分子點群與群論初步

1、第第 5 章章分子點群與群論初步分子點群與群論初步5.1.1 群的定義群的定義由有限個或無限個元素組成一個集合由有限個或無限個元素組成一個集合 G，若，若 G 能滿能滿足下列四個條件，它就是一個足下列四個條件，它就是一個群群。(1) 封閉性封閉性：集合：集合 G 中任意兩個元素中任意兩個元素 A、B 用規(guī)定的用規(guī)定的運算所得出的組合運算所得出的組合 AB (或稱為或稱為 A 與與 B 的乘積的乘積) 也必也必須是須是 G 中的一個元素，即若中的一個元素，即若AGBGABG則必須有則必須有注意：注意：這里這里 A 與與 B 也可以是同一個元素。所謂規(guī)定也可以是同一個元素。所謂規(guī)定的運算可以是相乘

2、的運算可以是相乘、相加或其它的一種運算。這種運相加或其它的一種運算。這種運算不一定是可對易的。群中的元素可以是數(shù)字，也可算不一定是可對易的。群中的元素可以是數(shù)字，也可以是矩陣以是矩陣、對稱操作對稱操作、置換等等。置換等等。5.1 群的概念群的概念(2) 結(jié)合律結(jié)合律：三個元素組合時，其結(jié)果與組合的順序：三個元素組合時，其結(jié)果與組合的順序無關(guān)，即無關(guān)，即 (AB)C = A(BC)(3) 恒等元素恒等元素：G 中必須有一個元素中必須有一個元素 E，它與，它與 G 中任中任何一個元素何一個元素 A 的組合等于的組合等于 A，即，即() EAAEAAGE 稱為恒等元素或單位元素。稱為恒等元素或單位元

3、素。(4) 逆元素逆元素：在 G 中，對于任何一個元素中，對于任何一個元素 A，必須有，必須有它的逆元素它的逆元素 A1，A1 也是也是 G 中的一個元素，它滿足中的一個元素，它滿足下列式子下列式子11 AAA AE舉例舉例 (1) 由由 0 和所有的正和所有的正、負(fù)整數(shù)組成的集合，對于負(fù)整數(shù)組成的集合，對于普通的初等代數(shù)普通的初等代數(shù)加法而言，是一個群。其中加法而言，是一個群。其中 0 是恒等是恒等元素，任何正數(shù)元素，任何正數(shù) n 的逆元素是的逆元素是 n。 (2) 除除 0 以外的全體實數(shù)，對于普通的初等代數(shù)以外的全體實數(shù)，對于普通的初等代數(shù)乘法而言，組成一個群。單位元素是乘法而言，組成一

4、個群。單位元素是 1。 (3) 立正立正、向后轉(zhuǎn)向后轉(zhuǎn)、向左轉(zhuǎn)和向右轉(zhuǎn)，對于連續(xù)向左轉(zhuǎn)和向右轉(zhuǎn)，對于連續(xù)進行兩個動作而言，組成一個群。其中立正為恒等元進行兩個動作而言，組成一個群。其中立正為恒等元素。素。 (4) 三個對稱操作三個對稱操作 組成一個群。組成一個群。E 是群是群中的單位元素，中的單位元素， 和和 互為逆元素?；槟嬖亍?33, CCE233 CC (5) 下列四個矩陣組成一個群下列四個矩陣組成一個群1001100110011001其中第一個矩陣是單位元素，每個矩陣的逆元素就是其中第一個矩陣是單位元素，每個矩陣的逆元素就是它本身。它本身。 若一個群中元素的個數(shù)是有限的，則稱它為若

5、一個群中元素的個數(shù)是有限的，則稱它為有限有限群群，其中所含元素的個數(shù)稱為該群的，其中所含元素的個數(shù)稱為該群的階階，常用，常用 h 表示。表示。包含無窮多個元素的群稱為包含無窮多個元素的群稱為無限群無限群。若群中的任意兩。若群中的任意兩個元素個元素 A 和和 B 是可對易的，即是可對易的，即 AB = BA，則該群稱為，則該群稱為對易群對易群或或 Abel 群群。5.1.2 子群、相似變換、共軛元素和類子群、相似變換、共軛元素和類 子群子群：如果在群如果在群 G 之中的一部分元素的集合也是之中的一部分元素的集合也是一個群，那么后者就稱為前者的子群。即若一個群，那么后者就稱為前者的子群。即若12n

6、G = h , h , , h , x, y, z, 而而 G 中一部分元素的集合中一部分元素的集合12nH = h , h , , h也構(gòu)成群時，也構(gòu)成群時，H 叫做叫做 G 的子群，并表示為的子群，并表示為H G例如，在例如，在 C3v 群中有六個元素群中有六個元素233, , , , , vvvE CC其中其中 三個元素構(gòu)成一個群三個元素構(gòu)成一個群(C3群群)，E 與任意與任意一個一個 v 也構(gòu)成一個群也構(gòu)成一個群(Cs 群群)，這些群都是，這些群都是 C3v 群的子群的子群。此外單位元素群。此外單位元素 E 總是單獨地構(gòu)成一個一階子群。總是單獨地構(gòu)成一個一階子群?？梢宰C明，群的階數(shù)總能

