，可以表示成單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，可以表示成32.1 2.1 齊次方程問(wèn)題齊次方程問(wèn)題xtctxwsin)(),(特點(diǎn)：

2、含兩個(gè)變量的函數(shù)可以表示為兩個(gè)分別只含一特點(diǎn)：含兩個(gè)變量的函數(shù)可以表示為兩個(gè)分別只含一個(gè)變量的函數(shù)之積。個(gè)變量的函數(shù)之積。第3頁(yè)/共82頁(yè)這個(gè)定解問(wèn)題的這個(gè)定解問(wèn)題的特點(diǎn)特點(diǎn)是：偏微分方程是是：偏微分方程是線性奇次線性奇次的，的，邊界條件也是邊界條件也是奇次奇次的。的。研究?jī)啥斯潭ǖ南业淖杂烧駝?dòng)研究?jī)啥斯潭ǖ南业淖杂烧駝?dòng)定解問(wèn)題解：解：( , )( ) ( )u x tX x T t這是解的分離變量這是解的分離變量泛定方程：泛定方程：20ttxxua u邊界條件：邊界條件：0( )tux 0( )ttux 00( , )xu x t0( , )x lu x t初始條件：初始條件：(0,0)xl

3、 t4研究?jī)啥斯潭ǖ南业淖杂烧駝?dòng)研究?jī)啥斯潭ǖ南业淖杂烧駝?dòng)定解問(wèn)題（第一類(lèi)齊次邊界條件）（第一類(lèi)齊次邊界條件）由前面思路，設(shè)由前面思路，設(shè)第4頁(yè)/共82頁(yè)20XTa XT( , )( ) ( )u x tX x T t x, t 是相互獨(dú)立的變量是相互獨(dú)立的變量2 ( )( )( )( )TtXxX xa T t （求非零解）（求非零解）代入方程中，分離過(guò)程：得出兩個(gè)常微分方程： 200Ta TXX 代入邊界條件：, 0|0 xu, 0| lxu0|0 xX|0 x lX0)()(0)()0(tTlXtTX20ttxxua u5第5頁(yè)/共82頁(yè)高數(shù)中結(jié)論：高數(shù)中結(jié)論：00|0 xx lXXXX

4、 6若有二階常系數(shù)線性齊次方程若有二階常系數(shù)線性齊次方程其中其中p p、q q為常數(shù)，則特征方程為為常數(shù)，則特征方程為0qypyy02qprrxrxrececxyrr221121)() 1 (有通解為相異的實(shí)根時(shí)，方程、當(dāng)rxexccxyrrr)()()2(2121為相同的實(shí)根時(shí)，通解當(dāng))sincos()(i)3(2121xcxcexyrx時(shí)，當(dāng)、第6頁(yè)/共82頁(yè)7120CC12( )xxX xC eC e 00( )X120CC0( )X l 120llC eC e 0 (1) 12( )X xC xC20C 120C lC120CC(2)0 第7頁(yè)/共82頁(yè)0sinl 222nl 1 2

5、3, ,n 2()sinnxX xCl C2是是積分常數(shù)積分常數(shù)812( )cossinX xCx Cx 10C 20sinCl 非零解非零解20C 00( )X0( )X l (3)0 第8頁(yè)/共82頁(yè)2( )()0n aTtTl ( )cossinn an aT tAtBtll 固得到下面一族解：A、B 是積分常數(shù)是積分常數(shù)( , )(cossin)sinnnnn atn atn xux tABlll1 2 3, ,n 時(shí)間函數(shù)解9解方程 02 TaT 222ln n=1,2,3 第9頁(yè)/共82頁(yè)代入初始條件，有 一般情況下滿足不了，怎么辦？！利用疊加原理！利用疊加原理！101),(),(

6、nntxutxulxnlatnBlatnAnnnsin)sincos(1lxnBlanxlxnAxnnsin)(sin)(第10頁(yè)/共82頁(yè)此時(shí)要滿足初始條件，則 1111sin)(sin)(nnnnlxnBlanxlxnAx式系數(shù)。的傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)和分別為和故)()(xxlanBAnnlnlndxlxnxanBdxlxnxlA00sin)(2sin)(2第11頁(yè)/共82頁(yè)則定解問(wèn)題的最終解為則定解問(wèn)題的最終解為12lnlnnnndxlxnxanBdxlxnxlAlxnlatnBlatnAtxu001sin)(2sin)(2sin)sincos(),(第12頁(yè)/共82頁(yè)( , )nux t

