電磁場與電磁波公式總結(jié)

1、電磁場與電磁波復(fù)習(xí)第一部分知識點歸納第一章矢量分析1三種常用的坐標系（1）直角坐標系dSx dydz微分線元：d Rax dx ay dyaz dz面積元:dSy dxdz，體積元：ddSz dxdydxdydz（2 ）柱坐標系dlrdrdSrdl dlzrd dz長度兀：dlrd，面積元dSdlrdlzdrdz，體積元drdrddzdlzdzdSzdl dlzrdrdz（3 ）球坐標系dlr drdSrdl dlr2 sin d d長度元：dlrd,面積元：dS dlrdlr sin drd,體積元dlr sin ddS dlrdlrdrdd r2 sin drd d2、三種坐標系的坐標變量

2、之間的關(guān)系 （1 ）直角坐標系與柱坐標系的關(guān)系 2x r cos r x yy rsin , arctanxz zz z（2 ）直角坐標系與球坐標系的關(guān)系rsin cosrsin sinr ,x2y2 z2zz r cosarccos2 2 2 .x y zyarcta n 丄z(3)柱坐標系與球坐標系的關(guān)系rsin一，2 2 r 、r zz arccos'2r cos，r'23、梯度（1 ）直角坐標系中:gradax xayaz（2）柱坐標系中:gradaraz(3) 球坐標系中:gradar4. 散度(1 )直角坐標系中:r sindiv Ax y(2)柱坐標系中：Azz1

3、1 Adiv A(rAr)r rr(3)球坐標系中：Azzdiv A 1 (r2Ar)r rr sin(sin A )r sin5、 高斯散度定理：AdSAd div Ad ,意義為：任意矢量場 A的散度在場中任A 0標量場梯度的旋度恒為零，0S(1)直角坐標系中：axayazAx yAx AyzAz(2)柱F坐標系中：ar raazA1rrzArrAAz(3)球坐標系中:arr ar si naA12 r sinrArrAr sinA意體積內(nèi)的體積分等于矢量場 A在限定該體積的閉合面上的通量。6, 旋度兩個重要性質(zhì)：矢量場旋度的散度恒為零,7、斯托克斯公式：A d lA d SCS第二章 靜

4、電場和恒定電場位移矢量D和電位 。電場強度與電位的關(guān)系為：E08.854 10 12 F/m1、靜電場是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場。描述靜電場的基本變量是電場強度E、電2、電場分布有點電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布。其電場強度和電位的計算公式如下:（1）點電荷分布1 N qk Rk(2)40 k 1 Rk體電荷分布qk1/ N1 qk0 k 1 Rk1 (r')dvII1 (r )(r r )dv3（3）面電荷分布s(r')(r r')dS'1 S(r')dS（4）線電荷分布1 l (r )(r r )dl31l(r )dl4 0 1r

5、 r3、介質(zhì)中和真空中靜電場的基本方程分別為：SD d Sq,（積分形式）表示意義 介質(zhì)中的高斯定理（q為S面內(nèi)的總源電荷和S面內(nèi)的總極化電荷之和）（r）（微分形式）；Ed0,（積分形式）表示意義安培環(huán)路定理,說明靜電場是一種發(fā)散 場，也是保守場。0（微分形式）sEdS丄qi.（積分形式）0 i 1E 一 （微分形式， 為體電荷密度）0表示意義真空中的高斯定理在線性、各向同性介質(zhì)中，本構(gòu)方程為:4、電介質(zhì)的極化（1）極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為:P（P極化強度矢量）。P n（n為表面的單位法向量矢量）（2）介質(zhì)表面的極化面電荷密度為：pS5、在均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普

