工程力學(xué)電子教案（第三版)第5章 桿件的內(nèi)力ppt課件

1、 本章介紹桿件在拉壓、扭轉(zhuǎn)以及彎曲時(shí)本章介紹桿件在拉壓、扭轉(zhuǎn)以及彎曲時(shí)的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制。本章內(nèi)容是對(duì)的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制。本章內(nèi)容是對(duì)桿件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的基礎(chǔ)。桿件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的基礎(chǔ)。 第5章 桿件的內(nèi)力 內(nèi)容提要內(nèi)容提要5-1 5-1 桿件拉桿件拉( (壓壓) )時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 5-2 5-2 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力5-3 5-3 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 小結(jié)小結(jié) 第5章 桿件的內(nèi)力 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1.工程實(shí)例：內(nèi)燃機(jī)中的連桿工程實(shí)例：內(nèi)燃機(jī)中的連桿(圖圖51a)、鋼、鋼木組合桁架中的鋼拉桿木組合桁架中的鋼拉桿(圖圖51b)。5

2、1 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 圖圖51 2. 計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖 承受軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉承受軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉(壓壓)桿。桿。 實(shí)際拉實(shí)際拉(壓壓)桿的形狀、加載和連接方式各不桿的形狀、加載和連接方式各不相同，但都可簡(jiǎn)化成圖相同，但都可簡(jiǎn)化成圖52所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。 桿件的受力特點(diǎn)是：作用于桿件上的外力的桿件的受力特點(diǎn)是：作用于桿件上的外力的合力作用線與桿件軸線重合；桿件的主要變形是合力作用線與桿件軸線重合；桿件的主要變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短，同時(shí)橫向尺寸也發(fā)生沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短，同時(shí)橫向尺寸也發(fā)生變化。變化。 圖圖5251 桿件拉桿件拉(壓壓)

3、時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 3. 軸力軸力 現(xiàn)以圖現(xiàn)以圖53a所示拉桿為例，求其任意橫截面所示拉桿為例，求其任意橫截面mm上的內(nèi)力。上的內(nèi)力。 應(yīng)用截面法，假想地沿應(yīng)用截面法，假想地沿mm截面把桿截開(kāi)，截面把桿截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象取左段為研究對(duì)象(圖圖53b)，列出平衡方程，列出平衡方程 Fx=0，F(xiàn)NF=0 得得FN=F 由于內(nèi)力由于內(nèi)力FN的作用線與桿的軸線重合，故的作用線與桿的軸線重合，故FN稱為軸力。稱為軸力。 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 圖圖5351 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 若取右段為研究對(duì)象若取右段為研究對(duì)象(圖圖53c)，同樣可求得，同樣可求得軸力軸力FN=

4、F ，但其方向與用左段求出的軸力方向，但其方向與用左段求出的軸力方向相反。相反。 圖圖53 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 為了使兩種算法得到的同一截面上的軸力不為了使兩種算法得到的同一截面上的軸力不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，規(guī)定軸力的正負(fù)號(hào)僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，規(guī)定軸力的正負(fù)號(hào)如下：當(dāng)軸力的方向與橫截面的外法線方向一致如下：當(dāng)軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時(shí)，桿件受拉伸長(zhǎng)，軸力為正；反之，桿件受壓時(shí)，桿件受拉伸長(zhǎng)，軸力為正；反之，桿件受壓縮短，軸力為負(fù)。顯然，圖縮短，軸力為負(fù)。顯然，圖53所示所示mm橫截橫截面上的軸力為正。面上的軸力為正。 在計(jì)算軸力時(shí)，通常未知軸力按正

5、向假設(shè)。在計(jì)算軸力時(shí)，通常未知軸力按正向假設(shè)。若計(jì)算結(jié)果為正，則表示軸力的實(shí)際指向與所設(shè)若計(jì)算結(jié)果為正，則表示軸力的實(shí)際指向與所設(shè)指向相同，軸力為拉力；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則表指向相同，軸力為拉力；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則表示軸力的實(shí)際指向與所設(shè)指向相反，軸力為壓力。示軸力的實(shí)際指向與所設(shè)指向相反，軸力為壓力。 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 4. 軸力圖軸力圖 實(shí)際問(wèn)題中，桿件所受外力較復(fù)雜，這時(shí)桿實(shí)際問(wèn)題中，桿件所受外力較復(fù)雜，這時(shí)桿件各橫截面上的軸力不盡相同。件各橫截面上的軸力不盡相同。 為了表示軸力隨橫截面位置的變化情況，用為了表示軸力隨橫截面位置的變化情況，用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示

6、橫截面的位置，以垂直平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示軸力的數(shù)值，繪出軸力與橫于桿軸線的坐標(biāo)表示軸力的數(shù)值，繪出軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，即為軸力圖。截面位置關(guān)系的圖線，即為軸力圖。 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 例例51 試?yán)L制直桿試?yán)L制直桿(圖圖54a)的軸力圖。已的軸力圖。已知知F1=20 kN，F(xiàn)2=12 kN，F(xiàn)3=26 kN。 圖圖5451 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 解解 (1)求支座反力求支座反力 由桿由桿AD的平衡方程的平衡方程Fx=0，可求得支座反力可求得支座反力FD=18 kN。 (2)求橫截面求橫截面11、22、33上

