1990真題及解析

1、1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 極限 lim( Jn +3亦 一 Jn -亦)= 設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，f (0) =0, f (0) =b ,若函數(shù)工f(x) asin x,x = 0,F(x)= xA,x = 0在x = 0處連續(xù)，則常數(shù) A =.2 曲線y=x與直線y=x+2所圍成的平面圖形的面積為 .X + X2 = -C,x2 + x, = a2,(4) 若線性方程組22有解,則常數(shù)a1,a2,a3,a4應(yīng)滿足條件 .X3+&=as,X4 * x( =80(5) 一射手對同一目標(biāo)獨立

2、地進行四次射擊，若至少命中一次的概率為，則該射手的命81中率為.二、選擇題(本題滿分15分，每小題3分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)sin x(1)設(shè)函數(shù) f (x)二 x tan x e ,則 f (x)是()(A) 偶函數(shù) (B)無界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D) 單調(diào)函數(shù) 設(shè)函數(shù)f (x)對任意x均滿足等式f (1 x af (x),且有f (0) = b,其中a, b為非零常數(shù)，則()(A) f (x)在x =1處不可導(dǎo)(B)f (x)在x = 1處可導(dǎo)，且f (1) = af (x)在x = 1處可導(dǎo)，且f (1) = ab(C) f

3、(x)在 x=1 處可導(dǎo)，且 f(1)=b (D) 向量組1,2l(,s線性無關(guān)的充分條件是()(A) ：'1,2,川，»均不為零向量(B) ：仆2,川，»中任意兩個向量的分量不成比例(C) ：1,中任意一個向量均不能由其余S-1個向量線性表示(D) ：'i,2,|l(,：s中有一部分向量線性無關(guān) 設(shè)代B為兩隨機事件，且B A,則下列式子正確的是(A) P A B j=P A(B)P AB = P Am-1 1PX =m1 12 2則下列式子正確的是m-1 1PY = m1 12 2P B - Ai=P(B)_ P A()PX 二Y.；=0PfX 二Y ；=

4、10求級數(shù)7n £n(x _3)2n的收斂域.(C) P(BA)=P(B)(D)(5)設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，其概率分布為(A) X 二丫(B)1(C) PX =Y(D)2三、計算題(本題滿分20分,每小題5分.)x In to(1)求函數(shù)l(x) 2dt在區(qū)間e,e2上的最大值.'e t2 2t +1 計算二重積分xedxdy,其中D是曲線y = 4x2和y二9x2在第一象限所圍成的區(qū)D域 求微分方程y* ycosx=(lnxle""的通解四、(本題滿分9分)某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R(萬元)與電臺廣告

5、費用x1(萬元)及報紙廣告費用x2(萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：R =15 14x32x2 -8x2 -2x； T0x；.(1) 在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；(2) 若提供的廣告費用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略五、(本題滿分6分)設(shè)f (x)在閉區(qū)間0, c上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在開區(qū)間(0, c)內(nèi)存在且單調(diào)減少；f(0) =0,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式：f(a b)乞f (a) f (b),其中常數(shù) a b滿足條件0空a乞b空ab乞c 六、(本題滿分8分)已知線性方程組xi x2 x3 X4 X5 二 a,3Xi * 2X2 ' X3 * X4 -

6、3X5 0, x2 2x3 2x4 6X5 二 b,5x1 4x2 3x3 3x4 - X5 = 2,(1) a b為何值時，方程組有解？(2) 方程組有解時，求出方程組的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系；(3) 方程組有解時，求出方程組的全部解七、(本題滿分5分)已知對于n階方陣A,存在自然數(shù)k,使得Ak =0 ,試證明矩陣E - A可逆，并寫出其逆 矩陣的表達式(E為n階單位陣).八、(本題滿分6分)設(shè)A是n階矩陣，和J是A的兩個不同的特征值，X1,X2是分別屬于'1和七的特征 向量.試證明X1 X2不是A的特征向量.九、(本題滿分4分)從0,1,2川1,9十個數(shù)字中任意選出三個不同數(shù)字，試求

7、下列事件的概率：A =三個數(shù)字中不含 0和5 ； y 三個數(shù)字中不含 0或5.十、(本題滿分5分)一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命(單位:千小時),已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：q5x_e°5y“），若x_0,y_0,0,其他.(1) 問X和Y是否獨立？(2) 求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.十一、(本題滿分7分)某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2 分,96分以上的占考生總數(shù)的 2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.附表X00.51.01.52.02.53.0（X）0.500 0.692 0.