6、拉斯方程，即-（有源區(qū)域）,0（無源區(qū)域）6、介質(zhì)分界面上的邊界條件（1 ）分界面上Dn的邊界條件D1n D2n S或 n （ D<| D2） S（S為分界面上的自由電荷面密度），當(dāng)分界面上沒有 自由電荷時，則有：Din D2n即卩n Di n D2，它給出了 D的法向分量在 介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：（I）如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，則分界面兩側(cè)D的法向分量連續(xù);1跨過分界面進入介質(zhì) 2用電位表示:（2）分界面上Et的邊界條件（切向分量）1（II ）如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度s， D的法向分量從介質(zhì)時將有一增量，這個增量等于分界面上的面電荷密度0)n E n E或 E1tE2t ,電場強

7、度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的。由于電場的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量 有限，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即電力線折射定律:tan 1tan 27、靜電場能量（1）靜電荷系統(tǒng)的總能量1分界面上Et的邊界條件體電荷:面電荷:Weds ；線電荷:l dl。（2 ）導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量為：Weqk（3 ）能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間，1 e D E2一點的能量密度為:而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的。1E2J /m3場中任意E2d來計算。V在任何情況下，總靜電能可由We28、恒定電場存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中由外加電源維持。描述恒定電場特性的基本變量為電場強度E和電流密度J，且JE。

8、為媒質(zhì)的電導(dǎo)率。（1）恒定電場的基本方程電流連續(xù)性方程:積分形式：.J d SS微分形式：J -一或t 恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的。_qtj ot場中任一點和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的增減，即 0和0。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋?J d S 0和 J 0，再加上ttSEd I 0和E 0，這變分別是恒定電場基本方程的積分形式和微分形式。C（2）恒定電場的邊界條件E2t 或 n (Eit E2t )0(1)J1nJ2n或 n (J1 J2)0,(2) E1t應(yīng)用歐姆定律可得：1E1n2E2n和J 1tJ 2t。2此外，恒定電場的焦耳損耗功率密度為E2，儲能密度為1e2。第四章恒定磁

9、場0410 7 H /m,)1、磁場的特性由磁感應(yīng)強度B和磁場強度（真空磁導(dǎo)率：H來描述，真空中磁感應(yīng)強度的計算公式為:(1)線電流:0 Id I aR2 一41 R0 Id I (r r)41-(2)面電流:0 JS aR丄。Js（J）dS'4 S(3)體電流:%4R2J (r r)d2、恒定磁場的基本方程（1）真空中恒定磁場的基本方程為:A、磁通連續(xù)性方程：積分形式:"sB微分形式：（2）磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程為:dS0 ,真空中安培環(huán)路定理:0積分形式： B d ll微分形式：。|A磁通連續(xù)性方程仍然滿足：積分形式：.sBdS00微分形式:B磁介質(zhì)中安培環(huán)路疋理：積

10、分形式：Hld l I微分形式：H JC磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程：b0 rHH(H M,其中M為磁化強度矢量）。0恒定磁場是一種漩渦場，因此一般不能用一個標量函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)在磁場中被磁化， 其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流。磁介質(zhì)的磁化程度用磁化強度M表示。(1 )磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：JmM ；(2)磁介質(zhì)表面上的束縛面電流密度為：JmS M n(其中，n為表面的單位法向量矢 量)4、恒定磁場的矢量磁位為：BA，矢量A為矢量磁位。在庫侖規(guī)范條件(A 0)下，場與源的關(guān)系方程為對于分布型的矢量磁位計算公式：J (有源區(qū))2a0(無源區(qū))(1) 線電流：A2丄

11、(2 )面電流：A4 l R5、恒定磁場的邊界條件(1 )分界面上Bn的邊界條件在兩種磁介質(zhì)的分界面上，取一個跨過分界面兩側(cè)的小扁狀閉合柱面(高 h 0為無窮小量)， 如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：JsdSS(3 )體電流：asB d SB1 ndS B2 ndS 0于是有:(2)n (H1n (B2 B1)0或 B1n B2n分界面上Ht (切向分量)的邊界條件: h2) Js，如果分界面上無源表面電流(即 JS 0 )，則 n (H磁力線折射定律：tan 2H2)0即 H1t H2t 或Ht sin用矢量磁位表示的邊界條件為:1A2,(1A)t1-(2A2 )tJ S6、電感的計算(

