用向量計算空間角

1、用向量計算空間角幾類空間角的定義及范圍1. 異面直線所成角直線4、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線d7/a,b'b,我們把直線o'和0'所成的銳角（或直角）叫做異面直線“和方所成的角。異面直線所成角的范圍是o,V7V22. 直線和平面所成角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條 直線和這個平面所成的角；特別地，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角 是0。角。兀由定義知，直線與平面所成的角0 e 0,-二、空間角的向量計算1 求異面直線所成角的公式：cos6 = cos <a.b>

2、;其中“是異面直線a力上的方向向量。2.求線面角大小的公式:如圖，設(shè)平面卩的法向量為直線AO與平面所成的角為 久則_ OA-nsin a = cos < OA, n> =、OAn點A到平面卩的距離d為：OA-nd =-n(1)求異面直線所成的角例1：如右圖，直三棱柱AiBiCABC中，ZBCA=90° , 點D、F分別是AB、A£i的中點，若BC=CA二CC,求 BD與AF所成的角的余弦值.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，取BC二CA二CC=1 則B( 1,0,0) A (0, 1,0) p (丄，丄J)； Fx (0,1,1) 2 2 211)； AF = (0,

3、-i 1);324V3010皿=(-夕2cos <麗XX >=伴A好-V6 V5 -x 2 2設(shè)異面直線BD與AF所成的角的角為&,所以直線BD與AF所成的角的余弦值獸X 貝ij cos 0 -CA|yV30lo（2）求直線和平面所成的角例2：如圖，在長方體AC】中，棱AB二BC=3,棱BB1=4,點 E是CC的中點。求ED與平面AB&所成角的大小的正弦 值解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知:D (0, 3, 0) ； E (3, 3, 2)；A (0, 0, 4) ； B (3, 0, 4)； C (3, 3, 0) oDE = (3, 0, 2)兀瓦二 0,

4、 0)；乖= (0,3，-4) 設(shè)平面ABC的法向量為n = (x, y, z)則n AB=0(3兀=0Jx = 0n-BC = 03y_4z = 03y = 4z令z=3,貝lj n= (0, 4, 3),3. 二面角:（1）二面角及二面角的平面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面構(gòu)成的圖形叫二面角。在二面角的棱上任取一點，過這點在二面角的兩個面內(nèi) 做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平 面角。二面角的大小可用它的平面角來度量，二面角的平面 角是多少度，就說這個二面角是多少度。二面角的范圍是0, nWMX :f:（2）求二面角大小的公式:cos 3cos <nvn2 >

5、其中分別是二面角的兩個半平面的法向量。二面角余弦值COS 0的正負(fù)取決于二面角是銳二面角還是鈍=J用向量法求空間角回避了在空間圖形中尋找線線角、線 面角、二面角的平面角這一難點。體現(xiàn)了向量思想在立體幾 何中的重要地位，更體現(xiàn)了 “借數(shù)言形”的數(shù)學(xué)思想。注意：建立坐標(biāo)系后各個點的坐標(biāo)要寫對，計算要準(zhǔn)確。例3：長方體AC】中，棱AB=BC=3, BB1=4o求二面角 BAiCC的余弦值。解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.°(0,(3,(3,3, 0)；4)；0)；0,3,A| (0,C (3,D (0,0, 4)；3, 0)；3, 4).D|(3,0, 0) ； QC = (O,3,4)(x

6、, y, z)則設(shè)平面AB&的法向量為=A】GAD丿3x = 0=>3y-4z = 0x = 03y = 4zKW n-BxD 2V2 cos < n, BQ >= _-11 一n BiD4, 3)n- AB = 0< =>斤B C = 0令z=3,則 x=0,y=4平面ABC的法向量為匚=(0, 又平面A C&的法向量為= (- 3,3,0)又所求二面角為銳二面角故二面角BA& C的大小為一yXOS=OC=BC=1,解：如圖建立直角坐標(biāo)系,練習(xí):如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC,ZAOC=90° , SO丄平面OABC,

7、且OA=2 求：(DOS與平面SAB所成角的正弦值；二面角B-AS-O的余弦值； 異面直線SA和OB所成角的余弦值.則A(2, 0, 0) ； B (1,1, 0)；C(0, 1, 0) ； O (0,0, 0)；S(0, 0, 1),于是我們有SA =(2, o, -1) ； AB =(-1, b0)；OB=(1, 1, 0 ) ； os =(0, 0,1);設(shè)面SAB的法向量n =（兀y.z）顯然有丄AB.n丄$4f-x + y = O2x-z = 0令x=l,貝ijy=l, z=2；從而 n = (1,1,2)o：/ sina = cos< OS.n > =OSnOSnXsy

8、AX則有 cos< >=n n21a/6VioQ)cos<SA,OB>=lr =(2).由知面SAB的法向量(1, 1, 2)又TOC丄面AOS, .龍是面AOS的法向量, 令 n2=OC = (0,1,0)由于所求二面角為銳二面角二面角B-AS-O的余弦值為/62yl5 V2 5所以直線SA與OB所成角的余弦值為半1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABIICD, AB丄AD,AB=4, AD二 2於，CD=2, PA 丄平面ABCD,PA二4.(1)求證：BD丄平面PAC;點Q為線段PB的中點，求直線QC與平面PAC所成角的 正弦氐IA2.如圖所示，正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱長都為2, D為 CC1的中總 求二面?zhèn)銩-A1D-B的余弦值A(chǔ)Ci丿BBiDi z3.如圖所示，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中,平面ABCD與平面 DiCiCD垂直，且ZDiDC=60° , DC=DDi=2, DA= V3, ZADC=90° , 求異面直線AiC與ADi所成角的余弦值。Ci4如圖所示,在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,側(cè)棱AiA丄底面ABC