大學(xué)數(shù)學(xué)高數(shù)微積分平面點(diǎn)集與多元函數(shù)課堂講義

1、大學(xué)數(shù)學(xué)高數(shù)微積分平面點(diǎn)集與多元函數(shù)課堂講義1.平面點(diǎn)集的一些基本概念坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點(diǎn)的集合, 稱為平( ,) ( ,).Ex yx yP滿滿足足條條件件對(duì) 與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對(duì)應(yīng).( , )x y在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后, 所有有序?qū)崝?shù) 義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集, 之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念. 面點(diǎn)集, 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 平面點(diǎn)集 記作后退 前進(jìn) 目錄 退出由于二元函數(shù)的定因此在討論二元函數(shù)例如： (i) 全全平平面面: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圓

2、圓: :(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩矩形形: :(3)00(iv)(,): A xy 點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域00( ,)|,|()x yxxyy 與與方方形形 . . , , .Sa bc d也也常常記記作作：22200( ,)()()()x yxxyy 圓圓形形1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) CxyOr(a) 圓 C SxyOabcd(b)矩形 S A xyO(a) 圓鄰域 A xyO(b) 方鄰域 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 由于點(diǎn) A 的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn) A 的某一因此通常用“點(diǎn) A 的 鄰

3、 并用記號(hào) 或 來表示. ( ; )U A ( )U A點(diǎn) A 的空心鄰域是指:22200( ,)0()()()x yxxyy 圓圓0000( ,) |,|,( , )(,) (),x yxxyyx yxy 方方或并用記號(hào) ()( ;)()UAUA 或或 來表示. 域” 或 “點(diǎn) A 的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域, 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 方鄰域之內(nèi)(反之亦然), 00( ,) 0|, 0|.x yxxyy 注意: 不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫成 : ( 請(qǐng)指出2.點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一 : 2RA 2RE 任意一點(diǎn) 與任意一個(gè)點(diǎn)集 之間

4、必有 是 E 的內(nèi)點(diǎn); 由 E 的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為(i) 內(nèi)點(diǎn)若0,( ; ),U AE 使使則稱點(diǎn) A E 的內(nèi)部, 記作 int E. 錯(cuò)在何處? )1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) (ii) 外點(diǎn)若 0,( ; ),U AE 使使則稱 點(diǎn) A 是 E 的外點(diǎn)；c( ;)( ;)U AEU AE 且且0, (iii) 界點(diǎn) 若 恒有 c2R EE ( 其中 ), 則稱點(diǎn) A 是 E 的界點(diǎn); .E 的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的邊界; 記作注 E 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于 E; E 的外點(diǎn)必定不屬于 E; E 的界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E. 并

5、請(qǐng)注意: 稱為 E 的外部. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 由 E 的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合由 E EE cE只有當(dāng)時(shí), E 的外部與 才是兩個(gè)相同的集合. 圖 16 3xyO1222( ,)14 . (4)Dx yxy例1 設(shè)平面點(diǎn)集（見圖 16 3）滿足 的一切點(diǎn)也224xy 221xy 滿足 的一切點(diǎn)是 D 的界點(diǎn), 它們都屬2214xy滿足 的一切點(diǎn)都是 D 的界點(diǎn), 但它們都不屬于 D.1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 是 D 的內(nèi)點(diǎn); 于D; 點(diǎn) A 與點(diǎn)集 E 的上述關(guān)系是按 “內(nèi)-外” 來區(qū)分的. 此外，還可

6、按 “疏-密” 來區(qū)分，是否密集著 E 中無窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系: (i) 聚點(diǎn) 若在點(diǎn) A 的任何空心鄰域()UA內(nèi)都 含有 E 中的點(diǎn)，注1 聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E. 注2 聚點(diǎn)的上述定義等同于: “在點(diǎn) A 的任何鄰域 ()U A內(nèi)都含有 E 中的無窮多個(gè)點(diǎn)”. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 即在點(diǎn) A 的近旁則稱點(diǎn) A 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)d();EE 或或作 dEE 又稱 為 E 的閉包, 記作 .E例如, 對(duì)于例1 中的點(diǎn)集 D, d22( , ) 14.Dx yxyD其中滿足 224xy 的那些聚點(diǎn)不屬于D, 而其余 所有聚點(diǎn)都