7、被它的任何子群的階數(shù)整除?？梢宰C明，群的階數(shù)總能被它的任何子群的階數(shù)整除。233, , E CC共軛、類共軛、類設(shè)群設(shè)群 G 為為若其中三個元素若其中三個元素 A、B、X 之間存在著如下的關(guān)系之間存在著如下的關(guān)系, , , GA B CX Y Z1 AXBX XABX或或則稱則稱 A 與與 B 共軛共軛共軛元素具有以下性質(zhì)共軛元素具有以下性質(zhì)(1) 每個元素與其自身共軛每個元素與其自身共軛，即若在，即若在 G 中任選一個元中任選一個元素素 A，則至少能在，則至少能在 G 中找到一個元素中找到一個元素 Y，使，使1 AYAY成立成立(2) 若若 A 與與 B 共軛，則共軛，則 B 必定與必定與

8、A 共軛共軛，即若，即若1 AXBX成立，則成立，則 也成立也成立1 BZAZ(3) 若若 A 與與 B 共軛，共軛，B 與與 C 共軛，則共軛，則 A 與與 C 共軛共軛在一個群中，相互共軛的元素的一個完整集合稱為一在一個群中，相互共軛的元素的一個完整集合稱為一個個共軛類共軛類或簡稱為或簡稱為類類若群中有一個元素若群中有一個元素 A，設(shè)，設(shè) X 為群中的任意一個元素，則為群中的任意一個元素，則 是是 A 的同類元素。將的同類元素。將 X 取遍群中所有的元素，取遍群中所有的元素，即可得出與即可得出與 A 為同一類的所有元素。為同一類的所有元素。1XAX例如：例如：C3v 群元素中，群元素中，

9、為一類，為一類， 為一類，為一類， 為一類。為一類。 E233,C C,vvv 112123333333333, () E C ECC C CCCC CC333121212333, vvvvvvCCCCCC推論推論(1) 群中兩個不同的類不能包含任何共同的元素群中兩個不同的類不能包含任何共同的元素(2) 若若 A，B，C， 是同一類中的元素，且是同一類中的元素，且 An = E，則這里這里 n 稱為稱為 A，B，C 等元素的周期。等元素的周期。(3) 在任何一個群中，單位元素在任何一個群中，單位元素 E 總是單獨構(gòu)成一類總是單獨構(gòu)成一類(4) 在對易群中，每一個元素都單獨構(gòu)成一類在對易群中，每

10、一個元素都單獨構(gòu)成一類, nnBE CE注意注意類和子群是兩個不同的概念。一個類中的元素通常并類和子群是兩個不同的概念。一個類中的元素通常并不構(gòu)成一個群不構(gòu)成一個群( E 單獨構(gòu)成的類除外單獨構(gòu)成的類除外)。這是因為它們。這是因為它們之中通常不包含單位元素之中通常不包含單位元素 E，故不符合群的條件。而，故不符合群的條件。而子群本身是一個群，而且不同的子群必定都包含一個子群本身是一個群，而且不同的子群必定都包含一個共同的元素共同的元素 E。 同構(gòu)與同態(tài)同構(gòu)與同態(tài)設(shè)有兩個具有相同的階的群設(shè)有兩個具有相同的階的群 G 和和 G1212, mmGE AAAGEBBB它們的元素之間一一對應(yīng)，并有相同的

11、乘法表它們的元素之間一一對應(yīng)，并有相同的乘法表(即若即若 Ai 與與 Bi 對應(yīng)，對應(yīng)，Ak 與與 Bk 對應(yīng)，則對應(yīng)，則 AiAk 與與 BiBk 對應(yīng)對應(yīng))，我們稱我們稱 G 和和 G 同構(gòu)同構(gòu)。(i, k = 1, 2, , m)注意注意：兩個群同構(gòu)，它們不一定是同一種群。例如，：兩個群同構(gòu)，它們不一定是同一種群。例如，一個點群可以和一個矩陣群同構(gòu)。一個點群可以和一個矩陣群同構(gòu)。例：右邊三個群同構(gòu)例：右邊三個群同構(gòu)234444, CE CCC41,1, , Uii, G 兩個不同階的群不能成為兩個不同階的群不能成為同構(gòu)群同構(gòu)群，但有可能成為，但有可能成為同態(tài)群同態(tài)群。設(shè)有兩個群設(shè)有兩個群

12、 G 和和 G，G 的階大于的階大于 G 的階。若的階。若 G 中中任一元素都和任一元素都和 G 中幾個元素相對應(yīng)，并且有下列性中幾個元素相對應(yīng)，并且有下列性質(zhì)質(zhì)若若12 iiAAiB12 kkAAkB則則lmikikA AB B表示 中的任何一個表示 中的任何一個1212, lmiiikkkAA AAAA這樣就稱這樣就稱 G 和和 G 同態(tài)同態(tài)。直接乘積直接乘積有兩個群有兩個群112, imGE AAAA212, jkGE BBBB如果它們的元素彼此相乘的意義是明確的，并且還滿如果它們的元素彼此相乘的意義是明確的，并且還滿足下列條件足下列條件 ijjiABB A121212, imjkGGG

