解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、 解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用 高一數(shù)學(xué)教研組 馮一波一、 背景說明：在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事。明月高懸，我們仰望星空，會(huì)有無限遐想。不禁會(huì)問，遙不可及的月球離地球到底有多遠(yuǎn)？1671年，兩個(gè)法國天文學(xué)家測出大約距離為385400千米。他們是怎樣測出的呢？在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實(shí)踐活動(dòng)的推動(dòng)。解三角形的理論不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題方面。二、 課題目的和意義：三角形是基本的幾何圖形，三角形中的數(shù)量關(guān)系是基本的數(shù)量關(guān)系，有著極其廣泛的應(yīng)用。我們將在以前學(xué)習(xí)的有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形的知識(shí)基礎(chǔ)上，通過對于任意三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三

2、角形中的變長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并解決一些實(shí)際問題。學(xué)而不思則罔，只有通過自己的獨(dú)立思考才能真正學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，同時(shí)應(yīng)當(dāng)掌握科學(xué)的思維方法，特別是學(xué)習(xí)類比、推廣等數(shù)學(xué)思考方法，提高我們的數(shù)學(xué)思維能力。三、設(shè)計(jì)思想本節(jié)重點(diǎn)利用解斜三角形解決相關(guān)實(shí)際問題解斜三角形知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，解斜三角形有關(guān)的實(shí)際問題過程，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想這種思想就是從實(shí)際出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)建模，然后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解強(qiáng)化上述思維過程，既是本節(jié)的重點(diǎn)，又是本節(jié)難點(diǎn)解三角形應(yīng)用題的另一個(gè)難點(diǎn)是運(yùn)算問題，由于將正弦定理、余弦定理看成幾個(gè)“方程“，那么解三角

3、形的應(yīng)用題實(shí)質(zhì)上就是把已知信息按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知和未知合理選擇一個(gè)“容易解”的方程，從而是解題過程簡潔同時(shí)，由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常是近似值，故運(yùn)算過程一般較為復(fù)雜，必須借助于計(jì)算器計(jì)算，因此要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到“算法簡煉，算式工整，計(jì)算準(zhǔn)確”的要求知識(shí)結(jié)構(gòu)：四、實(shí)際應(yīng)用1.測量中正、余弦定理的應(yīng)用例1某觀測站在目標(biāo)南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達(dá)，此時(shí)測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據(jù)已知作出示意圖，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，從而求出（即為所求）.東北解

4、：由圖知，.，.在中，.由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在處距還有15千米.評注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的應(yīng)用例2在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以海里/小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時(shí)間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時(shí)間相等，可畫出示意圖，需求的方位角及由到所需的航行時(shí)間.

5、解：設(shè)緝私船追上走私船所需時(shí)間為小時(shí)，則有，.在中，根據(jù)余弦定理可得.根據(jù)正弦定理可得.，易知方向與正北方向垂直，從而.在中，根據(jù)正弦定理可得：，則有，小時(shí)分鐘.所以緝私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船.評注：認(rèn)真分析問題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應(yīng)用的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.3.航測中正、余弦定理的應(yīng)用例3飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過秒后又看到山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到m）.分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在和中解出山頂?shù)胶骄€

6、的距離，然后再根據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?解：設(shè)飛行員的兩次觀測點(diǎn)依次為和，山頂為，山頂?shù)街本€的距離為.如圖，在中，由已知，得，.又（km）,根據(jù)正弦定理，可得，進(jìn)而求得，（m）,可得山頂?shù)暮０胃叨葹椋╩）.評注：解題中要認(rèn)真分析與問題有關(guān)的三角形，正確運(yùn)用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問題的答案.4.炮兵觀測中正、余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)和處，已知米，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)處時(shí)，測得，（如圖），求炮兵陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點(diǎn)、可構(gòu)成四個(gè)三角形.要求的長，由于，只需知道和的長，這樣可選擇在和

7、中應(yīng)用定理求解.解：在中，根據(jù)正弦定理有，同理，在中，根據(jù)正弦定理有.又在中，根據(jù)勾股定理有：.所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為米.評注：應(yīng)用正、余弦定理求解問題時(shí)，要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而此類問題又可歸結(jié)為解斜三角形問題，因此，解題的關(guān)鍵是正確尋求邊、角關(guān)系，方能正確求解. 5.下料中正余弦定理的應(yīng)用例5已知扇形鐵板的半徑為，圓心角為，要從中截取一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)怎樣劃線？分析：要使截取矩形面積最大，必須使矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的邊界上，即為扇形的內(nèi)接矩形，如圖所示.（1）（2）解：在圖（1）中,在上取一點(diǎn)，過作于，過作交于，再過作于.設(shè)，.在中，由正弦定理，得.于是.當(dāng)即時(shí)，取得最大值.在圖（2）中，取中點(diǎn)，連結(jié)，在上取一點(diǎn)，過作交于，過作交于，過作交于，連結(jié)得矩形，設(shè)，則.在中，由正弦定理得：，.（當(dāng)時(shí)取“”）.當(dāng)時(shí)，取得最大值.，作，按圖（1）劃線所截得的矩形面積最大.評注：此題屬于探索性問題，需要我們自己尋求參數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，這需要有扎實(shí)的基本功，在平時(shí)