隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

1、9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式二、多個(gè)變量的方程二、多個(gè)變量的方程F(x,y,z)=0的情形的情形三、多個(gè)變量的方程組的情形三、多個(gè)變量的方程組的情形 四、小結(jié)四、小結(jié) 一、兩個(gè)變量的方程一、兩個(gè)變量的方程F(x,y)=0的情形的情形 9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、兩個(gè)變量的方程一、兩個(gè)變量的方程F(x,y)=0的情形的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式定理定理9.79.7( (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1) )的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00= =yxF，0),(00 yxFy, ,則方程則方

2、程0),(= =yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy = =，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy = =，并，并有有yxFFdxdy- -= =. .),(yxF),(00yxP設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解令令則則,3),(33axyyxyxF- - = =例例1 1 求由方程求由方程 0333= =- - axyyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy= =的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).dxdy由公式得由公式得axyFayxFyx33,3322

3、- -= =- -= =22yaxayxFFdxdyyx- - -= =- -= =9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式二、多個(gè)變量的方程二、多個(gè)變量的方程F(x,y,z)=0的情形的情形定理定理9.89.8( (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2)2)zxFFxz- -= = ，zyFFyz- -= = . .并有并有 ),(yxfz = =，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz = =，在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一 確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn)000z

4、 ,y,x的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,z ,y,xF0000=0),(000 zyxFz，則方，則方程程0=z , y, xF9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解令令則則,1),(- - = =zxyzxyzyxF, zyFx = =, yxFz = =,yxzyFFxzzx - -= =- -= = 222)()()(yxzyyxxzxz - - - -= = 例例2 2 設(shè)設(shè)，求，求22xz . .1= = zxyzxy22)()(2)()()(yxzyyxzyyxyxzy = = - - - - -= =9 9. .4 4 隱函數(shù)的求

5、導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式三、多個(gè)變量方程組的情形三、多個(gè)變量方程組的情形定理定理9.99.9( (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3)3)設(shè)設(shè)),(vuyxF、),(vuyxG在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且0),(0000= =vuyxF, ,),(0000vuyxG0= =，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（JacobiJacobi）式）式） vGuGvFuFvuGFJ = = = =),(),(9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,),(),(1vuvu

6、vxvxGGFFGGFFvxGFJxu- -= = - -= = 在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組0),(= =vuyxF、0),(= =vuyxG在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu = =，),(yxvv = =，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu = =, ,vv = =0),(00yx，并有，并有9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv- -= = - -=

7、 = ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu- -= = - -= = .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv- -= = - -= = 9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解由所給兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)由所給兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)x x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 = = = = 010222xvxuxvvxuux.,uvxuxvvuxvxu- - -= = - - -= = 例例3 3 設(shè)設(shè)u及及v由方程組由方程組 = = = = 012222vuyxvuyx確定為確定為x x、y y的函數(shù)，求的函數(shù)，求 及及 . .xvxu

8、 解之得解之得 9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1(= =yxF0),()2(= =zyxF = = =0),(0),()3(vuyxGvuyxF四、小結(jié)四、小結(jié)9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式五、思考題五、思考題已知已知)(zyzxj j= =，其中，其中j j求求?= = yzyxzx為可微函數(shù)，為可微函數(shù)，9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式思考題解答思考題解答,1)(zzyFy - -= =j j,)()(22zyzyzxFz- - - - -= =j

9、j,)(zyyxzFFxzzxj j - -= =- -= = ,)()(zyyxzyzFFyzzyj jj j - - - -= =- -= = 記記)(),(zyzxzyxFj j- -= =, , 則則zFx1= =，于是于是zyzyxzx= = . .9 9. .4 4 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式雅可比(18041851)德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家. .他在數(shù)學(xué)方面最主要他在數(shù)學(xué)方面最主要立地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ)立地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). .他對(duì)行他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作列式理論也作了奠基性的工作. .在偏微在偏微分方程的研究中引進(jìn)了分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式雅可比行列式, ,并應(yīng)用在微并應(yīng)用在微和微分方程，和微分方程，在分析力學(xué)在分析力學(xué), , 動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有