7、的軸力上的軸力 由由于在橫截面于在橫截面B和和C上作用有外力，須將桿分為上作用有外力，須將桿分為AB、BC、CD三段。應(yīng)用截面法，假想地沿三段。應(yīng)用截面法，假想地沿11橫截橫截面把桿截開(kāi)，取受力較簡(jiǎn)單的右段為研究對(duì)象面把桿截開(kāi)，取受力較簡(jiǎn)單的右段為研究對(duì)象(圖圖54b)，列出平衡方程，列出平衡方程 Fx=0，F(xiàn)1FN1=0 FN1= F1 =20 kN 得得51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 圖圖54 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 同理，分別取同理，分別取22橫截面的右段和橫截面的右段和33橫截橫截面的左段為研究對(duì)象面的左段為研究對(duì)象(圖圖54c、d)，可求得，可求得 F

8、N2= F1F2=8 kN FN3=FD=18 kN 式中，式中，F(xiàn)N3為負(fù)值，說(shuō)明為負(fù)值，說(shuō)明FN3的指向與假設(shè)的的指向與假設(shè)的方向相反，即方向相反，即FN3為壓力。為壓力。 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 圖圖54 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 (3)繪制軸力圖繪制軸力圖 根據(jù)所求得的軸力值，繪制根據(jù)所求得的軸力值，繪制軸力圖軸力圖(圖圖54e)。由圖中看出。由圖中看出FNmax=20 kN，發(fā)生在發(fā)生在AB段內(nèi)各橫截面上。段內(nèi)各橫截面上。 以后我們把內(nèi)力較大的橫截面稱為危險(xiǎn)截面，以后我們把內(nèi)力較大的橫截面稱為危險(xiǎn)截面，例如本例中例如本例中AB段內(nèi)各橫截面。段內(nèi)各

9、橫截面。圖圖54 51 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力時(shí)的內(nèi)力 1.工程實(shí)例：鉆探機(jī)的鉆桿工程實(shí)例：鉆探機(jī)的鉆桿(圖圖55a)、機(jī)器中的、機(jī)器中的傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸(圖圖55b) 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 圖圖55 圖圖56 2. 計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖 這些桿件都是兩端作用兩個(gè)大小相等、方這些桿件都是兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶，致使向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶，致使桿件的任意兩個(gè)橫截面之間都發(fā)生繞軸線的相對(duì)桿件的任意兩個(gè)橫截面之間都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。 以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸，其計(jì)算以扭轉(zhuǎn)為主

10、要變形的桿件稱為軸，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖簡(jiǎn)圖如圖56所示。扭轉(zhuǎn)變形用兩個(gè)橫截面繞軸所示。扭轉(zhuǎn)變形用兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角線的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 表示。表示。 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 52l 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 工程中作用于傳動(dòng)軸上的外力偶矩往往不是工程中作用于傳動(dòng)軸上的外力偶矩往往不是直接給出的，而是給出軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)直接給出的，而是給出軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。它們之間的換算關(guān)系為速。它們之間的換算關(guān)系為MeNm=9549 min/ rkWnP 式中，式中，Me為軸所受的外力偶矩，單位為為軸所受的外力偶矩，單位為Nm；P為軸傳遞的功率，單位為為軸傳遞的功率，單位為k

11、W；n為軸的轉(zhuǎn)速，為軸的轉(zhuǎn)速，單位為單位為r/min。 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 522 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖 在作用于軸上的所有外力偶矩都求出后，即在作用于軸上的所有外力偶矩都求出后，即可應(yīng)用截面法求橫截面上的內(nèi)力?？蓱?yīng)用截面法求橫截面上的內(nèi)力。 為求圓軸為求圓軸(圖圖57a)mm橫截面上的內(nèi)力，橫截面上的內(nèi)力，可假想地沿可假想地沿mm截面把圓軸截開(kāi)，取左段為研截面把圓軸截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象圖究對(duì)象圖57b），為保持左段平衡，），為保持左段平衡，mm截截面上必存在一個(gè)內(nèi)力偶矩面上必存在一個(gè)內(nèi)力偶矩T。T的轉(zhuǎn)向與外力偶矩的轉(zhuǎn)向與外力偶矩Me的轉(zhuǎn)向相反，的轉(zhuǎn)向相反，T的大小與

12、的大小與Me的大小相等，即的大小相等，即 T=Me T稱為稱為mm截面上的扭矩。截面上的扭矩。 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 圖圖57 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 如果取右段為研究對(duì)象如果取右段為研究對(duì)象(圖圖57c)，仍然可以，仍然可以求得求得T=Me，但其方向則與用左段求出的扭矩的，但其方向則與用左段求出的扭矩的方向相反。方向相反。 圖圖5752 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 為了使兩種算法得到的同一截面上的扭矩不為了使兩種算法得到的同一截面上的扭矩不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，對(duì)扭矩僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，對(duì)扭矩T的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：按右手螺旋法則，讓四個(gè)

13、指頭與扭矩規(guī)定如下：按右手螺旋法則，讓四個(gè)指頭與扭矩T的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向(即扭矩即扭矩T的方向的方向)與截面的外法線方向一致時(shí)，與截面的外法線方向一致時(shí)，T為正為正(圖圖58)；反；反之為負(fù)。之為負(fù)。 顯然，圖顯然，圖57所示所示mm橫截面上的扭矩為橫截面上的扭矩為正。正。 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 圖圖58 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 與求軸力的方法類(lèi)似，用截面法計(jì)算扭矩時(shí)，與求軸力的方法類(lèi)似，用截面法計(jì)算扭矩時(shí)，通常先假設(shè)扭矩為正，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)通常先假設(shè)扭矩為正，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確定扭矩的實(shí)際方向。確定扭矩的實(shí)