7、屬于 D.(ii) 孤立點(diǎn) 若點(diǎn) AE , 但不是 E 的聚點(diǎn)（即 有某 0, 使得 ( ;),UAE 則稱點(diǎn) A 是 E 的孤立點(diǎn). 注3 E 的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集, 記 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 它的導(dǎo)集與閉包同為為聚點(diǎn); 例2 設(shè)點(diǎn)集 ( , ),.Ep qp q 為任意整數(shù)為任意整數(shù) 顯然, E 中所有點(diǎn) ( p, q ) 全為 E 的孤立點(diǎn); 并有 d, int,.EEEE 3. 一些重要的平面點(diǎn)集 根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì), 可來定義一 些重要的點(diǎn)集. 注 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn); 內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必 1平面點(diǎn)集與多

8、元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 既非聚點(diǎn), 又非孤立點(diǎn), 則必為外點(diǎn). E 為閉集. 在前面列舉的點(diǎn)集中, 閉集若 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E (),EE 即即則稱 E 為閉集. 這時(shí)也稱 222( ,)Cx yxyr是是開開集集，( ,),Sx yaxb cyd是是閉閉集集2R( ,)|,x yxy 22( ,)14Dx yxy既既不不是是開開集集又又不不是是閉閉集集. .開集 若 E 所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn)( 即E = int E ), 則稱 E 為開集. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) d(),E 即即若 E 沒有聚點(diǎn)既既是是

9、開開集集又又是是閉閉集集，則稱 E 為開域. 閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域. 開域若非空開集 E 具有連通性, 點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接, 在平面點(diǎn)集中, 只有 R2 與 是既開又閉的. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 即 E 中任意兩 簡單地說, 開域就是非空連通開集.它是 I、 III 兩象限之并集. 不具有連通性, 0,r 有界點(diǎn)集對(duì)于平面點(diǎn)集 E, 若使得 ( ; ),EU O r 其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)(

10、也可以是其他固定點(diǎn)), 為有界點(diǎn)集. 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 與 (5) 是無界集. 是閉域, ( ,)|0 ,(5)Gx yxy上頁諸例中, C 是開域, S 是閉域, R2 既是開域又1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 又如雖然它是開集, 但因否則就為無界點(diǎn)集 (請(qǐng)具體寫出定義). D 是區(qū)域 (既不是開域又不是閉域). 所以它既不是開域, 也不是區(qū)域. 則稱 E 此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映. 所謂點(diǎn)集 E 的直徑, 就是 1212,()sup(,),PPEd EPP 其中(P1, P2) 是 P1 (x1,

11、y1) 與 P2 (x2, y2)之間的距 離, 即 22121212(,)()() .P Pxxyy 于是, 當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時(shí), E為有界點(diǎn)集. E 為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說法是: , ,.a bc dE 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 存在矩形區(qū)域 例3 證明: 對(duì)任何2R ,S S 恒為閉集. 證 如圖16 4 所示, S 為為的任一聚點(diǎn)，（即 亦為S0 xS 的界點(diǎn)）. 0 x為此0, 由聚點(diǎn)定義，0(;).yUxS SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y圖 16 根據(jù)距離的定義, 不難證明如下三角形不等式: 121323(,)

12、(,)(,).P PP PPP 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 0 x設(shè)欲證存在的點(diǎn). 內(nèi)既有SS( ;)U y 的點(diǎn), 又有非 S0 x0,xS 為的界點(diǎn), 即也就證得 S 為閉集 注 類似地可以證明: 對(duì)任何點(diǎn)集2dR ,SS 導(dǎo)集導(dǎo)集 亦恒為閉集. ( 留作習(xí)題 ) S0(; )U x 內(nèi)既有的點(diǎn), 又有非 S 的點(diǎn). y0( ;)(; ),U yU x 再由為界點(diǎn)的定義, 在 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 由此推知在 的任意性, 所以, 由 SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y圖 16 證 下面按循環(huán)