8、841 0.933 0.977 0.9940.999表中（X）是標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】2【解析】對原式進行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子,n 3/nn -，n.n +3亦-門+循 =lim "Y Jn +3石n再分子分母同時除以 .n ,有原式二limn_» -1 Tna4因為nm/。，其中a為常數(shù),所以原式二廠汽【答案】b - a【解析】由于 F(x)在x = 0處連續(xù)，故A= F(0) = lim F(x).I叫F (x)為“ 0 ”型的極限未定式，又f (x)在點

9、0處導(dǎo)數(shù)存在，所以A=lim f(x) asinxx )0二 limx )0f (x) acosx=b a.【相關(guān)知識點】函數(shù)y = f (x)在點x0連續(xù)：設(shè)函數(shù)y = f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim f (x)二f (冷)，則稱函數(shù)f (x)在點x°連續(xù).X %1【答案】4-2【解析】先解出兩條曲線在平面的交點，即令x2解得x = -1和x = 2,故所圍成的平面圖形如右圖所示2 2S x 2 - X dx所求面積為二】X2 2x-lx323【答案】3 a2 a3 a4 = 0【解析】由于方程組有解 =r(A)二r(A),對A作初等行變換第一行乘以丨-1加到第四行

10、上，有1100-a1j1000110a?0110a?>0011_a30011_a3001a4 一-101a * a4,再第三行乘以-1加到第四行上，有第二行加到第四行上j100-a1I10110a?T0011_a30011a + a? + a41 l100-Q1110a?11_a30印 +a? +a3 +a4為使 r( A)二 r(A),常數(shù) ai, a2,a3, a4 應(yīng)滿足條件：ai a? a3 a 0 .【相關(guān)知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是m n矩陣，線性方程組 Ax = b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣Ap.Ab的秩，即是r(Ar(A)(或者說，b可

11、由A的列向量n線表出， 亦等同于i2l(,n與12l(n,b是等價向量組).設(shè)A是m n矩陣，線性方程組Ax=b，則(1)有唯一解r(A) = r(A)二 n.(2)有無窮多解r(A)二 r(A) ： n.(3)無解r(A) 仁r(A).二b不能由A的列向量冷2l(,n線表出2【答案】一3【解析】這是一個四重伯努利試驗概率模型，設(shè)試驗的成功率即射手的命中率為p，則進行80四次獨立的射擊，設(shè)事件Y為“射手命中目標(biāo)的次數(shù)”，Y服從參數(shù)n =4, p 的二項分81布，由二項分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率為(1 - p)4,它是至少命中一次的對立事件依題意(1 - P)4 十 80fp 丄

12、p/8133本題的另一種分析方法是用隨機變量X表示獨立地進行射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，p表示一次射擊的命中率，則X - B(4, p),依題意4pfx =0= pfx即(1-p)41 281= p = 31二k;二丄81k 4【相關(guān)知識點】二項分布的概率公式:若 Y、B( n, p),則 PY 二匕；乂：/(1-卩嚴，k=0,1川，n.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin x 7Tlim x ee,而 lim tanx -：,所以,x 才2 x >_：sin xlim x tanx eX F或考察f (x)在xn=2*匸(n“2川)的函數(shù)值，有nm

13、fspmxne2：，可見二二 sin：(r: ' : sin -fe 4 "1-e4444以下證明其他結(jié)論均不正確(兀由4 ,知(A)不正確;f(X)是無界函數(shù).應(yīng)選(B).f兀、f 冗由 f 0, f -一 0,而 f 0；=0,知(D)不正確.14丿J 4丿證明(C)不正確可用反證法.設(shè) g x = tan x esinx是g x的定義域為 D = x| x-jiik 汀=0'1,2 川,且g x的全部零點為 & =n二，n =0,_1,_2,|(.若f x = xg x以T T 0為周期，則x T g x T 二 xg x ,x D.令x=0,有Tg T

14、 =0,即g T =0.從而T = k二，其中k為某一正數(shù).于是2k二也是 xg x的周期.代入即得，對一 D有x 2k二 g x 2k二二 x 2k二 g x = xg x .這表明2k二g x三0在xD上成立，于是g x三0在x D上成立，導(dǎo)致了矛盾.故f x =xg x不可能是周期函數(shù)【相關(guān)知識點】極限的四則運算法則：若 lim f (x)二 A, lim g(x)二 B ,則有 lim f (x) g(x)二 AB.X xX %X f【答案】(D)【解析】通過變量代換t=x1或按定義由關(guān)系式f(x)二af(x)將f(x)在x = 1的可導(dǎo)性與f (x)在x=0的可導(dǎo)性聯(lián)系起來令x 1,