14、際方向。 若作用于軸上的外力偶矩多于兩個(gè)，也與拉若作用于軸上的外力偶矩多于兩個(gè)，也與拉伸伸(緊縮緊縮)問(wèn)題中繪制軸力圖相仿，以橫坐標(biāo)表示問(wèn)題中繪制軸力圖相仿，以橫坐標(biāo)表示橫截面的位置、縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的扭矩，橫截面的位置、縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的扭矩，用圖線來(lái)表示各橫截面上扭矩沿軸線變化的情況。用圖線來(lái)表示各橫截面上扭矩沿軸線變化的情況。這樣的圖線稱為扭矩圖。這樣的圖線稱為扭矩圖。 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 例例52 傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸(圖圖59a)的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n=150r/min；A處為主動(dòng)輪，輸入功率處為主動(dòng)輪，輸入功率PA=70kW，B、C、D處處為從動(dòng)輪，其輸出功率分別為

15、為從動(dòng)輪，其輸出功率分別為PB=30kW，PC=PD=20kW。試?yán)L制該軸的扭矩圖。試?yán)L制該軸的扭矩圖。 圖圖59 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 (2)計(jì)算扭矩計(jì)算扭矩 須將軸分為須將軸分為AB、AC和和CD三段，三段，逐段計(jì)算扭矩。應(yīng)用截面法，假想地沿逐段計(jì)算扭矩。應(yīng)用截面法，假想地沿11橫截橫截面把軸截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象面把軸截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象(圖圖59b)，為保，為保持左段平衡，持左段平衡，11橫截面上的扭矩橫截面上的扭矩T1為為 T1=MeB =1.91 kNm 式中，式中，T1為負(fù)值，說(shuō)明為負(fù)值，說(shuō)明T1的實(shí)際方向與的實(shí)際方向與假設(shè)的方向相反。假設(shè)的方向相反。 52

16、桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 圖圖5952 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 同理，分別取同理，分別取22橫截面的左段和橫截面的左段和33橫截橫截面的右段為研究對(duì)象面的右段為研究對(duì)象(圖圖59c、d)，可求得，可求得 T2=MeAMeB=2.55 kNm T3=MeD=1.27 kNm 圖圖59 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 (3)繪制扭矩圖繪制扭矩圖 根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，繪出扭根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，繪出扭矩圖矩圖(圖圖59e)。由圖看出，最大扭矩發(fā)生在。由圖看出，最大扭矩發(fā)生在AC段各橫截面上，其值為段各橫截面上，其值為T(mén)max=2.55 kNm。 圖圖59 52 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力桿

17、件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 531 平面彎曲的概念平面彎曲的概念 1. 工程實(shí)例：橋式起重機(jī)的大梁工程實(shí)例：橋式起重機(jī)的大梁(圖圖510a)、閘門(mén)的立柱閘門(mén)的立柱(圖圖510b) 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖510 2. 平面彎曲平面彎曲 在通過(guò)桿軸平面內(nèi)的外力偶作用下，或在垂在通過(guò)桿軸平面內(nèi)的外力偶作用下，或在垂直于桿軸的橫向力作用下，桿的軸線將彎成曲線，直于桿軸的橫向力作用下，桿的軸線將彎成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲為主要變形的桿這種變形稱為彎曲變形。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。件稱為梁。 工程中大多數(shù)梁的橫截面都有一根豎向?qū)ΨQ工程中大多數(shù)梁的橫截面都有一根豎向?qū)ΨQ軸軸(圖圖

18、511)。 圖圖511 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 梁的軸線與橫截面的豎向?qū)ΨQ軸構(gòu)成的平面梁的軸線與橫截面的豎向?qū)ΨQ軸構(gòu)成的平面稱為梁的縱向?qū)ΨQ面。如果作用于梁上的所有外稱為梁的縱向?qū)ΨQ面。如果作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后梁的軸線也將在力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后梁的軸線也將在此對(duì)稱平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線此對(duì)稱平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線(圖圖512)，這，這種彎曲稱為平面彎曲。種彎曲稱為平面彎曲。 本課程主要研究平面彎曲問(wèn)題。本課程主要研究平面彎曲問(wèn)題。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖512 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 3. 計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算

19、簡(jiǎn)圖 梁的支座和載荷有各種情況，為得到便于分梁的支座和載荷有各種情況，為得到便于分析的計(jì)算簡(jiǎn)圖，須對(duì)梁進(jìn)行以下三方面的簡(jiǎn)化：析的計(jì)算簡(jiǎn)圖，須對(duì)梁進(jìn)行以下三方面的簡(jiǎn)化： (1)梁本身的簡(jiǎn)化梁本身的簡(jiǎn)化 不論梁的截面形狀如何復(fù)雜，不論梁的截面形狀如何復(fù)雜，通常用梁的軸線來(lái)代替實(shí)際的梁；通常用梁的軸線來(lái)代替實(shí)際的梁； (2)載荷的簡(jiǎn)化載荷的簡(jiǎn)化 作用于梁上的載荷一般可以簡(jiǎn)作用于梁上的載荷一般可以簡(jiǎn)化為集中載荷或分布載荷；化為集中載荷或分布載荷； (3)支座的簡(jiǎn)化支座的簡(jiǎn)化 按支座對(duì)梁的約束不同，可簡(jiǎn)按支座對(duì)梁的約束不同，可簡(jiǎn)化為活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座或固定端。化為活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座或固定端。 5