7、是駐波，（固有振動(dòng)模式）相鄰節(jié)點(diǎn)之間距離等于半波長(zhǎng) 2ln波長(zhǎng)=節(jié)點(diǎn)數(shù) n+1 ,位置 lnlnnlnlx,) 1(,2, 0 13lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),()cos(sinnnntlxnNnnnnnnABlanBNarctan,A22n其中第13頁(yè)/共82頁(yè)14本征頻率lnavlannn22, n=1 時(shí),1la基頻基波（決定了音調(diào)） n1 時(shí)lann諧頻諧波（決定了音色） 波腹波腹波節(jié)波節(jié)2.557.51012.515-1-0.50.51第14頁(yè)/共82頁(yè)（4）確定級(jí)數(shù)解中的待定常數(shù)（利用初始條件）（1）將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程（U=XT)（2）

8、確定固有值和固有函數(shù)（利用邊界條件）（3）確定形式解（級(jí)數(shù)形式解）15第15頁(yè)/共82頁(yè)1620ttxxua u00( , )xu x t(0,0)xl t0lxxu00ttulxxut220例：求解例：求解（第二類(lèi)齊次邊界條件）（第二類(lèi)齊次邊界條件）20XTa XT( , )( ) ( )u x tX x T t2 ( )( )( )( )TtXxX xa T t 200Ta TXX 解：解： 設(shè)設(shè)第16頁(yè)/共82頁(yè)170)()0(lXX 0)()0(0)()(lXXxXxX此時(shí)邊界條件為：此時(shí)邊界條件為：相應(yīng)的相應(yīng)的特征值特征值問(wèn)題問(wèn)題為：為：120CC12( )xxX xC eC e 0

9、 (1) 0)0(21CCX0)(21lleCeClX第17頁(yè)/共82頁(yè)1812( )X xC xC120CC(2)0 0)0(2 CX0)(1ClX0)0(1 CX0cos)(2lClX12( )cossinX xCx Cx 非零解非零解20C (3)0 0cosl,.)2 , 1(,4) 12(222nnln則第18頁(yè)/共82頁(yè)19lxnCxX2) 12(sin)(2latnBlatnAtT2) 12(sin2) 12(cos)(lxnlatnBlatnAtxunnn2) 12(sin)2) 12(sin2) 12(cos(),(第19頁(yè)/共82頁(yè)同樣很難滿足初始條件，由疊加原理得 201

10、),(),(nntxutxulxnlatnBlatnAnnn2) 12(sin2) 12(sin2) 12(cos1此時(shí)要滿足初始條件，有 1122) 12(sin2) 12(02) 12(sin2nnnnlxnBlanlxnAlxx第20頁(yè)/共82頁(yè)21式系數(shù)公式可求出由傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)0) 12(322) 12(sin)2(203322nlnBnlxdxlnlxxlA故定解問(wèn)題的最終解為故定解問(wèn)題的最終解為xl)n(stlannltxun212in 2) 12(cos) 12(132),(1332第21頁(yè)/共82頁(yè)2.22.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)lxxxuttlutut

11、lxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0 ,22222)()(tTxXu(x,t)解：設(shè))()()( )(2tTxXatTxX代入方程有第22頁(yè)/共82頁(yè)23)()( 2tTatTX(x)X(x)分離變量后有 0)()( 0)()(22tTatTxXxX即0)()0(lXX由邊界條件有X(x)lXXxXxX和解經(jīng) 0)()0(0)()(時(shí)有非零解只有0,.)2 , 1(222nln此時(shí),.)2 , 1(sin)(nlxnCxX第23頁(yè)/共82頁(yè)24的方程，有代入將T(t)0)()( 222tTlnatT2222)(ltnaDetT則,.)2 , 1(sin2222n