15、則f (t)二af(t -1).由復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)性及求導(dǎo)法則，知f(t)在t =1可導(dǎo)，且f (t)t=af (t-1)(t-1)td =af(0ab,因此，應(yīng)選(D).【相關(guān)知識點】 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果u = g(x)在點x可導(dǎo)，而y = f (x)在點u = g(x)可 導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y二f lg(x) 1在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為d = f (u) g (x)或史二史史dxdx du dx【答案】(C)【解析】本題考查線性無關(guān)的概念與理論，以及充分必要性條件的概念.(A)(B)(D)均是必要條件，并非充分條件.也就是說，向量組121(,亠線性無關(guān)，可以推導(dǎo)出(A)(B)(D)選項，但是不能

16、由(A)(B)(D)選項中的任意一個推導(dǎo)出向量組線性無關(guān).例如:(1,0),(011)1(111)顯然有(1,0) (0,1) -(1,1)= (0,0),該向量組線性相關(guān)但(A)(B)(D)均成立根據(jù)“：仆21(,亠線性相關(guān)的充分必要條件是存在某:i(i =1,2,川，s)可以由1,川2, ：i 1,Ms線性表出 ”或由“12l(,s線性無關(guān)的充分必要條件是任意一個 :i(i =12川，S)均不能由1l2i4i1,Ms線性表出 ”故選(C)【答案】A【解析】由于B A,所以A - B =A,于是有P A Bi=p A 故本題選A.對于B選項，因為B A,所以事件B發(fā)生，則事件A必然發(fā)生，所以

17、P AB = P B ,而不是P ABi； = P A ,故B錯對于C選項，因為B A,由條件概率公式 P B人=鬻，當(dāng)B,A是相互獨立的事件時,才會有P(B A)=P(B );所以C錯對于D選項,因為B A,所以事件B發(fā)生事件A不發(fā)生是個不可能事件,故P B - A =0,所以(D)錯.【答案】(C)【解析】由離散型隨機變量概率的定義，有p(x 二Y 二 pfx 二 -1,丫二 pfx =1,Y =1二 plx 二-1 PY 二-V PX =1 PY =111111=x: + X =2 2 2 2 2故本題選(C).而(B)、(D)選項是錯誤的.對于(A)選項，題目中只說了隨機變量X和Y相互

18、獨立，且他們的概率分布相同，但是者是不同的事件，并不能說事件 X與事件Y是同一事件故(A)錯.ln x=72(x)0 ,故函數(shù)I (x)在e,e2上單三、計算題(本題滿分20分，每小題5分.)(1)【解析】在x e,e2上，I (x)二x 2x + 1調(diào)增加，最大值為I(e2).由怎甘dI (e2)二e2 lnta2e (t-1)dte2Intd丄t-1lntt -1e2e2dtInte t t -1 t -12e+ee2(丄)dtt -1 t2e2 -11丄 In(e2 -1)-2- l.ln(e-1)-1】 e-1.e 1+ ln.e+1 e【相關(guān)知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：I

19、 (t)若 F(t)二 f(x)dx(t), ：(t)均一階可導(dǎo)，則(t)F (t)f(t) f(t)l.2.假定U二u(x)與V二v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則uvdx 二 uv- u vdx,或者 udv 二 uv- vdu.(2)【解析】區(qū)域D是無界函數(shù)，設(shè)Db=Dn0_y_b；-x,y 0_y_ b _ x _不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)b；工：時有Db D,從而.y2. .y2x丄dy 址 xdx1b 11V2lim（_yy）e dy2 0'4，9“'5b2lim ye * dy72匕廠：0-t 二 y2b2e'dt11 xe dxdy lim xe_ dxdy lim5上2

20、5lim （1e ） 144b 門：144【解析】因系數(shù)an12（n =1,2,川）,故nlimn l :an 1an=limn i:=limn i:2n2n 1這樣,幕級數(shù)的收斂半徑R二丄=1.因此當(dāng)-1 ： x -3 ： 1,即2 x 4時級數(shù)絕對收斂.當(dāng)*=2時,得交錯級數(shù)0彳OQ 彳' (-1)n ；當(dāng)x = 4時，得正項級數(shù).,二者都收斂，于是原級n生nn呂n數(shù)的收斂域為2,4.【相關(guān)知識點】1.求收斂半徑的方法：如果F ；,其中z是冪級一 a：用的n =0-He0,相鄰兩項的系數(shù)，則這幕級數(shù)的收斂半徑0蘭P蘭址,= 0,P = "HeqQ2.交錯級數(shù)的萊布尼茨判別