20、3 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖510 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 根據(jù)支座情況，靜定梁可分為三種基本形式：根據(jù)支座情況，靜定梁可分為三種基本形式： (1)懸臂梁懸臂梁 一端固定，另一端自由的梁一端固定，另一端自由的梁(圖圖513a)； (2)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 一端為固定鉸支座，另一端為活動(dòng)一端為固定鉸支座，另一端為活動(dòng)鉸支座的梁鉸支座的梁(圖圖513b)； (3)外伸梁外伸梁 一端或兩端伸出支座之外的簡(jiǎn)支梁一端或兩端伸出支座之外的簡(jiǎn)支梁(圖圖513c)。 圖圖51353 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 在平面彎曲問(wèn)題中，梁上的載荷與支座在平面彎曲問(wèn)題中，梁上的載荷與支座反

21、力組成一平面力系，該力系有三個(gè)獨(dú)立的平反力組成一平面力系，該力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。懸臂梁、簡(jiǎn)支梁和外伸梁各自恰好有衡方程。懸臂梁、簡(jiǎn)支梁和外伸梁各自恰好有三個(gè)未知的支座反力，它們可由靜力平衡方三個(gè)未知的支座反力，它們可由靜力平衡方程求出。程求出。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 532 剪力和彎矩剪力和彎矩 確定了梁上所有載荷與支座反力后，就可進(jìn)確定了梁上所有載荷與支座反力后，就可進(jìn)一步研究其橫截面上的內(nèi)力。一步研究其橫截面上的內(nèi)力。 以懸臂梁以懸臂梁(圖圖514a)為例，其上作用有載荷為例，其上作用有載荷F，由平衡方程可求出固定端由平衡方程可求出固定端B處的支座反力為處的支座反力

22、為FB=F，MB=Fl(圖圖514b)。 圖圖514 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 求橫截面求橫截面mm上的內(nèi)力時(shí)，應(yīng)用截面法假上的內(nèi)力時(shí)，應(yīng)用截面法假想地沿橫截面想地沿橫截面mm將梁截成兩段，取左段為研將梁截成兩段，取左段為研究對(duì)象究對(duì)象(圖圖514c)，為保持左段平衡，作用于左，為保持左段平衡，作用于左段上的力除載荷段上的力除載荷F外，在橫截面外，在橫截面mm上必定有內(nèi)上必定有內(nèi)力力FS和和M。列出平衡方程。列出平衡方程 得得Fx=0 FFS=0 FS =FMC=0 MFx=0 M=Fx 得得FS和和M分別稱為剪力和彎矩。分別稱為剪力和彎矩。53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力

23、 圖圖51453 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 如取右段為研究對(duì)象如取右段為研究對(duì)象(圖圖514d)，同樣可以，同樣可以求得求得FS和和M，且數(shù)值與上述結(jié)果相等，只是方向，且數(shù)值與上述結(jié)果相等，只是方向相反。相反。 圖圖514 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 為了使兩種算法得到的同一截面上的剪力為了使兩種算法得到的同一截面上的剪力和彎矩不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，對(duì)剪力和和彎矩不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)相同，對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)作如下規(guī)定：彎矩的正負(fù)號(hào)作如下規(guī)定： 凡剪力對(duì)所取微段梁內(nèi)任一點(diǎn)的力矩是順時(shí)凡剪力對(duì)所取微段梁內(nèi)任一點(diǎn)的力矩是順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正針轉(zhuǎn)向時(shí)為正(圖圖515a)，反之

24、為負(fù)，反之為負(fù)(圖圖515b)； 凡彎矩使所取微段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形凡彎矩使所取微段梁產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的為正的為正(圖圖515c)，反之為負(fù)，反之為負(fù)(圖圖515d)。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 根據(jù)上述正負(fù)號(hào)規(guī)定，圖根據(jù)上述正負(fù)號(hào)規(guī)定，圖514c、d所示所示情況中橫截面情況中橫截面mm上的剪上的剪 力和彎矩均為正。力和彎矩均為正。 與求軸力和扭矩相類(lèi)似，橫截面上的剪力與求軸力和扭矩相類(lèi)似，橫截面上的剪力和彎矩通常按正向假設(shè)，和彎矩通常按正向假設(shè)， 根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確定它們的實(shí)際方向。定它們的實(shí)際方向。 圖圖515 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的

25、內(nèi)力 例例53 求簡(jiǎn)支梁求簡(jiǎn)支梁(圖圖516a)橫截面橫截面11、22、33上的剪力和彎矩。橫截面上的剪力和彎矩。橫截面33位于位于F2作用截面的右側(cè)，并與其無(wú)限接近。作用截面的右側(cè)，并與其無(wú)限接近。 圖圖51653 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 解解 (1)求支座反力求支座反力 由梁的平衡方程，求得支座由梁的平衡方程，求得支座反力為反力為FA=FB=10kN (2)求橫截面求橫截面11上的剪力和彎矩上的剪力和彎矩 假想地沿假想地沿橫截面橫截面11把梁截成兩段，取左段為研究對(duì)象把梁截成兩段，取左段為研究對(duì)象(圖圖516b)，列出平衡方程，列出平衡方程 Fy=0 FAFS1=0 得得FS1=

