微積分在微觀經濟學中的應用

1、1引言微積分廣泛地應用在自然科學、社會科學及應用科學等各個領域，用來解決 那些僅靠代數學不能有效解決的問題. 經濟學作為社會科學“皇冠上的明珠”，其 與微積分的聯(lián)系也尤為緊密，我們就拿微觀經濟學為例微觀經濟學是研究社會 資源配置以及社會微觀個體的經濟關系的一門科學，從它誕生之日便和數學結下 了不解之緣自威廉-斯坦利和卡爾-門格爾等人的“邊際革命”將邊際分析引入 經濟學分析起，微積分在經濟學研究中的作用越來越重要，它為解決以“變量” 為研究對象的大量問題提供了一種深刻的思想方法，是運用定量分析方法研究經 濟理論的有效工具微積分以其特有的嚴密性為微觀經濟學理論提供了科學的論 證和精確的數理分析，嚴

2、格的量化的論證與分析提高了經濟學理論的科學性微 觀經濟學這一百多來的發(fā)展實踐證明：將現(xiàn)代的數學方法例如微積分引入到微觀 經濟學領域，大大地推動了經濟學的研究和發(fā)展.本文主要結合微觀經濟學中的典型的經濟模型和經濟問題， 探討微積分在微 觀經濟學研究中的具體運用，以提高用高等數學中的方法來處理復雜經濟現(xiàn)象的 能力下面研究主要集中在諸如邊際分析、彈性分析、成本問題、收入問題、消 費者剩余和生產者剩余這些方面，從而讓我們對微積分這個分析工具在經濟學中 的運用有個更加清晰全面的認識.2經濟學中常用函數在引入微積分在微觀經濟學中的運用之前， 先來簡要介紹下經濟學中的幾個 常用的函數.需要注意的是，由于在現(xiàn)

3、實中許多經濟函數并不是連續(xù)函數，為了能夠進行微積分運算，我們不妨先假設它們是連續(xù)且可微函數.2.1需求函數需求函數是反映在每一可能的價格水平下消費者對某種商品愿意并且能夠 購買的有效需求量Q與該商品的價格P之間對應關系的函數，記作Qd = Q P 2.2供給函數供給函數是反映在每一可能的價格水平下生產者對某種商品愿意并且能夠 提供的有效供給量 Q與該商品的價 格P之間對應關系 的函數，記作 QQ P 2.3效用函數效用函數是反映消費者在消費中所獲得的效用與所消費的商品組合之 間數量關系的函數它被用以衡量消費者從消費既定的商品組合中所獲得 滿足的程度其表達式是：U二U x,y,z.式中x,y,z

4、分別代表消費者所擁有或消費的各種商品的數量.2.4產量函數產量函數又稱作生產函數，它反映廠商在生產過程中投入的一種或者幾種要 素量與最大產量之間的關系.需要指出的是，產量又可以分為總產量、平均產量 和邊際產量，分別記為TP,AP,MP,對應的產量函數分別是TP=TP(x), AP=AP x，其中X表示一種或幾種要素組合.2.5成本函數成本函數反映的是在廠商的生產過程中投入的成本 TC與產品數量Q之間的 關系的函數，由于成本函數是建立在生產函數的基礎上的，而生產理論中將生產 分為短期和長期兩種，短期生產有可變要素投入和不變要素投入之分， 因此通常 認為短期成本函數也分為可變成本與固定成本，記作

5、TC =TC Q = C1 C2 Q， 其中Ci為固定成本，C2 Q為可變成本.2.6收益函數收益函數反映的是廠商銷售商品的數量Q與收益R之間的關系，記作 R二RQ二PQ Q，其中P Q為商品的價格函數.3導數在微觀經濟學中的應用3.1導數與邊際分析9函數y = f(x)的導函數(xlim 是函數的變化率，在經濟學中稱做f x的邊際函數，導數值f x稱為f x在x=xg處的邊際值.經濟學中的邊際經濟變量都是用增加某一個經濟變量一單位從而對另一個經濟變量帶來的影 響是多少，如效用函數、產量函數、成本函數、收益函數，它們的導數分別稱作 邊際效用、邊際替代率、邊際產量、邊際成本、邊際收益.3.2導數