21、法：設(shè)交錯級數(shù)7 (_1)nun滿足:nW Un 比 1, n =1,2,川；(2)lim un = 0.則x (-1)nlun收斂，且其和滿足n 40(1)n，Un VUi,余項 rn| VUn*n -113. p級數(shù)：v -當(dāng)p 1時收斂；當(dāng)p乞1時發(fā)散.np(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方程，可直接利用通解公式求解-cosxdxsinxcosxdxy = ee In xe dx C=esin ' ln xdx C 二 esinxxln x - x C.方法2:|P(x)dxicosxdxsin x用函數(shù)e=e-es冋乘方程兩端，構(gòu)造成全微分方程.方程兩端同乘 esi

22、nx,得 esinxy ' yesinx cosx = (yesinx) = (yesinx)'lnx,再積分一次得ye5inx = C 亠 iIn xdx = C xln x - x.最后，再用e_sinx同乘上式兩端即得通解yueSnxixl nxx，C.【相關(guān)知識點】一階線性非齊次方程P(x)y二Q(x)的通解為-P(x)dxP(x)dx其中C為任意常數(shù)e(Q(x)e dx+C 四、(本題滿分9分)【解析】(1)利潤為銷售收入減去成本，所以利潤函數(shù)為2 2二=15 14x1 32x2 -8x2 -2為一10x2 -(xr x2)2 2=15 13為 31x2 -8x|X2

23、2為-10x2.由多元函數(shù)極值點的必要條件 ，有 -4x1 - 8x2 13 = 0,= 捲=0.75,x2 二 1.25.-8x1 20x231 二 0,因駐點惟且實際問題必有最大值，故投入電臺廣告費用 0.75萬元，報紙廣告費用1.25萬元可獲最大利潤 若廣告費用為1.5萬元，則應(yīng)當(dāng)求利潤函數(shù)(與 中解析式相同)2 2 -：=15 13xi 31x2-8x1X2-2xi -10x2,在x1 x2 =1.5時的條件最大值拉格朗日函數(shù)為2 2L(x1,x2, ) =15 13x1 31x -8x1x 2x1 -10x2 :"(x x2 -1.5),；:L:x1=4x1 8x2 13

24、= 0,2L.:x2-8咅-20x231，- 0,'x.x2 -1.5 = 0= x<)二 0, x2 =1.5.因駐點惟一，且實際問題必有最大值，故應(yīng)將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告，可使利潤最 大.【相關(guān)知識點】拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)z二f(x, y)在附加條件(x, y) =0下的可能極值點，可以先作拉格朗日函數(shù)L(x,y) = f (x,y)(x, y),其中為參數(shù).求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與附加條件聯(lián)立起來：fx(x, y) J(x,y) = 0,fy(x, y) l(x,y) =0,I.：(x,y) =0.由這方程組解出 x, y及，這樣得到的(

25、x,y)就是函數(shù)f (x, y)在附加條件：:(x,y)=0下的可能極值點.五、(本題滿分6分)【解析】方法1：當(dāng)a = 0時，f (a b f(bH f (a) f (b),即不等式成立；若a 0,因為f (a b) - f (a) - f (b) f (0)<f(a b)-f(b)-f(a)-f(0)=f ( 2)a-f ( da=af ( 2) - f ( 1),其中0 ： 1 : a b ： 2 - a b.又f (x)單調(diào)減少，故f (；)豈f ( 1).從而有f(a b) _f(a)- f(b) f(0)乞 0,即 f(a b)乞 f(a) f(b).方法2:構(gòu)造輔助函數(shù)，將

26、式子移到不等式右邊，再將b視為變量X ,得輔助函數(shù)令 F(x)二 f(x) f (a) f(a x),x 0, b,由于 f(0) =0,所以 F(0) =0,又因為F (x) = f (x) - f (a x),且 a _ 0, f (x)在(0, b)單調(diào)減少,所以 F (x) _ 0 ,于是 F(x)在0, b上單調(diào)遞增，故F(b)_F(0)=0,即f (a b)込 f (a) f (b),其中 0込a込 ba b込c.【相關(guān)知識點】拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，那么在a,b內(nèi)至少有一點(a：: b),使等式 f (b)f (a)二 f