26、FA=10 kNMC=0 M1FA(1m)=0A(1m)=0M1=FA(1m)=10 kNm 得得53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 由計(jì)算結(jié)果知，由計(jì)算結(jié)果知，F(xiàn)S1為正剪力，為正剪力，M1為正彎矩。為正彎矩。 圖圖516 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 (3)求橫截面求橫截面22上的剪力和彎矩上的剪力和彎矩 假想地沿假想地沿橫截面橫截面22把梁截成兩段，取左段為研究對(duì)象把梁截成兩段，取左段為研究對(duì)象(圖圖516c)，列出平衡方程，列出平衡方程Fy=0 FAF1FS2=0 FS2=FAF1=0MD=0 M2FA(4m)+F1(2m)=0 M2=FA(4m)+F1(2m)=20 k

27、Nm 由計(jì)算結(jié)果知，由計(jì)算結(jié)果知，M2為正彎矩。為正彎矩。 得得得得53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖516 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 (4)求橫截面求橫截面33上的剪力和彎矩上的剪力和彎矩 假想地沿假想地沿橫截面橫截面33把梁截成兩段，取右段為研究對(duì)象把梁截成兩段，取右段為研究對(duì)象(圖圖516d)，列出平衡方程，列出平衡方程 由計(jì)算結(jié)果知，由計(jì)算結(jié)果知，F(xiàn)S3為負(fù)剪力，為負(fù)剪力，M3為正彎矩。為正彎矩。Fy=0 FB+FS3=0FS3=FB=10 kNME=0 FB(2 m)M3=0M3=FB(2 m)=20 kNm 得得得得53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖

28、圖516 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 由上面的計(jì)算過(guò)程，可以總結(jié)出如下規(guī)律：由上面的計(jì)算過(guò)程，可以總結(jié)出如下規(guī)律： (1)梁任一橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截梁任一橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面的任一邊面的任一邊(左邊或右邊左邊或右邊)梁上所有橫向外力的代梁上所有橫向外力的代數(shù)和。截面左邊梁上向上的外力或右邊梁上向下數(shù)和。截面左邊梁上向上的外力或右邊梁上向下的外力為正，反之為負(fù)。的外力為正，反之為負(fù)。 (2)梁任一橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截梁任一橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面任一邊面任一邊(左邊或右邊左邊或右邊)梁上所有外力對(duì)截面梁上所有外力對(duì)截面 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿

29、件彎曲時(shí)的內(nèi)力 形心的力矩的代數(shù)和。截面左邊梁上的外力形心的力矩的代數(shù)和。截面左邊梁上的外力對(duì)該截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向、或截面右邊梁對(duì)該截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向、或截面右邊梁上的外力對(duì)該截面形心之矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，上的外力對(duì)該截面形心之矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。 利用上述規(guī)律，可以直接根據(jù)橫截面左邊利用上述規(guī)律，可以直接根據(jù)橫截面左邊或右邊梁上的外力來(lái)求該截面上的剪力和彎矩，或右邊梁上的外力來(lái)求該截面上的剪力和彎矩，而不必列出平衡方程。而不必列出平衡方程。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 例例54 求受均布載荷作用的懸臂梁求受均布載荷作用的懸臂梁(圖圖517)橫截

30、面橫截面C上的剪力和彎矩。上的剪力和彎矩。 圖圖517 解解 橫截面橫截面C上的剪力和彎矩直接根據(jù)該截面右上的剪力和彎矩直接根據(jù)該截面右邊梁上的外力求得邊梁上的外力求得 FS=q(lx)M=22xlq53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 533 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 1用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖 由例由例54可見(jiàn)，梁橫截面上的剪力與彎矩隨截面可見(jiàn)，梁橫截面上的剪力與彎矩隨截面位置位置x而變化，它們都可表示為而變化，它們都可表示為x的函數(shù)，即的函數(shù)，即 FS=FSx） M=M(x) (52) 以上兩式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。以上兩式分別稱為梁的

31、剪力方程和彎矩方程。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 與繪制軸力圖和扭矩圖一樣，也可用圖線與繪制軸力圖和扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁的各橫截面上剪力表示梁的各橫截面上剪力FS和彎矩和彎矩M沿梁軸線沿梁軸線變化的情況。以平行于梁軸的橫坐標(biāo)變化的情況。以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩，繪出剪力方程和彎矩方程的圖線，這或彎矩，繪出剪力方程和彎矩方程的圖線，這樣的圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。樣的圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。 在本書(shū)中，將正剪力畫(huà)在在本書(shū)中，將正剪力畫(huà)在x軸上方；而正軸上方；而正彎矩畫(huà)在彎

32、矩畫(huà)在x軸下方。軸下方。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 例例55 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(圖圖518a)受均布載荷受均布載荷q作用，作用，試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。圖和彎矩圖。 圖圖518 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 解解 由梁的平衡方程，求得支座反力為由梁的平衡方程，求得支座反力為FA= FB= 2qlqxqlqxFxFA2)(S22222)(xqxqlxqxFxMA （0 xl ) （a） （0 xl） （b） 圖圖518 梁的剪力方程和彎矩方程分別為梁的剪力方程和彎矩方程分別為53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲

33、時(shí)的內(nèi)力 根據(jù)以上方程式，剪力圖為一條直線，只要根據(jù)以上方程式，剪力圖為一條直線，只要確定直線上兩個(gè)點(diǎn)一般為兩個(gè)端點(diǎn)即可繪出，確定直線上兩個(gè)點(diǎn)一般為兩個(gè)端點(diǎn)即可繪出，如圖如圖518b所示。所示。 彎矩圖為一條拋物線，通常需要確定三個(gè)點(diǎn)彎矩圖為一條拋物線，通常需要確定三個(gè)點(diǎn)才能將其大致繪出一般為兩個(gè)端點(diǎn)和某一個(gè)特才能將其大致繪出一般為兩個(gè)端點(diǎn)和某一個(gè)特殊的點(diǎn)）。當(dāng)殊的點(diǎn)）。當(dāng)x=0和和x=l時(shí)，時(shí)，M均為零；下面分析均為零；下面分析一個(gè)特殊的點(diǎn)。一個(gè)特殊的點(diǎn)。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖518 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可求得彎矩的極值及其所在由高等

34、數(shù)學(xué)知識(shí)可求得彎矩的極值及其所在橫截面的位置。將式橫截面的位置。將式b對(duì)對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)，并令求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，有其等于零，有 qxqlxxM2dd=0 2lx 得得2lx 將將 代代 入彎矩方程式入彎矩方程式(b)，即得最大彎矩為，即得最大彎矩為 82ql。繪出梁的彎矩圖如圖。繪出梁的彎矩圖如圖518c所示。所示。 Mmax= 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖518 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 由圖可見(jiàn)，梁跨中截面上的彎矩是極值且由圖可見(jiàn)，梁跨中截面上的彎矩是極值且為全梁彎矩的最大值，為全梁彎矩的最大值， Mmax=82ql在該截面上，剪力在該截面上，剪力 FS

35、=0。而在梁的兩支座截面處剪力值為最大，。而在梁的兩支座截面處剪力值為最大，2maxSqlF。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖518 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 例例56 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(圖圖519a)在在C處受集中載荷處受集中載荷F作用，試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并作用，試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。繪制剪力圖和彎矩圖。圖圖519 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 解解 由梁的平衡方程，求得支座反力為由梁的平衡方程，求得支座反力為lFblFaFA = ，F(xiàn)B = 集中力集中力F作用于作用于C點(diǎn)，梁在點(diǎn)，梁在AC和和BC兩段內(nèi)的剪兩段

36、內(nèi)的剪力或彎矩不能用同一方程來(lái)表示，應(yīng)分段考慮。力或彎矩不能用同一方程來(lái)表示，應(yīng)分段考慮。在在AC段內(nèi)取距左端為段內(nèi)取距左端為x的任意橫截面，求得此橫截的任意橫截面，求得此橫截面上的剪力和彎矩分別為面上的剪力和彎矩分別為 lFbFxFA)(SxlFbxFxMA)(（0 xa) （a） （0 xa） （b） 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 這就是這就是AC段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程。段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程。圖圖519 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 同樣求得同樣求得CB段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程分別為段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程分別為lFaFxFB)(S)()()(xllFaxlFxM

37、B（axl ) （c） （axl） （d） 圖圖519 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 lFbFmaxS。 根據(jù)式根據(jù)式a）、（）、（c繪出剪力圖圖繪出剪力圖圖519b）。）。由剪力圖看出，當(dāng)由剪力圖看出，當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，lFabMmax 根據(jù)式根據(jù)式b）、（）、（d繪出彎矩圖圖繪出彎矩圖圖519c）。）。由彎矩圖看出由彎矩圖看出 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖51953 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 由圖可見(jiàn)，在集中力作用處由圖可見(jiàn)，在集中力作用處(C截面截面)，其左、右兩側(cè)橫截面上彎矩相同，而剪力則其左、右兩側(cè)橫截面上彎矩相同，而剪力則發(fā)生突變，突變值等于該集中力的

38、大小。發(fā)生突變，突變值等于該集中力的大小。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 例例57 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(圖圖520a)在在C處受一集中力處受一集中力偶偶Me作用，試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，作用，試列出此梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。并繪制剪力圖和彎矩圖。圖圖520 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 解解 由梁的平衡方程，求得支座反力為由梁的平衡方程，求得支座反力為lMFFBAe 此梁在此梁在C處有集中力偶作用，分段列剪力方處有集中力偶作用，分段列剪力方程和彎矩方程如下：程和彎矩方程如下：AC段段lMFxFAeS)(xlMxFxMAe)(（0 xa ) （a） （

39、0 xa） （b） 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖52053 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 CB段段圖圖520lMFxFBeS)()()(eelxlMMxFxMA（axl ) （c） （axl) （d） 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 根據(jù)以上方程式，可分別繪出剪力圖根據(jù)以上方程式，可分別繪出剪力圖(圖圖520b)和彎矩圖和彎矩圖(圖圖520c)。圖圖52053 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 在集中力偶作用處在集中力偶作用處(C截面截面)，其左、右兩側(cè)，其左、右兩側(cè)橫截面上的剪力相同，而彎矩則發(fā)生突變，突變橫截面上的剪力相同，而彎矩則發(fā)生突變，突變值等于該集中力偶

