概率論 第二講 等可能概型

1、第二講 等可能概型一 等可能概型的概述二 古典概率三 幾何概率等可能概型的概述一、定義：樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)在一次試驗(yàn)后以相等的可能性出現(xiàn)，即即等可能性等可能性。二、注意：搞清楚樣本空間，事件，基本事件的關(guān)系。 一. 古典概率 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小常用區(qū)間隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小常用區(qū)間0，1中的中的一個(gè)數(shù)值來(lái)刻劃，這個(gè)數(shù)值稱為概率，記為一個(gè)數(shù)值來(lái)刻劃，這個(gè)數(shù)值稱為概率，記為 p （A）。）。 自然地規(guī)定自然地規(guī)定 P（）=1， P（）=0。 0p(A) 1 （2）拋一枚勻稱的硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可）拋一枚勻稱的硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性相同。能性相同。 這兩個(gè)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：這兩

2、個(gè)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是： 每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果，每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果，即即樣本點(diǎn)總數(shù)有限樣本點(diǎn)總數(shù)有限。 每次試驗(yàn)中各基本事件出現(xiàn)的可能性是每次試驗(yàn)中各基本事件出現(xiàn)的可能性是相同的，即相同的，即等可能性等可能性。 在概率論中，把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)在概率論中，把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)叫做古典型試驗(yàn)，它的數(shù)學(xué)模的試驗(yàn)叫做古典型試驗(yàn)，它的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。型稱為古典概型。 在古典概型中，記在古典概型中，記n為樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，為樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，如果事件如果事件A中包含中包含nA個(gè)樣本點(diǎn)，（或個(gè)樣本點(diǎn)，（或稱有利于稱有利于A的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為nA ）那么）那么規(guī)定規(guī)定 P（A

3、）= nA/n例例1. 盒中裝有盒中裝有5個(gè)球，三白兩紅，從中個(gè)球，三白兩紅，從中任取一個(gè)，問：取到白球的概率是多少？任取一個(gè)，問：取到白球的概率是多少？若從中任取兩個(gè)，問兩個(gè)球全是白球的概若從中任取兩個(gè)，問兩個(gè)球全是白球的概率是多少？（考慮率是多少？（考慮50個(gè)球的情形：計(jì)數(shù)原個(gè)球的情形：計(jì)數(shù)原理和排列組合）理和排列組合）解：解：P =3/5P2=3*2/(5*4)=3/10 1. 從從n個(gè)元素中任取個(gè)元素中任取k個(gè)，有個(gè)，有 種不同的結(jié)果；種不同的結(jié)果； 2. 一件事情分幾個(gè)步驟完成，則互相之間用乘法，一件事情分幾個(gè)步驟完成，則互相之間用乘法，一件事情有若干種方法來(lái)完成，則互相之間用加一件

4、事情有若干種方法來(lái)完成，則互相之間用加法，這就是所謂的計(jì)數(shù)原理。法，這就是所謂的計(jì)數(shù)原理。121!12 1!knn nnnknCk kknk例例2. 一個(gè)盒子中裝有一個(gè)盒子中裝有10個(gè)晶體管，其中個(gè)晶體管，其中3個(gè)是不合格品。從這個(gè)盒子中依次隨機(jī)地個(gè)是不合格品。從這個(gè)盒子中依次隨機(jī)地取取2個(gè)，在有放回與無(wú)放回抽樣的個(gè)，在有放回與無(wú)放回抽樣的二種二種情況情況下求下求2個(gè)中恰有個(gè)中恰有1個(gè)是不合格品的概率。個(gè)是不合格品的概率。 注意抽樣的區(qū)別：有放回抽樣和無(wú)放回注意抽樣的區(qū)別：有放回抽樣和無(wú)放回抽樣。抽樣。有放回的情況下有放回的情況下 p=(73+37)/102=0.42在無(wú)放回的情況下在無(wú)放回的

5、情況下 p=(73+37)/(109)=0.47例例3. 兩封信隨機(jī)地向四個(gè)郵筒投寄，求兩封信隨機(jī)地向四個(gè)郵筒投寄，求A 第二個(gè)郵筒恰好被投入一封信的概率第二個(gè)郵筒恰好被投入一封信的概率，B 兩封信在同一郵筒的概率。兩封信在同一郵筒的概率。解：解：P(A)=(3+3)/42=3/8P(B)=4/42=1/4 在古典概型中顯然有在古典概型中顯然有 P()=(n-nA)/n=1-p(A)例例4，擲兩顆骰子，試求出現(xiàn)的點(diǎn)，擲兩顆骰子，試求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和小于數(shù)之和小于10的概率。的概率。解：樣本空間共含解：樣本空間共含36個(gè)樣本點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)之個(gè)樣本點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)之和大于等于和大于等于10含樣本點(diǎn)含樣本點(diǎn)(5，5