27、 ( )(ba)成立.六、(本題滿分8分)第二行乘以1、【解析】本題中，方程組有解二r(A)二r(A).(相關(guān)定理見第一題(4)_111115 al_11111a 13211_3:0T01_2_263a01226:b01226b】5433_1:2_1 10_1_2_2-62 5a一對增廣矩陣作初等行變換,第一行乘以-5分別加到第二、四行上，有-3、-1分別加到第三、四行上,第二行再自乘-1 ,有a【26： 3a:b 3a2 2a(1)當(dāng)b -3a =0且2-2a =0,即a =1,b =3時方程組有解.當(dāng)a =1,b =3時,方程組的同解方程組是X1 X2 滄 X4 X5 = 1,X2 2X3

28、 2X4 6X5 =3,-r(A) =5 -2 =3,即解空間的維數(shù)為 3.取自變量為x3,x4,x5,則導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為1 =(1,一2,1,0,0)丁，2 =(1,2,0,1,0)T, 3 =(5,-6,0,0,1)丁. 令X3 = X4 = X5 = 0 ,得方程組的特解為：二（-2,3,0,0,0） T.因此,方程組的所有解是.： 'ki i k2 2 k3 3,其中kiKK為任意常數(shù).【相關(guān)知識點】 若：、2是對應(yīng)齊次線性方程組 Ax = 0的基礎(chǔ)解系,則Ax二b的通解形式為ki i k2,其中1, 2是Ax=O的基礎(chǔ)解系，是Ax二b的一個特解七、（本題滿分5分）【解析】若

29、 A、B是n階矩陣，且AB=E,則必有BA=E.于是按可逆的定義知 A=B .如果對特征值熟悉，由Ak = 0可知矩陣A的特征值全是0,從而E - A的特征值全是1, 也就能證明E-A可逆由于A =0 ,故E - A （E A A2 川 Ak） = Ek -Ak = E.1所以 E - A 可逆,且 E - A =E A A2AkJ.八、（本題滿分6分）【解析】（反證法）若Xi X2是A的特征向量,它所對應(yīng)的特征值為-,則由定義有：A（Xj X2） = ' （X1 X2）.由已知又有 A（X1 X2AX1 AX-X 2X2.兩式相減得（打）Xj （J ；2）X2 =0.由'2,

30、知- 1, - 2不全為0,于是Xi,X2線性相關(guān)，這與不同特征值的特征向量線性無關(guān)相矛盾.所以，X1 X2不是A的特征向量【相關(guān)知識點】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)A是n階矩陣，若存在數(shù)及非零的n維列向量X使得A = X成立，則稱是矩陣A的特征值，稱非零向量 X是矩陣A的特征 向量九、（本題滿分4分）3【解析】樣本空間含樣本點總數(shù)為C10;即十個數(shù)字任意選三個有多少種選擇方案有利于事件A1的樣本點數(shù)為C；;十個數(shù)字除去0和5任意選三個有多少種選擇方案 .3 3有利于事件A2的樣本點數(shù)為2C9-C8；十個數(shù)字除去0任意選三個的選擇方案和十個數(shù)字,即是事件Al被加了兩次,所除去5任意選三個的選

31、擇方案再減去中間多算了一次的方法數(shù) 以應(yīng)該減去c8 .由古典型概率公式P(A)二召 P(A2)=2CZ315Co1415【相關(guān)知識點】古典型概率公式:P(Ai)二有利于事件A的樣本點數(shù)樣本空間的總數(shù)十、(本題滿分5分)【解析】(1)由連續(xù)型隨機變量邊緣分布的定義X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為,且lim e“x = 0,( a為常數(shù))有 x_：j-:Fx(x)=F(x,：)二limF(x,y)=f_0.5x-e0,若x _ 0,若x 0;FyW) =f(二,y)二xlim；F(x,y)-1_e.5y,若 y_0, 0, 若 y<0.由于對任意實數(shù)x,y都滿足F(x, y) = FX (x)Fy

32、(x).因此X和Y相互獨立因為X和Y相互獨立，所以有 Plx 0.1,Y 0.1.；®X 0.1 PY 0.1rA l /r a xirA l /c 八i-0.05_0.05_0.1珂1-Fx(0.1)1 -Fy(0.1) =e e 二e .十一、(本題滿分7分)【解析】若已知正態(tài)分布的期望和方差，在計算有關(guān)概率時可將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準正態(tài)分布的有關(guān)概率，通過叮' (x)表計算.但是正態(tài)分布的參數(shù)與二2未知時，則應(yīng)先根據(jù)題設(shè)條件求出與二2的值，再去計算有關(guān)事件的概率.設(shè)X為考生的外語成績，依題意有XN (",；"),且J = 72，但二2未知.所以可標(biāo)準X _