12、lxnAe(x,t)ultnan此時(shí)非零特解為此特解仍然很難滿足初始條件，由疊加原理得級(jí)數(shù)解為此特解仍然很難滿足初始條件，由疊加原理得級(jí)數(shù)解為1sin2222nltnanlxneAu(x,t)第24頁(yè)/共82頁(yè)25由初始條件有 1sin)(nnlxnAx數(shù)。上的傅里葉正弦級(jí)數(shù)系在為故, 0)(lxAnlnnltnandxlxnxlAlxneAtxu01sin)(2sin),(2222第25頁(yè)/共82頁(yè)2.3 二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題 （1）圓域 因?yàn)檫吔缧螤钍莻€(gè)圓周，圓域邊界條件中x、y是不可直接分離的，故化為極坐標(biāo)求解。26)(),(0202222222022yxyxuyuxuyx第26頁(yè)

13、/共82頁(yè)cossinxryr22022011()0,02(, )( ),02(0, )( , )( ,2 )uuuufuuu 27第27頁(yè)/共82頁(yè)第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解)()(),( Ru RRRRRR220)()(1)()(1)()(28第28頁(yè)/共82頁(yè)290( )(2 ) 周期本征值問(wèn)題歐拉方程)( )0(0 )(2RRRRR第29頁(yè)/共82頁(yè)第二步：求解周期本征值問(wèn)題和歐拉方程第二步：求解周期本征值問(wèn)題和歐拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnn

14、nanbnn )0(02RRRR.)2 , 1 , 0()(ncRnnn30第30頁(yè)/共82頁(yè)根據(jù)疊加原理，得到級(jí)數(shù)解根據(jù)疊加原理，得到級(jí)數(shù)解10)sincos(2nnnnnbnaa31)()(),(0nnnRu0)sincos(nnnnnbna第31頁(yè)/共82頁(yè)第三步：利用邊界條件第三步：利用邊界條件利用傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的求解公式100)sincos(2)(nnnnnbnaafdnfbdnfadfannnnsin)(1cos)(1)(120020020032第32頁(yè)/共82頁(yè)歐拉方程歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(為常數(shù)kp,etx 令常系數(shù)線性微分方程

15、xtln即附錄： 歐拉方程33第33頁(yè)/共82頁(yè)歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,etx 令xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222tyyxddtytyyxdddd222 xtln則34第34頁(yè)/共82頁(yè),ddDt記則由上述計(jì)算可知: yyxDyyyxDD22 , ), 3, 2(ddDktkkky) 1D(D用歸納法可證 ykyxkk) 1(D) 1D(D)(于是歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(eDD11tnnnfybyb

16、y轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(edddd111tnnnnnfybtybty即35第35頁(yè)/共82頁(yè) （2）矩形域36)(, 00, 0, 021002222xuuuuyuxulyylxx)()(yYxXu(x,y)解：設(shè)0)()()()(yYxXyYxX代入方程有第36頁(yè)/共82頁(yè)37)()(yYyYX(x)X(x)分離變量后有 0)()( 0)()(yYyYxXxX即0)()0(1lXXX方向邊界條件有由X(x)lXXxXxX和解經(jīng) 0)()0(0)()(1時(shí)有非零解只有0,.)2 , 1(2122nln此時(shí),.)2 , 1(sin)(1nlxnAxXn第37頁(yè)/共82頁(yè)38的方程，解出代入將

17、Y(y)1121)(lynlyneCeCyY則疊加后的級(jí)數(shù)解為疊加后的級(jí)數(shù)解為11sin)(11lxnebeau(x,y)nlynnlynnnny-bauy可求出方向的邊界條件由, 00第38頁(yè)/共82頁(yè)391112sin2)(nnlxnllnshax數(shù)。上的傅里葉正弦級(jí)數(shù)系在為故0,)(2112lxllnshan101121111sin)(1sin2),(lnnndxlxnxllnshlalxnlynshayxu有再由),(2xuly第39頁(yè)/共82頁(yè)泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)0|00lxxxxxx222lk k=1,2,3 0|00lx

18、xxxxx21()2kl 0|00lxxxxxx21()2kl k=0,1,2,3 0|00lxxxxxx222lk40k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第40頁(yè)/共82頁(yè)412.4 非奇次方程的解法lxxtuxutuutlxtxfxuatuttlxx0),(),(0, 00,0),(00022222 研究一根弦在兩端固定的情況下，受強(qiáng)迫力研究一根弦在兩端固定的情況下，受強(qiáng)迫力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象。作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象。 即考慮下列定解問(wèn)題：即考慮下列定解問(wèn)題：第41頁(yè)/共82頁(yè)42 怎么辦？！怎么辦？！ 很明顯現(xiàn)在不能直接用前面的變量分離起手很明顯現(xiàn)在不能直接用前面的變量分離起手式進(jìn)行