6、），（），（4，6），），（6，4），（），（5，6），（），（6，5），（），（6，6）共共6個(gè)。個(gè)。P=1-6/36=5/6 例例5，某城市的電話號(hào)碼升為，某城市的電話號(hào)碼升為6位數(shù)，且第一位為位數(shù)，且第一位為6或或8。求。求（1）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；（復(fù)的六位數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末尾數(shù)是末尾數(shù)是8的概率。的概率。 解（解（1） （2）2 9 8 7 6 50.15122 10 10 10 10 10P 6888452 100.12 10P 例例6 （女士品茶問題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別（女士

7、品茶問題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶，并且她在出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶，并且她在10次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中都正確地辨別了出來(lái)，問她的說法是否可信？都正確地辨別了出來(lái)，問她的說法是否可信？ 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，或者先放茶后放奶，或者先放奶每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次試驗(yàn)共有后放茶，十次試驗(yàn)共有 不同結(jié)果。不同結(jié)果。 而而10次都正確的結(jié)果只有次都正確的結(jié)果只有 一種！一種！102 222 101 1111 解：假設(shè)該女士的說法不可信，即該女士純粹是解：假設(shè)該女士的說法不可信，即該女士純粹是猜測(cè)，則每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果：茶牛奶

8、或猜測(cè)，則每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果：茶牛奶或牛奶茶是等可能的牛奶茶是等可能的 該女士在次試驗(yàn)中都正確的辨別出該女士在次試驗(yàn)中都正確的辨別出來(lái)，則來(lái)，則 p p（）（）=1/2=1/21010=0.0009766=0.0009766 這是一個(gè)小概率事件這是一個(gè)小概率事件 概率論中概率論中“實(shí)際推斷原理實(shí)際推斷原理”: :一個(gè)小概率事件在一一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會(huì)發(fā)生的次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會(huì)發(fā)生的 因此按因此按“實(shí)際推斷原理實(shí)際推斷原理”事件實(shí)際不會(huì)發(fā)生，事件實(shí)際不會(huì)發(fā)生，這與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果相矛盾，因此假設(shè)這與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果相矛盾，因此假設(shè)“女士純粹是女士純粹是猜測(cè)猜測(cè)”不成立，有理由斷言該

9、女士的說法是可信不成立，有理由斷言該女士的說法是可信的的 例例7 （抽獎(jiǎng)券問題）某超市有獎(jiǎng)銷售，投（抽獎(jiǎng)券問題）某超市有獎(jiǎng)銷售，投放放n張獎(jiǎng)券只有一張有獎(jiǎng)。每位顧客可抽一張獎(jiǎng)券只有一張有獎(jiǎng)。每位顧客可抽一張。求第張。求第k位顧客中獎(jiǎng)的概率。（無(wú)放回抽位顧客中獎(jiǎng)的概率。（無(wú)放回抽樣）（樣）（1kn）二. 幾何概率 例：在一個(gè)勻稱陀螺的圓周上均勻的刻上例：在一個(gè)勻稱陀螺的圓周上均勻的刻上區(qū)間區(qū)間0，3）上的各數(shù)字，旋轉(zhuǎn)該陀螺，考）上的各數(shù)字，旋轉(zhuǎn)該陀螺，考察陀螺停下時(shí)接觸地面的點(diǎn)的刻度恰好為察陀螺停下時(shí)接觸地面的點(diǎn)的刻度恰好為2 的概率。的概率。 以等可能性為基礎(chǔ)，借助于幾何上的度量以等可能性為基

10、礎(chǔ)，借助于幾何上的度量來(lái)合理地規(guī)定的概率，稱為幾何概率。來(lái)合理地規(guī)定的概率，稱為幾何概率。 一般地，設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域一般地，設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域（直線、（直線、平面或空間）每個(gè)樣本點(diǎn)等可能地出現(xiàn)，平面或空間）每個(gè)樣本點(diǎn)等可能地出現(xiàn)，規(guī)定事件規(guī)定事件A的概率為的概率為 P（A）=m（A）/m（） 這里這里m（）分別表示長(zhǎng)度、面積或體積。）分別表示長(zhǎng)度、面積或體積。 例例8，在半圓區(qū)域，在半圓區(qū)域0y 內(nèi)隨機(jī)地投內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，求該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與入一點(diǎn)，求該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸的夾角軸的夾角不超過不超過 的概率的概率. 22axx/402a例例9 在單位圓在單位圓O的一條直徑的一條直徑MN上隨機(jī)上隨機(jī)地取一點(diǎn)地取一點(diǎn)Q，試求過，試求過Q且與