33、72化得N (0,1).由標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)概率的計算公式,有aPX 96 ；=1-Px 乞96 ；=1-門 96-72絲 >0.023,I貯丿£丿:I 24 J -0.023 =0.977.& )一 242查表可得2,；丁 =12,即 X N(72,122),arI flx_72P(60 蘭X 蘭84=P2蘭 1 ' = 2(1)1 = 0.682.1 12J1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】2【解析】對原式進行分子有理化 ，分子分母同乘以有理化因子 .n nn - .'n lJn

34、+3亦Jn 一麻)lim (Jn +3亦 _ Jn _亦)(Jn +3亦+Jn亦)n21-nim一匚丄。卞丄丄一匚n 3、n - n 、；n=lim "Y厶+3藥+ J n 一聽再分子分母同時除以.n,有原式二lim4a4因為lim = ：- 0,其中a為常數(shù),所以原式2.1+1【答案】b a【解析】由于F(x)在x=0處連續(xù)，故A = F(0)pmF(x).I叫F (x)為“ 0 ”型的極限未定式，又f (x)在點0處導(dǎo)數(shù)存在，所以A=|imf(x)asinxx)0=limx )0廠(x)+acosx _b + a【相關(guān)知識點】函數(shù)y二f(x)在點X。連續(xù)：設(shè)函數(shù)y= f(x)在點

35、X。的某一鄰域內(nèi)有定義,如果lim f (x) = f (冷)，則稱函數(shù)f (x)在點x°連續(xù).x內(nèi)1【答案】4-2【解析】先解出兩條曲線在平面的交點，即令x2解得x - -1和x =2,故所圍成的平面圖形如右圖所示2 2S x 2 -x dx所求面積為= ；x2 2xx323【答案】a1 a2 a3 a4 =0【解析】由于方程組有解二r(A)二r(A),對A作初等行變換 第一行乘以丨T 加到第四行上，有1100-a1 11100_a1 10110a20110a2T0011_a30011-as001a4 一-101印+a4第二行加到第四行上，再第三行乘以-1加到第四行上，有-1100

36、_a1-11 00_al0110a21 10a2T0011_a3T110011印 +a2 +a41 10印 +a2 +a3 +a4為使 r(A) = r(A),常數(shù) ai, 828384應(yīng)滿足條件：a! a? *3 a 0 .【相關(guān)知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是m n矩陣,線性方程組 Ax二b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣A hAb的秩，即是r(A) =r(A)(或者說，b可由A的列向量n線表出，亦等同于:1,2，川，：與：12l(n，b是等價向量組).設(shè)A是m n矩陣，線性方程組Ax=b，則(4)有唯一解r(A) = r(A) = n.(5)有無窮多解r(A)

37、= r(A) ： n.(6)無解r(A) 1=r(A).二b不冃匕由A的列向量廠2ll,n線表出2【答案】一3【解析】這是一個四重伯努利試驗概率模型，設(shè)試驗的成功率即射手的命中率為p，則進行四次獨立的射擊，設(shè)事件丫為“射手命中目標(biāo)的次數(shù)”，丫服從參數(shù)80茁的二項分布，由二項分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率為(1 - p)4，它是至少命中一次的對立事件依題意(1-p)4 =1本題的另一種分析方法是用隨機變量X表示獨立地進行射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，p表示一次射擊的命中率，則X - B(4, p)，依題意4 1PX P；=1 -、PX S 二一即(1-p)48i= p = 3【相關(guān)知識點】二項

38、分布的概率公式:若 Y、B(n, p),則 pfY 二k?二C：pk(1-p)z, k=0,1,”|, n.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于lim x esinxe,而lim tanx - :,所以,222lim x tanx esinx -:,故 f (x)無界. xyJ或考察 f (x)在 Xn = 2n (n = 12川)的函數(shù)值，有 lim f (Xn)二 lim x*e 2 - ：,可見 4n-?cf (x)是無界函數(shù).應(yīng)選(B).以下證明其他結(jié)論均不正確 .由f汀y知(A)不正確;由f 一 0, f -一 0,而f 0A0,知(D)不正確.