13、流程來分別作出證明. dEEE 已知為閉集( 即 ), 欲證E.EEE ,pE pEE為為此此或或是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn) 或或是是的的孤孤立立點(diǎn)點(diǎn). . dd,pEEEpE 若若， 則則由由得得；EE 從從而而，E于于；dccint()EEEEEEEE 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 反之顯然有 .EEE 綜合起來, 便證得 int.EEE 而而孤孤立立點(diǎn)點(diǎn)必必屬屬2R .E 例4 設(shè) 試證 E 為閉集的充要條件是： cint().cEEEEE 或或.EEE 故故 EEE ，cint().cEE 已知 欲證 為此 c,pEpE 則則外點(diǎn), ,0,( ; ).U p

14、E 按按定定義義使使 c( ; ),U pE ccccint().int().EEEE有這就證得有這就證得反之顯然 ccdint(),.EEEEE 已已知知欲欲證證 c(,pEpE 據(jù)據(jù)條條件件可可證證若若不不然然從從而而由由d,E c 0,( ; ),U pE 故故使使1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) ),pE與與 為為 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)相相矛矛盾盾dd.EEEEE 故故這這就就證證得得 從而 cint(),pE 條條件件推推知知,EEpE 而而由由故故必必為為的的ccc,int().pEEE 故故是是的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn) 即即p 為為此此注 此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論

15、: (i) 閉集也可用“EEE ”來定義 ( 只是使用 起來一般不如“dEEE ”方便, 有許多便于應(yīng)用的性質(zhì) )(ii) 閉集與開集具有對(duì)偶性質(zhì)集; 過討論 來認(rèn)識(shí) E. cE1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 利用此性質(zhì), 有時(shí)可以通 開集的余集為閉集. 閉集的余集為開 因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn) 例5 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)的? (i) 既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是 “非空連通閉集”；D(ii) 要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域, 只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域, 即 DDD“若若為為開開域域, ,則則必必為為閉閉域域” . . 答 (i) 例

16、如取( ,)|0 ,Sx yxy 這是一個(gè)非空連 ),SGG 坐標(biāo)軸) 的并集 (即從而 G 不是開域, 但因它是( ,)|0Gx yxy與其邊界 (二1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 故 S 不是閉域 (不符合閉域的定義). 通閉集. E 為一開域, 據(jù)定義 F 則為閉域；,DEEF D故故不不是是閉閉域域，1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) (a)中的點(diǎn)集為 D; D(a) .FEE (c) 中的點(diǎn)集為 F(c)(ii) 如圖所示, E(b) (b)中的點(diǎn)集為 ;EDD 易見 然而().DDD 從從而而與與不不一一定定相相同

17、同 定義11. 平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理, 現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是 二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ). 2RnP 20RP 設(shè) 為一列點(diǎn), 為一固定點(diǎn). 00,N ,(; ),nNnNPU P 若若使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 則稱點(diǎn)列 Pn 收斂于點(diǎn) P0 , 記作 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) R2上的完備性定理 論的基礎(chǔ). 00lim().nnnPPPPn 或或反映實(shí)數(shù) 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理 000(,)(,),nnnPPxyxy當(dāng)與分別為與時(shí) 顯然有當(dāng)與分別為與時(shí) 顯然有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy 且且0

18、(,),nnPP若記若記 同樣地有 0limlim0.nnnnPP 由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限, 因 此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 定理16.1（柯西準(zhǔn)則）2RnP 收斂的充要條件是: 0,N ,NnN 使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 證（必要性）0lim,nnPP 設(shè)設(shè)N ,()NnNnpN 當(dāng)當(dāng)也也有有時(shí)時(shí), ,00(,),(,).22nnpPPPP 應(yīng)用三角形不等式, 立刻得到00(,)(,)(,).nn pnn pP PP PPP 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完

19、備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 1,0, 則則由由定定義義恒恒有有 定理16.1（柯西準(zhǔn)則）2RnP 收斂的充要條件是: 0,N ,NnN 使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 當(dāng) (6) 式成立時(shí), 同時(shí)有 |(,),n pnnn pxxPP |(,).n pnnn pyyPP 這說明 xn 和 yn 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則, 所以它們都收斂. 從而由點(diǎn)列收斂概念, 推知Pn收斂于點(diǎn) P0(x0, y0). 證（充分性）00lim, lim,nnnnxxyy 設(shè)設(shè)06,nPEPE 為為的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)存存在在