40、矩的大小。值等于該集中力偶矩的大小。 由圖可見(jiàn)，當(dāng)由圖可見(jiàn)，當(dāng)ba時(shí)，在集中力偶作用處時(shí)，在集中力偶作用處的右側(cè)橫截面上的彎矩值最大，的右側(cè)橫截面上的彎矩值最大，lbMMemax。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 2.用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖 （1微分關(guān)系微分關(guān)系)(d)(dSxqxxF（54） xxMddFSx） （53） 在例在例55中，若將彎矩方程式中，若將彎矩方程式(b)對(duì)對(duì)x求一求一次導(dǎo)數(shù)，得次導(dǎo)數(shù)，得 qxqlxxM2dd，這恰是剪力方程式，這恰是剪力方程式(a)，即有即有若再將剪力方程式若再將剪力方程式(a)對(duì)對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)，得求一次導(dǎo)

41、數(shù)，得qxxFd)(dS?？梢宰C明，如?？梢宰C明，如規(guī)定分布載荷集度規(guī)定分布載荷集度qx向上向上為正，則有為正，則有53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 以上三式就是彎矩、剪力與分布載荷集度以上三式就是彎矩、剪力與分布載荷集度之間的微分關(guān)系，它們?cè)谥绷褐惺瞧毡榇嬖诘闹g的微分關(guān)系，它們?cè)谥绷褐惺瞧毡榇嬖诘囊?guī)律。規(guī)律。 由式由式(53)和式和式(54)還可得到還可得到)(d)(d22xqxxM（55） 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 （2圖形規(guī)律圖形規(guī)律 根據(jù)上述關(guān)系，并由前述各例，可以得到剪力根據(jù)上述關(guān)系，并由前述各例，可以得到剪力圖與彎矩圖圖形的一些規(guī)律，概括如下：圖與彎矩圖圖形的

42、一些規(guī)律，概括如下： 2)梁上某段受均布載荷作用梁上某段受均布載荷作用(q為常數(shù)為常數(shù))時(shí)，此時(shí)，此段梁的剪力段梁的剪力FS為為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；彎矩彎矩M則為則為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。在的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。在剪力剪力FS=0處，彎矩圖的斜率為零，此處的彎矩處，彎矩圖的斜率為零，此處的彎矩為極值。為極值。 1)梁上某段無(wú)載荷作用梁上某段無(wú)載荷作用(q=0)時(shí)，此段梁的時(shí)，此段梁的剪力剪力FS為常數(shù)，剪力圖為水平線；彎矩為常數(shù)，剪力圖為水平線；彎矩M則為則為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件

43、彎曲時(shí)的內(nèi)力 4)在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變?cè)诩辛ε甲饔锰帲瑥澗貓D有突變，突變值即為該處集中力偶矩的大小，但剪力圖在此處值即為該處集中力偶矩的大小，但剪力圖在此處卻沒(méi)有變化，故集中力偶作用處兩側(cè)彎矩圖的斜卻沒(méi)有變化，故集中力偶作用處兩側(cè)彎矩圖的斜率相同。率相同。 3)在集中力作用處，剪力圖有突變，突變?cè)诩辛ψ饔锰?，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小；此時(shí)彎矩圖的斜率值即為該處集中力的大小；此時(shí)彎矩圖的斜率也發(fā)生突然變化，因而彎矩圖在此處有一折角。也發(fā)生突然變化，因而彎矩圖在此處有一折角。53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 （3利用圖形規(guī)律繪制剪力圖和彎矩圖利用圖形規(guī)律繪

44、制剪力圖和彎矩圖 利用上述規(guī)律，可不必列出剪力方程和彎矩利用上述規(guī)律，可不必列出剪力方程和彎矩方程，而能更簡(jiǎn)捷地繪制梁的剪力圖及彎矩圖。方程，而能更簡(jiǎn)捷地繪制梁的剪力圖及彎矩圖。其步驟如下：其步驟如下： (1)分段定形分段定形 根據(jù)梁上載荷和支承情況將根據(jù)梁上載荷和支承情況將梁分成若干段，由各段內(nèi)的載荷情況判斷剪力梁分成若干段，由各段內(nèi)的載荷情況判斷剪力圖和彎矩圖的形狀；圖和彎矩圖的形狀； (2)定點(diǎn)繪圖定點(diǎn)繪圖 求出某些特殊橫截面上的剪力求出某些特殊橫截面上的剪力值和彎矩值，逐段繪制梁的剪力圖和彎矩圖。值和彎矩值，逐段繪制梁的剪力圖和彎矩圖。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 例例58

45、 試?yán)L制外伸梁試?yán)L制外伸梁(圖圖52la)的剪力圖和彎的剪力圖和彎矩圖。矩圖。圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 解解 (1)求支座反力求支座反力 由梁的平衡方程，求得支由梁的平衡方程，求得支座反力為座反力為 FA=9 kN，F(xiàn)B=5 kN 圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 (2)繪制剪力圖繪制剪力圖 分段定形分段定形 根據(jù)梁所受載荷和支承情況，根據(jù)梁所受載荷和支承情況，全梁可分為全梁可分為CA、AD、DB三段。三段。 CA和和AD段：段：q=0，F(xiàn)S圖為水平直線。圖為水平直線。 DB段：段：q0且為常數(shù)，且為常數(shù)，F(xiàn)S圖為斜直線，斜率為圖為斜直線，斜率為負(fù)，