19、分解，因?yàn)榈仁接疫叺姆驱R次尾巴沒(méi)辦式進(jìn)行分解，因?yàn)榈仁接疫叺姆驱R次尾巴沒(méi)辦法處理！法處理！ 現(xiàn)在的情況下，弦的振動(dòng)和現(xiàn)在的情況下，弦的振動(dòng)和兩個(gè)原因兩個(gè)原因有關(guān)，有關(guān)，一是一是外力外力，二是，二是初始狀態(tài)初始狀態(tài)。 有否經(jīng)歷過(guò)類(lèi)似情景？是否有可借鑒的類(lèi)似有否經(jīng)歷過(guò)類(lèi)似情景？是否有可借鑒的類(lèi)似情況？情況？第42頁(yè)/共82頁(yè)43 借用結(jié)論：借用結(jié)論： 這里我們用一招移花接木！這里我們用一招移花接木！ 全響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入零輸入=初始狀態(tài)引起振動(dòng)，與外力無(wú)關(guān)；初始狀態(tài)引起振動(dòng)，與外力無(wú)關(guān)； 零狀態(tài)零狀態(tài)=外力引起振動(dòng)，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)外力引起振動(dòng)，與初始狀態(tài)

20、無(wú)關(guān)第43頁(yè)/共82頁(yè)44),(),(),(txWtxVtxu 設(shè)解為：設(shè)解為：初始狀態(tài)原因初始狀態(tài)原因（零輸入）（零輸入）外力原因外力原因（零狀態(tài)）（零狀態(tài)）第44頁(yè)/共82頁(yè)45lxxtVxVtVVtlxxVatVttlxx0),(),(0, 00,0 ,00022222lxtWWtWWtlxtxfxWatWttlxx0 , 00, 00,0),(00022222 （零輸入響應(yīng)）（零輸入響應(yīng)） （ 零狀態(tài)響應(yīng)）零狀態(tài)響應(yīng)）第45頁(yè)/共82頁(yè)46 對(duì)對(duì)V（x，t），可直接用前面的變量分類(lèi)法），可直接用前面的變量分類(lèi)法求出：求出：lnlnnnndxlxnxanBdxlxnxlAlxnlatnB

21、latnAtxV001sin)(2sin)(2sin)sincos(),(第46頁(yè)/共82頁(yè)47 對(duì)對(duì)W（x，t），如何求？），如何求？lxtWWtWWtlxtxfxWatWttlxx0 , 00, 00,0),(00022222固有函數(shù)法）設(shè)(sin)(),(1nnlxntWtxW第47頁(yè)/共82頁(yè)48內(nèi)展開(kāi)為級(jí)數(shù)也按固有函數(shù)在把), 0(),(ltxf1sin)(),(nnlxntftxfdxlxntxfltfln0sin),(2)(其中方程，得到的展開(kāi)形式帶入非齊次和將),(),(txftxW12sin)()()()( nnnnlxntftWlantW第48頁(yè)/共82頁(yè)49)()()()

22、(2tftWlantWnnn即有0)0( , 0)0(nnWW由初始條件有0)0( , 0)0()()()()(2nnnnnWWtftWlantW則用拉式變換法求解第49頁(yè)/共82頁(yè)50并代入初始條件，有方程兩邊取拉式變換的拉式變換為記),()(PWtWnn)()()()(22PFPWlanPWPnnn22)()()(lanPPFpWnn則兩邊拉式逆變換，得到dtlanfanltWtnn)(sin)()(0則第50頁(yè)/共82頁(yè)51xlntTtxunn1sin)(),(xlntftxfnn1sin)(),( 設(shè)設(shè)解法二解法二xlnxnn1sin)(xlnxnn1sin)(第51頁(yè)/共82頁(yè)52l