20、各各項(xiàng)項(xiàng)互互異異的的例例0lim.nnPP使得使得 ( 這是一個(gè)重要命題, 證明留作習(xí)題.) 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 定理16.2（閉域套定理）2. 區(qū)域套定理. 設(shè) Dn 是 R2 中的一列閉域, 它滿足： 1(i),1, 2,;nnDDn (ii)(), lim0.nnnndd Dd 則存在唯一的點(diǎn) 0,1, 2,.nPDn 圖 16 7 nD npD nPnpP 0P證 如圖16 7所示, ,1, 2,.nnPDn ,n pnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 從而有 (,)0,.nn pnPPdn 由柯西準(zhǔn)則知道存在20R ,P使使得得

21、 任意取定 n, 對(duì)任何正整數(shù) p, 有 .n pn pnPDD 0lim.nnPP 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 任取點(diǎn)列 再令,p 由于 Dn 是閉域, 故必定是閉集, 推論 因此 Dn 的聚點(diǎn)必定屬于 Dn , 0lim,1, 2,.npnpPPDn 0P最后證明 的惟一性. 0,1, 2,nPD n 若還有 則由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.P PPP 得得到到即即 對(duì)上述閉域套 Dn , 0,N ,NnN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,0(; ).nDU P 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù)

22、 n元函數(shù) 則得注 把 Dn 改為閉集套時(shí), 上面的命題同樣成立. E 定理16.3（聚點(diǎn)定理）證 現(xiàn)用閉域套定理來證明. 有界, 故存在一個(gè)閉正方形 .1DE 如圖 16 8 所示, 把 D1分成四個(gè)相同的小正方形, 有一小閉正方形含有 E 中無限多1D2D圖16 8 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 若2RE 為有界無限點(diǎn)集, 由于 E則在其中至少個(gè)點(diǎn), 在 中至少有一E2R則個(gè)聚點(diǎn). 把它記為 D2. E1D2D3D圖16 8 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) D2 如上法分成四個(gè)更小的正方形, 其中又至少有一個(gè)小閉正方

23、形D3含如此下去, 得到一個(gè)閉正方形序列：123.DDD 很顯然, Dn 的邊長隨著 n 而趨于零. 有 E 的無限多個(gè)點(diǎn). 定理16.3（聚點(diǎn)定理）若2RE 為有界無限點(diǎn)集, 在 中至少有一E2R則個(gè)聚點(diǎn). 推論 最后, 由區(qū)域套定理的推論, 0,n 當(dāng)當(dāng)充充分分大大時(shí)時(shí)0(; ).nDU M 又由 Dn 的取法, 知道0(; )U M 中中含有 E 的無限多個(gè)點(diǎn), 任一有界無限點(diǎn)列 2RnP 必存在收斂子列.knP ( 證明可仿照 R 中的相應(yīng)命題去進(jìn)行. ) 于是由閉域套定理, 存在一點(diǎn) 0,1, 2,.nMD n 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 這就

24、證得了M0 是 E 的聚點(diǎn). 定理16.4（有限覆蓋定理）注 將本定理中的 D 改設(shè)為有界閉集, 而將 改設(shè)為一族開集, 此時(shí)定理結(jié)論依然成立 . 1.niiD ().D 即即蓋了 D 12,n 個(gè)開域 它們同樣覆蓋了D, 即 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 設(shè)2RD 為一有界閉域 , 為一族開域 , 則則在在中必存在有限它覆qEqE證 (必要性) E 有界 有界, 由聚點(diǎn)定理 ,qE又因的聚點(diǎn)亦為 E 的聚點(diǎn), 而 E 是 閉集, 所以該聚點(diǎn)必屬于 E 2R .E 例7 設(shè)試證 E 為有界閉集的充要條是: .E于于E 的任一無窮子集 Eq 必有聚點(diǎn), 且聚