12、1 )外自感:dl0 d l0,(2)互感:L0I(3)內(nèi)自感：單位長度的圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為:M 120 n1n24(長度為I的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)M 21l1al2自感為L _L)。87、磁場的能量和能量密度(1)磁場的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場能量為:WmNM kj I j I k(3) 磁場能量密度1-H B，此時磁場總能量可以由2各向同性，線性磁介質(zhì)中：A、任意磁介質(zhì)中:1 B H d計算出；B在2H，此時磁場總能量可以由WmWm- B H d 1H 2d2 2第五章時變電磁場1、法拉第電磁感應(yīng)定律（1）感應(yīng)電動勢為：dt積分形式：；E d lB d S（2）法拉第電磁感應(yīng)定

13、律lSt微分形式：EBt種旋渦場，即感應(yīng)電場不再是保它說明時變的磁場將激勵電場,而且這種感應(yīng)電場是-守場，感應(yīng)電場 E在時變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通 的負變化率。2、麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，電位移矢量對時間的變化率可視為一種廣義的電流密度，稱為位移電流密度，即 Jd D。位移電流一樣可以激勵磁場，從而可以得出 t積分形式：H d l = (J:ls'D) d S t時變場中的安培環(huán)路定律微分形式：HDJ t3、麥克斯韋方程組Ds(JD、.廠(1)： H d l(1) H J )d S t（1） 微分形式（2）B （ 2）積分形式E

14、t(2片 E d lSB dS t(3)B 0(3)即d l0(4)D（4戶 SDd Sq（3）非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系:DE0 r E,BH0 r H , JC(1)HJE t(2)EH t(3)H0(4)EE，由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組:（4）麥克斯韋方程組的實質(zhì)A、第一方程：時變電磁場中的安培環(huán)路定律。物理意義：磁場是由電流和時變的電場 激勵的。B第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時變的磁場激勵電場的這一事 實。C第三方程：時變電場的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場是一個旋渦場。D第四方程：高斯定律。物理意義：時變電磁場

15、中的發(fā)散電場分量是由電荷激勵的。 思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進電流連續(xù)性方程？答：因為它可以由微分形式的方程組中、式兩式導(dǎo)出。把式兩邊同時取散度得即得 j _0，這便是電流連續(xù)性方程。t4、分界面上的邊界條件(1)法向分量的邊界條件a、D的邊界條件n (Dj D2)s，若分界面上s0，則 n (Di D2) 0B b的邊界條件n (Bj B2)(2)切向分量的邊界條件A E的邊界條件n (Ei E2)B、H的邊界條件(3)理想導(dǎo)體n (Hi H2)Js，若分界面上Js)表面的邊界條件0，則 n (比 H2)0(1)n H JsHtJSEtBn(3)nEn式中n是導(dǎo)體表面法線方向的單位矢

16、量。上述邊界條件說明：在理想導(dǎo)體與空氣的分界面上，如果導(dǎo) 體表面上分布有電荷，則在導(dǎo)體表面上有電場的法向分量，則由上式中的式?jīng)Q定，導(dǎo)體表面上電場 的切向分量總為零；導(dǎo)體表面上磁場的法向分量總為零，如果導(dǎo)體表面上分布有電流，則在導(dǎo)體表面 上有磁場的切向分量，則由上式中的決定。5、波動方程2H22e廠0、E牙° ；tt此兩式為三維空間中的矢量齊次波動方程。由此可以看出：時變電磁場在無源空間中是以波動的方式1無源區(qū)域內(nèi)，E、H的波動方程分別為:2h在運動，故稱時變電磁場為電磁波,且電磁波的傳播速度為6、坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學(xué)表達式:sEH d s(2E2d由于we儲能，p12EdE2d