6、與最優(yōu)化分析最優(yōu)化分析包括最大化分析和最小化分析，微觀經濟學是從單個經濟個體的角度來研究資源最優(yōu)配置的學科，作為理性的經濟人必然會依據自己的效用偏好， 在既定的資源約束條件下做出一個最優(yōu)的經濟決策，這就是最優(yōu)化的實質.在理論上有生產者利潤最大化、消費者效用最大化、生產要素組合最優(yōu)化.如何實現(xiàn) 給定條件下的最優(yōu)化，其基本分析工具是微積分，如一階導數.(1)生產者利潤最大化生產者是以利潤最大化為目的進行生產的，因此，理性的廠商在生產過程中必然會選擇一個最優(yōu)的生產點.廠商的利潤等式為：L Q二TR Q -TC Q 由 微積分知識可得，滿足上式利潤最大化的條件是：L Q =TR Q -TC Q二MR-

7、MC =0，即廠商應該選擇最優(yōu)的產量使得邊際收 益MR等于邊際成本MC，這樣，廠商才能獲得最大的利潤將利潤最大化的均 衡條件簡稱為MR二MC 這個均衡條件有時也被稱為利潤最大或虧損最小的均 衡條件.生產者往往依據最優(yōu)化原理來做出生產決策， 確定最優(yōu)產量.具體而言， 當生產者將產量定在MR Q二MC Q時，即邊際成本等于邊際收益下的產量為 最優(yōu)產量.3.3導數與彈性分析在前面我們已經知道，導數是函數的變化率，但它只是絕對變化率，而有時 我們在比較不同函數的變量對其自變量波動的靈敏程度時，還需要知道它的相對變化率，即應變量y的相對改變量與自變量x的相對改變量之比.這也就是我們 要介紹的將導數引入彈

8、性分析問題.在微觀經濟學中，典型的彈性問題有需求彈性，需求的收入彈性，需求的交 叉彈性，供給彈性等.3.4偏導數與效用分析在效用論中效用是指消費者在消費商品時所感受到的滿足程度，它是消費者對商品滿足自己欲望的能力的一種主觀心理評價.但是偏導數引入，仍然可以對 效用進行定量分析，即提出效用函數，其中最典型的是柯布一道格拉斯函數，U二x：y ：，商品x和商品y的價格分別為FX和Py，消費者的收入為M，a和B為 常數,且a + B =1,接下來分析：該消費者關于商品x和商品y的需求函數；證明當商品x和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品的需求關系維持不變.證明消費者效用函數中的

9、參數a和B分別為商品x和商品y的消費指出占消 費者收入的份額.分析如下： 由消費者的效用函數U =x y ,算得：MUx 二：U 議=：xf，MUy 二：x： y 消費者的預算約束線方程Px x PyM .根據我們上面分析的消費者效用最大化的均衡條件:FX x Py y = M得：xy-/ -x-y1 =Pxp 巳 x Py y 二 M 解方程組可得：xM / p,y = 1 M / Fy , 即為消費者關于商品x和商品y的需求函數.當商品x和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，相當于消費者 的預算線變?yōu)樗葂，；“Py y =，M，其中入為一非零常數.此時消費者效用最大化的均衡條件變?yōu)?/p>

10、：二x ：/ ： x： y 一=Px 卩巳 x Py y 二 M 由于工0,故方程化為:-x ：7 : x ： y二 Px 卩Px x Py y 二 M 顯然，其解就是x八M /Px，y ： M / Py ,這表明，消費者在這種情況下對兩商品的需求關系維持不變. 由消費者的需求函數x=M /Px，yJ?M /Py可得：:=PX x/M，飛-P y/M上述兩式正是商品x和商品y的消費支出占消費者收入的份額， 故結論被證實.6小結通過本文的粗淺分析，我們可以認識到僅僅是微積分在微觀經濟學中的運用 就已經很廣泛而且深入.因此，要想掌握好本科階段學習的經濟學理論，學好高等 數學便是一個十分必要的環(huán)節(jié)，無論是高等代數、線性代數還是概率論與數理統(tǒng) 計等,都應該給予很高的重視，這樣才能深入探究西方經濟學、國際經濟學、計量 經濟學等經濟學學科，為今后的進一步學習研究打下良好的基礎.同樣，對企業(yè)經營者來說，對其經營環(huán)節(jié)進行定量分析也