39、4. 4證明(C)不正確可用反證法.“sinx設(shè)g x =tanxe ,于是g x的定義域為D= x|x= k 】，k=0 , 1 ,2|)lI2J且g x的全部零點為Xn =n二，n =0,_1,_2,|(.若f x = xg x以T T 0為周期，則有x T g x T = xg x , _x D.令x=0,有Tg T =0,即g T =0.從而T二k二，其中k為某一正數(shù).于是2k二也是 xg x的周期.代入即得，對- XD有x 2k二 g x 2k二=x 2k二 g x = xg x .這表明2k二g x =0在x，D上成立，于是g x三0在x D上成立，導(dǎo)致了矛盾.故f x =xg x

40、不可能是周期函數(shù)【相關(guān)知識點】極限的四則運算法則若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,則有 lim f (x) g(x) = AB.x /0X 汽X m【答案】(D)【解析】通過變量代換 x 1或按定義由關(guān)系式 f (1 x) =af(x)將f(x)在x=1的可導(dǎo)性與f (x)在x = 0的可導(dǎo)性聯(lián)系起來.令x 1,則f (t)二af(t -1).由復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)性及求導(dǎo)法則,知f(t)在t =1可導(dǎo),且f (切廠af (t-1)(t-1)taf(0) =ab,因此，應(yīng)選(D).【相關(guān)知識點】 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果u二g(x)在點x可導(dǎo)，而y二f (x)在點u二g(x)

41、可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y二f lg(x) 1在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為df (u) g (x)或dxdx du dx【答案】(C)【解析】本題考查線性無關(guān)的概念與理論，以及充分必要性條件的概念 .(A)(B)(D)均是必要條件，并非充分條件.也就是說，向量組a線性無關(guān),可以 推導(dǎo)出(A)(B)(D)選項，但是不能由(A)(B)(D)選項中的任意一個推導(dǎo)出向量組線性無關(guān)例如：(1,0),(0,1),(1,1)顯然有(1,0) (0,1)-(1,1) = (0,0),該向量組線性相關(guān)但 (A)(B)(D)均成立根據(jù)“1,2l(,s線性相關(guān)的充分必要條件是存在某 i(i =1,21 ,s)可以由:仆丨1(冷丄

42、冷1JIUs線性表出 ”或由“1,2l|,：s線性無關(guān)的充分必要條件是任意一個:i(i =1,2,|l(,s)均不能由：JlWi4i 1,Ms線性表出 ”故選(C).【答案】A【解析】由于B A,所以A B二A,于是有P A B = P A 故本題選A.對于B選項，因為B A,所以事件B發(fā)生，則事件A必然發(fā)生，所以P AB = P B , 而不是P AB二P A ,故B錯對于C選項，因為B A,由條件概率公式P(B A )=P(AB)P(A),當(dāng)B, A是相互獨立的事件時，才會有P(B A)=P(B ”所以C錯對于D選項,因為B A,所以事件B發(fā)生事件A不發(fā)生是個不可能事件,故P B - A

43、=0,所以(D)錯.【答案】(C)【解析】由離散型隨機變量概率的定義，有plx =Y ； =px 二1,Y 二1 PX =1,Y=1= PX =-1 PY=_1? Pfx =1 PY=111111=X +2 2 2 2 2故本題選(C).而(B)、(D)選項是錯誤的.對于(A)選項，題目中只說了隨機變量X和Y相互獨立，且他們的概率分布相同，但是者是不同的事件，并不能說事件 X與事件Y是同一事件故(A)錯.三、計算題(本題滿分20分，每小題5分.)In x(1)【解析】在x e,e2上，I (x)二丐x 2x + 1lnx 0,故函數(shù)I (x)在e,e2上單2(x1)調(diào)增加，最大值為I(e2).

44、由豐二址單“2 2(1X)2(1X)2(1 X)I (e2)二e2 lnt dt_e22(t1)lntd t-1Inte2e2dtInte2e2t -1e t t _ _t -1(1 】)dt t -1 te2 -1 e-1丄 In(e2 -1)-2- l.ln(e-1)-1】ln【相關(guān)知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：i：.(t)若 F(t)二 f(x)dx,(t), ：(t)均一階可導(dǎo)，則f 二-(t) f：(t)iT(t) f(t)L2.假定U二u(x)與V二v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則uv dx = uv - u vdx,或者 udv 二 uvvdu.(2)【解析】區(qū)域D是無界