17、12為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率。為體積內(nèi)的總電場儲能，WmH2d為體積內(nèi)的總磁場于是上式可以改寫成:E HdS W Wm) P，式中的s為限定體積的閉合面。st物理意義：對空間中任意閉合面 s限定的體積，s矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電 磁能量的增加率和焦耳損耗功率，它給岀了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。坡印廷矢量（能流矢量）S E H表示沿能量流動方向單位面積上傳過的功率。7 、動態(tài)矢量磁位 A和動態(tài)標量為與電磁場的關(guān)系為:達朗貝爾方程（或稱 A與的非齊次波動方程）為t2第六章正弦平面電磁波歐拉公式：ejx cosx jsinx1、正弦電磁場（1） 正弦電場、磁場強度的復(fù)數(shù)

18、表示方法（以電場強度為例） 在直角坐標系中，正弦電磁場的電場分量可以寫成：E(x,y, z,t) axExm(x, y,z) cos t x(x,y,z)ay Eym(x, y, z) C0S t y (x, y, Z)a z Ezm (x, y,z) cos t z(x,y, z)運用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式：ExExm COStx(x, y,z)ReEXmej(t x)Re(Exmej t)EyEymy(x,y,z)(t y)L_ 一j t、costRe EymeRe(Eym ej )EzEzmcostz(x,y,z)ReEzmej( t z)Re(Ezmej t)其中，E xmEj

19、 xmex,EymEymey , EzmEzmez分別稱為各分量振幅的相量,它的模和相位角都是空間坐標的函數(shù)，因此E(x, y,乙t) Re(ax Exm ay Eym az Ezm)ej tRe(Eej t)其中，E ax Exm ay Eym az Ezm，稱為電場強度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要 素。電場強度復(fù)矢量是一個為簡化正弦場計算的表示符號，一般不能用三維空間中一個矢量來表示， 也不能寫成指數(shù)形式。例題1將下列場矢量的瞬時值改寫為復(fù)數(shù)；將場得復(fù)矢量寫為瞬時值axx(D H axHok( )sin( )sin(kzt) az H 0 cos( ) cos(kz t)a(2)

20、 E xm解：(1)因為2 jE0 sin cos(kxcos )e jkzs'ncos(kzt)是偶函數(shù)，貝U cos(kzt) cos( t kz)而 sin(kzt) cos(kzt ) cos( tkz 2)，故H m ax H ok(旦)sin( ) 2az H 0 cos(-)e jkzaaax H xm az H zm(2) 因為 Exm 2jE0 sin cos(kxcos )e jkzsin2E0 sin cos(kxcosj (kzsin)e故 Ex2EoSin cos(kxcos ) cos( t kzsin)(2)麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式j(luò) B ，此方程組沒有時

21、間因子，注意：式中的場量仍代表復(fù)矢量，標量仍代表復(fù)數(shù)。0D對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給岀的源寫岀其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場得復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達式。例題2在真空中，已知正弦電磁波的電場分量為E(z, t)ay 103 sin( t z)，求波的磁場分量H(z,t)解：先將波的電場分量寫出復(fù)矢量，即Eyj103ej(tz)，將其代入矢量的麥克斯韋方程組:E j 0H可得:Hax103ej(t0(3)正弦場中的坡印廷定理1Hj 0z)，將上式展開取實部得:Ei0 z，將 EyH(z, t)j103ej( t z)代入上式可得ax3-10

22、sin( t z)0=S d SS其中Wm平均(Pm Pe PT)dj2H 2為磁場能量密度的平均值,(Wm平均We平均)d1We平均4E2為電場能量密度的平均值。這里場量E、H分別為正弦電場和磁場的幅值。亥姆霍茲方程(正弦電磁場波動方程的復(fù)數(shù)形式)正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進閉合面S內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損 耗；而流進(或流岀)的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交換的尺度。(4)2k E 0，式中k2 k2 H 02e2h2、理想介質(zhì)中的均勻平面波(1) 均勻平面波的波動方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。2稱為正弦電磁波的波數(shù)。均勻平面波是指波的電場 E和磁場H只沿波的傳播方向變化， 而，Vp通常稱為波的相速度。k波在一個周期中傳播的距離稱為波長，用J(其中，kk