23、nlxntxfltf0sin),(2)(為正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)其中nntfn,),(lnlxnxl0sin)(2lnlxnxl0sin)(2邊界條件，得到方程和初始條件及將上面諸式代入非齊次第52頁(yè)/共82頁(yè)53nnnnnnnTTtftTlantT)0( ,)0()()()()(2分別滿足和其中令nnnnnWVWVT,nnnnnnVVtVlantV)0( ,)0(0)()()(20)0( , 0)0()()()()(2nnnnnWWtftWlantW（零輸入響應(yīng)）（零狀態(tài)響應(yīng)）第53頁(yè)/共82頁(yè)54)()()(tWtVtTnnn則 原方程的解為：原方程的解為：)()(tWtVnn和分別解出xln

24、tTtxunn1sin)(),(第54頁(yè)/共82頁(yè)55 例例 在環(huán)形域在環(huán)形域 內(nèi)求解下列定解問(wèn)題內(nèi)求解下列定解問(wèn)題byxa22, 0, 0),(12222222222222byxayxnuubyxayxyuxu解解由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以改選用平由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以改選用平面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系之面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系間的關(guān)系sincosyx第55頁(yè)/共82頁(yè)56將上述定解問(wèn)題用極坐標(biāo)表示出來(lái)：將上述定解問(wèn)題用極坐標(biāo)表示出來(lái)：20, 0, 020 ,2cos121)(12222 bauubauu 利用上節(jié)求出的圓域拉普拉斯方程的本征函利用上節(jié)求出

25、的圓域拉普拉斯方程的本征函數(shù)，設(shè)解為數(shù)，設(shè)解為0sin)(cos)(),(nnnnBnAu第56頁(yè)/共82頁(yè)57 代入方程并整理得到：代入方程并整理得到：2cos12sin)()(1)(cos)()(1)(202222 nnnnnnnnBnBBnAnAA比較兩端的系數(shù)可得比較兩端的系數(shù)可得0)()(1)()2(0)()(1)(12)(4)(1)(222222222 nnnnnnBnBBnAnAAAAA 第57頁(yè)/共82頁(yè)58再由邊界條件得再由邊界條件得0)()(0)()(bBaBbAaAnnnn通解為：通解為：.)3 , 2 , 1( )()2( )(ndcBndcAnnnnnnnnnn求解得

26、求解得 0)()2(0)(nnBnA第58頁(yè)/共82頁(yè)59特解有特解有 4*2)(A所以有所以有 422212)(ccA代入邊界條件有代入邊界條件有 446612babac 42442244244662)2(2)(bababababaA 4422442)2(bababac原定解問(wèn)題的解為原定解問(wèn)題的解為 2cos)(),(2Au第59頁(yè)/共82頁(yè)602.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理lxxtuxuttuutuutlxtxfxuatuttlxx0),(),(0),(),(0,0),(0021022222設(shè)有定解問(wèn)題設(shè)有定解問(wèn)題 邊界條件非齊次，若用前面方法分離變量，由邊界條

27、件邊界條件非齊次，若用前面方法分離變量，由邊界條件沒(méi)有辦法得到只與某個(gè)常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。沒(méi)有辦法得到只與某個(gè)常微分方程有關(guān)的具體邊界函數(shù)值。 怎么辦？！怎么辦？！第60頁(yè)/共82頁(yè)61想辦法把邊界條件化為齊次！想辦法把邊界條件化為齊次！),(),(),(txWtxVtxu設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，令設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，令00lxxVV所以要求所以要求)(),(210tuWtuWlxx選取選取W(x,t)使使V(x,t)的邊界條件化為齊次的，即的邊界條件化為齊次的，即第61頁(yè)/共82頁(yè)62)()(),(tBxtAtxW)()(),()(1)(112tutBtu

28、tultA 一般這樣的函數(shù)是很容易找到的，最簡(jiǎn)單的如選取一般這樣的函數(shù)是很容易找到的，最簡(jiǎn)單的如選取關(guān)于關(guān)于x x的線性函數(shù)：的線性函數(shù)： 代入代入w w（x x，t t）要滿足的邊界條件，可求出：）要滿足的邊界條件，可求出：xtutultutxW)()(1)(),(121即第62頁(yè)/共82頁(yè)63121xluuuVulxxtuxutVVtlxtxfxVatVttlxx0),(),(0, 00,0),(10100122222此時(shí)關(guān)于此時(shí)關(guān)于V的定解問(wèn)題為的定解問(wèn)題為因此只要做如下代換，因此只要做如下代換，V將滿足齊次邊界條件。將滿足齊次邊界條件。第63頁(yè)/共82頁(yè)64)0()0()0()()()