45、函數(shù)，設(shè)Db =D n0 乞 y 乞 bl = x, y 0 乞 y 乞 b#不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b；心時有Db D ,從而_y2_y211 xe dxdy lim xe_ dxdy lim db 心 Dbb0dy T xdx1b 1125b2limyedy t = y72 b： 0 -5b2lime'dt144b 心 o144blim*e“144【解析】因系數(shù)an12(n = 1,2l|),故nlimn 5:an 1n2an這樣,幕級數(shù)的收斂半徑r二丄=1.因此當(dāng)_1 :： X -3 :： 1,即2 x 4時級數(shù)絕對收斂.當(dāng)x=2時,得交錯級數(shù)eoj a'、(-1)n ；當(dāng)x = 4

46、時，得正項級數(shù)' -,二者都收斂，于是原級n數(shù)的收斂域為2,4.【相關(guān)知識點】1.求收斂半徑的方法：如果,其中an,an1是幕級數(shù)7 anXn的n =0沙：0(4y(y)edy相鄰兩項的系數(shù)，則這幕級數(shù)的收斂半徑P'R =:0,2.交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法：設(shè)交錯級數(shù)、(-1)、滿足:聽比十,nh，2,川；(2)助7P(x)dxy =e|P(x)dx.Q(x)e dx C其中C為任意常數(shù)則(_1)n%收斂，且其和滿足0：、(_1)nun屮，余項rn : un1. n 4nJ13.p級數(shù)：v 當(dāng)p .1時收斂；當(dāng)p乞1時發(fā)散.n4np(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方

47、程，可直接利用通解公式求解-cosxdxsin xcosxdxy = ee In xe dx C= esmx Jln xdi'=e_sinxxln x x +C-方法2：用函數(shù)e.p(x)dx =eFosxdx =esinx同乘方程兩端，構(gòu)造成全微分方程.方程兩端同乘 esinx,得 esinxy ' yesinx cosx = (yesinx) = (yesinx/ = lnx,再積分一次得yex = c 亠 i In xdx = C xln x-x.最后，再用e_sinx同乘上式兩端即得通解y = enxixln x - x C.【相關(guān)知識點】一階線性非齊次方程、 P(x)

48、y =Q(x)的通解為四、(本題滿分9分)【解析】(1)利潤為銷售收入減去成本，所以利潤函數(shù)為22二=15 14x-i 32x2 -8x|X2 -2為-10x2 -(x< x2)22=15 13為 31x2 -8x|X2 -2為一10x2.由多元函數(shù)極值點的必要條件，有=-4捲8x2 +13 = 0,%/n 捲=0.75,x2 = 1.25.8洛20x231 =0,X因駐點惟一，且實際問題必有最大值，故投入電臺廣告費用 0.75萬元，報紙廣告費用1.25萬 元可獲最大利潤 .(2)若廣告費用為1.5萬元，則應(yīng)當(dāng)求利潤函數(shù)(與(1)中解析式相同)2 2i -15 13x1 31x2 - 8

49、X1X2 - 2x1 10x2,在x1 x2 =1.5時的條件最大值.拉格朗日函數(shù)為2 2L(x1,x2, ) =15 13x1 31x2 -8x1x2x1 -10x2 ：； ； (xx2 -1.5),亂 =4x1 -8x2 +13 + 九=0,FL由8x1 - 20x2 31 - 0,cx2cL=為 +x2 1.5 = 0 X"i = 0, x2 =1.5.因駐點惟一，且實際問題必有最大值，故應(yīng)將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告，可使利潤最大.【相關(guān)知識點】拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)z = f(x, y)在附加條件 (x, y) =0下的可能極值點，可以先作拉格朗日函數(shù)L(x,y)

50、= f (x,y)(X, y),其中為參數(shù).求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與附加條件聯(lián)立起來：fx(x, y) *x,y) = 0,fy(x,y)J(x,y) =0,.(x,y0.由這方程組解出 x, y及，這樣得到的(x,y)就是函數(shù)f (x, y)在附加條件(x,y)=0下的可能極值點.五、(本題滿分6分)【解析】方法1：當(dāng)a = 0時，f (a bH f(bH f (a) f (b),即不等式成立；若a 0,因為f (a b) - f (a) - f (b) f (0)珂f(a b)-f(b)-f(a)-f(0)=f ( 2)a-f ( 1)a=af ( 2) - f ( 1),其中0 ： 1 : a乞b ： 2 < a b.又f (x)單調(diào)減少,故f2)乞f ( 1).從而有f (a b) _f(a)- f(b) f(0)乞 0,即 f(a b)乞 f(a) f (b).方法2:構(gòu)造輔助函數(shù)，將式子移到不等式右邊，再將b視為變量x ,得輔助函數(shù)令 F(x)二 f(x) f (