46、向右下方傾斜。負(fù)，向右下方傾斜。 截面截面A、B、C處受集中力作用，剪力圖有突處受集中力作用，剪力圖有突變。變。 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 求特殊橫截面上的剪力值并繪圖求特殊橫截面上的剪力值并繪圖 CA、AD段的剪力圖為水平線，只須分別在此兩段內(nèi)確定段的剪力圖為水平線，只須分別在此兩段內(nèi)確定任一橫截面上的剪力值。為繪出任一橫截面上的剪力值。為繪出DB段的剪力圖，段的剪力圖，需確定需確定D橫截面和支座橫截面和支座B左側(cè)橫截面上的剪力值。左側(cè)橫截面上的剪力值。 上述橫截面上的剪力值分別為上述橫截面上的剪力值分別為RSCFRSAFLS

47、BF=F=6 kN =FSD=FAF=3 kN =FB=5 kN 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 maxSF 梁的剪力圖如圖梁的剪力圖如圖52lb所示。由圖可見(jiàn)，所示。由圖可見(jiàn)，CA段的剪力絕對(duì)值最大，段的剪力絕對(duì)值最大， = 6 kN。53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 （3繪制彎矩圖繪制彎矩圖 分段定形分段定形 全梁仍可分為三段。全梁仍可分為三段。 CA段：段：q=0、FS0，M圖為斜直線，斜率為圖為斜直線，斜率為負(fù)，向右上方傾斜。負(fù)，向右上方傾斜。 截面截面D處受集中力偶處受集中力偶Me作用，作用，M圖有突變，其

48、圖有突變，其突變值為突變值為Me。 AD段：段：q=0、FS0，M圖為斜直線，斜率圖為斜直線，斜率為正，向右下方傾斜。為正，向右下方傾斜。 DB段：段：q0、FS由正漸變至負(fù)，由正漸變至負(fù)，M圖為向圖為向下凸的拋物線，斜率由正逐漸減小至負(fù)；下凸的拋物線，斜率由正逐漸減小至負(fù)；在在FS=0處，處，M為極值。為極值。 截面截面A、B、C處受集中力作用，處受集中力作用，M圖有折角。圖有折角。53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 求特殊橫截面上的彎矩值并繪圖求特殊橫截面上的彎矩值并繪圖 為繪出為繪出各段梁的彎矩圖，需求出以下橫截面上的彎矩值，各段梁

49、的彎矩圖，需求出以下橫截面上的彎矩值，它們分別為它們分別為MA = F(1m)=6 kNmLDM=F(2m)+FA(1m)=3kNmRDM=F(2m)+FA(1m)+Me=1kNmMB =0 MC = 053 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 設(shè)距支座設(shè)距支座B為為x的的E橫截面上的剪力為零，則有橫截面上的剪力為零，則有 即即qxFB=0 qFBm/kN8kN5x=0.625 mE橫截面上的彎矩值為橫截面上的彎矩值為ME=FB（0.625m）2m625. 02q=1.56 kNm 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 圖圖521 maxM=

50、6 kNm。 梁的彎矩圖如圖梁的彎矩圖如圖521c所示。由圖可見(jiàn)，所示。由圖可見(jiàn)，支座支座A處橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大，處橫截面上的彎矩絕對(duì)值最大，53 桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力桿件彎曲時(shí)的內(nèi)力 小結(jié)小結(jié) 1. 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)的內(nèi)力和內(nèi)力圖時(shí)的內(nèi)力和內(nèi)力圖 （1軸力軸力 桿件拉桿件拉(壓壓)時(shí)橫截面上的內(nèi)力的作用線與桿的時(shí)橫截面上的內(nèi)力的作用線與桿的軸線重合，稱為軸力。軸線重合，稱為軸力。 當(dāng)軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時(shí)，當(dāng)軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時(shí)，軸力為正；反之，軸力為負(fù)。軸力為正；反之，軸力為負(fù)。 （2軸力圖軸力圖 用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以用平行于桿軸線

51、的坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示軸力的數(shù)值，繪出軸力垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示軸力的數(shù)值，繪出軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，即為軸力圖。與橫截面位置關(guān)系的圖線，即為軸力圖。 2. 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力和內(nèi)力圖桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力和內(nèi)力圖（1扭轉(zhuǎn)外力偶矩的計(jì)算公式扭轉(zhuǎn)外力偶矩的計(jì)算公式MeNm=9549 min/ rkWnP 式中，式中，Me為軸所受的外力偶矩，單位為為軸所受的外力偶矩，單位為Nm；P為軸傳遞的功率，單位為為軸傳遞的功率，單位為kW；n為軸為軸的轉(zhuǎn)速，單位為的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。 （2扭矩扭矩 桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上存在一個(gè)內(nèi)力偶矩，桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上存在一個(gè)內(nèi)力偶矩，稱為扭矩。按右手螺旋法則，讓四個(gè)指頭與扭稱為扭矩。按右手螺旋法則，讓四個(gè)指頭與扭矩矩T的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向(即扭矩即扭矩T的方向的方向)與截面的外法線方向一致時(shí)，扭矩與截面的外法線方向