29、0()0()0()()()()()(),(),(121112111211xluuuxxxluuuxxxltutututxftxf其中其中關(guān)于關(guān)于V V（x x，t t）的問(wèn)題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問(wèn)題。）的問(wèn)題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問(wèn)題。第64頁(yè)/共82頁(yè)65 當(dāng)邊界條件不同時(shí)，方法一致（關(guān)鍵在與當(dāng)邊界條件不同時(shí)，方法一致（關(guān)鍵在與w w（x x，t t）的選?。┑倪x?。琖 W（x x，t t）的形式不同。）的形式不同。);(),() 1 (210tuxutuulxx常用的最簡(jiǎn)單的常用的最簡(jiǎn)單的w w（x x，t t）形式）形式)()(),(12tuxtutxW取);()

30、,()2(210tuutuxulxx)()()(),(121tultuxtutxW取);(),()3(210tuxutuxulxxxtuxtutultxW)()()(21),(1212取第65頁(yè)/共82頁(yè)6620102,00)()(uWuWlxxfxWaxx通過(guò)上式可以求出通過(guò)上式可以求出W W（x x）的形式。）的形式。注：若注：若f f，u u1 1，u u2 2都與都與t t無(wú)關(guān)，則可選取無(wú)關(guān)，則可選取W W（x x）（與）（與t t無(wú)關(guān)），無(wú)關(guān)）， 使使V V（x x，t t）同時(shí)滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時(shí)）同時(shí)滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時(shí) W W（x x）需滿足：）需滿足：

31、第66頁(yè)/共82頁(yè)67lxxtuxutVVtlxxVatVttlxx0),(),(0, 00,0 ,1010022222此時(shí)此時(shí)u u（x x，t t）=V=V（x x，t t）+W+W（x x），則），則V V（x x，t t）滿足）滿足)()()()()(11xxxWxx其中第67頁(yè)/共82頁(yè)68lxtuutBuutlxAxuatuttlxx0 , 00, 00,0 ,00022222例1：求的形式解，其中A,B均為常數(shù)。)(),(),(xWtxVtxuAWxVatV 22222解：令代入方程有第68頁(yè)/共82頁(yè)69 0, 00 , 0)(02tBWWlxAxWalxxxlBaAlxaAx

32、W)2(2)(222lxtuxWVtVVtlxxVatVttlxx0 , 0),(0, 00,0 ,00022222通過(guò)二次積分即邊界條件求得：則V的方程為：第69頁(yè)/共82頁(yè)701( , )(cossin)sinnnnn an anV x tCtDtxlll0nDxlntlanCtxVnnsincos),(1xlnCxWnnsin)(1xlnCxlBaAlxaAnnsin)2(21222利用分離變量法，帶齊次邊界的方程的解為利用第二個(gè)初始條件代入第一個(gè)初始條件有即第70頁(yè)/共82頁(yè)71nBnaAlnnaAlxdxlnxlBaAlnxlaAxdxlnxlBaAlxaAlClllncos)(22

33、sin)2(sinsin)2(22222222200222202221222sincos)2(2),(nnxlntlanCxlBaAlxaAtxu由傅里葉系數(shù)公式可得因此，原定解問(wèn)題的解為：第71頁(yè)/共82頁(yè)72lxxluutuuutlxubxuatutlxxx0 ,0, 00,0 ,2210102222例2 求定解問(wèn)題其中b,u1均為常數(shù)。1),(),(utxVtxu解：令代入方程有第72頁(yè)/共82頁(yè)73lxuxluVtVVtlxubVbxVatVtlxxx0 ,0, 00,0 ,122100122222lxuxluVtVVVbxVatVItlxxx0 ,0, 0)(12210)1()1(0)1()1(22)1(22)1(lxVtVVubVbxVatVIItlxxx0 , 00, 0)(0)2()2(0)2(12)2(22)2(22)2(分解為兩個(gè)方程（零輸入響應(yīng)）（零狀態(tài)響應(yīng)）第73頁(yè)/共82頁(yè)74對(duì)于問(wèn)題