25、點(diǎn)恒屬 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 必有聚點(diǎn). 證 (充分性) 先證 E 為有界集. 倘若 E 為無界集, 則 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列,kPE |( ,),1,2,.kkPO Pk k 2R .E 例7 設(shè)試證 E 為有界閉集的充要條是: .E于于E 的任一無窮子集 Eq 必有聚點(diǎn), 且聚點(diǎn)恒屬 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 0lim.kkPP 現(xiàn)把 看作 , kPqE由條件 的聚點(diǎn) (即 ) 必qE0P屬于 E, 所以 E 為閉集. 易見kP這個(gè)子集無聚點(diǎn), 這與已知條件相矛盾. 為此設(shè) P0 為 E 的任一聚點(diǎn), 由

26、聚 點(diǎn)的等價(jià)定義, 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列 使 ,kPE 再證 E 為閉集. 使得 定義2設(shè)平面點(diǎn)集 , 若按照某對(duì)應(yīng)法則 f , 2RD 一點(diǎn) P ( x, y ) 都有惟一確定的實(shí)數(shù) z 與之對(duì)應(yīng) , 則稱 f 為定義在 D 上的二元函數(shù)R 的一個(gè)映射 ), 記作 :R .(7)fD 1. 函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì) R 到 R 的映射是一元函數(shù), R2 到 R 的映 射則是二元函數(shù). 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 二元函數(shù)應(yīng)關(guān)系. D 中每( 或稱 f 為D 到 與一元函數(shù)相類似, 稱 D 為 f 的定義域; 而稱 ( )( , )zf

27、Pzf x y或或 為 f 在點(diǎn) P 的函數(shù)值; 值域, 記作 ()R.f D 為 f 的自變量, 而把 z 稱為因變量. 也可記作 ( ,),( ,);zf x yx yD 或點(diǎn)函數(shù)形式 ( ),.zf PPD1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 全體函數(shù)值的集合為 f 的 通常把 P 的坐標(biāo) x 與 y 稱在 xOy 平面上的投影. 例8 函數(shù)25zxy的圖像是 R3 中的一個(gè)平面, 其定義域是 R2, 值域是 R . 當(dāng)把 和它所對(duì)應(yīng)的 一起組成 ( , )x yD ( , )zf x y三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時(shí), 3( , )|( ,),( ,

28、)RSx y zzf x yx yD就是二元函數(shù) f 的圖像. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 通常該圖像是一空間曲面, f 的定義域 D 是該曲面三維點(diǎn)集 例9 的定義域是 xOy 平面上的 221()zxy 單位圓域 , 值域?yàn)閰^(qū)間 0, 1 , 22( ,)|1x yxy它的圖像是以原點(diǎn)為中心的單位球面的上半部分 ( 圖16 9 ). xyzO1圖16 9 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 例10 是定義在 R2 上的函數(shù), 它的圖像是過 zxy原點(diǎn)的雙曲拋物面 ( 圖 16 10 ). xyzO圖16 10 1平面點(diǎn)

29、集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 圖16 11 xyzOz1 z2 例11 是定義在 R2 上的函數(shù), 值域 22zxy是全體非負(fù)整數(shù), 它的圖像示于圖 16 11. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 2. 若二元函數(shù)的值域 是有界數(shù)集, 則稱函數(shù) ()f Df在 D上為一有界函數(shù) ( 如例9 中的函數(shù) ) . ()f Df若 是無界數(shù)集, 則稱函數(shù)在 D上為一無界 函數(shù) ( 如例8、10、11 中的函數(shù) ). 與一元函數(shù)類似地, 設(shè) 2R ,D 則有 ,lim().kkkfDPDf P 在在上上無無界界使使1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)

30、集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 否則,(zc c ( , ),zf x y 解 用 為一系列常數(shù) ) 去截曲面 得等高線方程 22222222()().xyxycxy xyc xyxy 或或例12 設(shè)函數(shù) ( 此函數(shù)在以后還有特殊用處 ) 試用等高線法討論曲面 ( , )zf x y 的形狀. 2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 當(dāng) 0c xOy時(shí), 得 平面上的四條直線 0,0,.xyyxyx 當(dāng) 0c 時(shí), 由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它 的形狀. cos ,sin ,xryr 得到22sin44 ,4sin4 .rcrc 或或如圖16 12 所示, 族等高線. 1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 若把它化為極坐標(biāo)方程, 即令0,1,3,5c 所對(duì)應(yīng)的一 為+1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5