13、E AAAAE BBBB即即 G1 中的任一元素和中的任一元素和 G2 中的任一元素互相對易，則中的任一元素互相對易，則可定義一個更大的群可定義一個更大的群 G，稱，稱 G 為為 G1 和和 G2 的直接乘的直接乘積，表示為積，表示為G 中包含中包含 G1 和和 G2 中所有元素以及所有的中所有元素以及所有的 AiBj。顯然，按照子群的定義，顯然，按照子群的定義，G1 和和 G2 都是都是 G 的子群。的子群。5.1.3 群的乘法表群的乘法表 若一個有限群的階為若一個有限群的階為 h，群的乘法表由，群的乘法表由 h 行和行和 h 列所組成，每一列和每一行用一個群元素標(biāo)明。表中列所組成，每一列和

14、每一行用一個群元素標(biāo)明。表中所列出的每個元素都是它所在的行和列的領(lǐng)頭元素的所列出的每個元素都是它所在的行和列的領(lǐng)頭元素的組合組合(乘積乘積)。由于交換律往往不滿足，習(xí)慣上規(guī)定把。由于交換律往往不滿足，習(xí)慣上規(guī)定把列元素放在前面，把行元素放在后面，即在標(biāo)有列元素放在前面，把行元素放在后面，即在標(biāo)有 x 的的列和標(biāo)有列和標(biāo)有 y 的行的交叉點上找到的元素是的行的交叉點上找到的元素是 xy 的乘積的乘積。 乘法表的重排定理乘法表的重排定理：在群的乘法表的每一行或：在群的乘法表的每一行或每一列，每個元素都出現(xiàn)一次而且只能出現(xiàn)一次。每一列，每個元素都出現(xiàn)一次而且只能出現(xiàn)一次。舉例舉例二階群二階群 G2三

15、階群三階群 G3E A BE E A BA AE A BE E A BA A E AB B A EB BAA = E, BB =EE A BE E A BA A BB B AAA = B, BB = AE A BE E A BA A B EB B E AAB = BA = EE A BE E A BA A EB B E BA = A, AB = AE AE E AA A E四階群四階群 G4E A B CE E A B CA A B C EB B C E AC C E A BE A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A EC3v 群的乘法表群的乘法表C3v

16、：,233cbaCCE對稱性對稱性體系包含若干等同部分，這些部分相對體系包含若干等同部分，這些部分相對( (對等，對應(yīng)對等，對應(yīng)) )而相稱而相稱( (適合，相當(dāng)適合，相當(dāng)) )，這些部分能經(jīng)過不改變其內(nèi)部，這些部分能經(jīng)過不改變其內(nèi)部任何兩點間距離的對稱操作所復(fù)原任何兩點間距離的對稱操作所復(fù)原。對稱性的本質(zhì)：對稱性的本質(zhì)：不變性不變性5.2 對稱操作與對稱元素對稱操作與對稱元素自然界中的對稱自然界中的對稱對稱性在化學(xué)中的意義對稱性在化學(xué)中的意義1）簡明表達(dá)分子構(gòu)型和晶體結(jié)構(gòu)；簡明表達(dá)分子構(gòu)型和晶體結(jié)構(gòu)；2）簡化分子構(gòu)型的測定工作，減少計算量；簡化分子構(gòu)型的測定工作，減少計算量；3）幫助正確了解

17、分子和晶體性質(zhì)；幫助正確了解分子和晶體性質(zhì)；4）指導(dǎo)化學(xué)合成工作。指導(dǎo)化學(xué)合成工作。對稱操作是一種動作，通過這種動作使物體或?qū)ΨQ圖對稱操作是一種動作，通過這種動作使物體或?qū)ΨQ圖形復(fù)原。換句話說，假如我們記下物體在完成一個動形復(fù)原。換句話說，假如我們記下物體在完成一個動作前后的位置和取向，若這兩個位置和取向是不可區(qū)作前后的位置和取向，若這兩個位置和取向是不可區(qū)分的話，這種動作就是分的話，這種動作就是對稱操作對稱操作。對稱操作所賴以進。對稱操作所賴以進行的幾何要素行的幾何要素(點點、線線、面等面等)稱為稱為對稱元素對稱元素。對稱操。對稱操作和對稱元素通常用同一個符號來表示，如作和對稱元素通常用同一

18、個符號來表示，如 Cn 既表示既表示旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 360/n 這個動作，又表示這個動作，又表示 n 重旋轉(zhuǎn)軸；重旋轉(zhuǎn)軸； 既表示既表示反映這個動作，又表示鏡面這個對稱元素；反映這個動作，又表示鏡面這個對稱元素；Sn 既表示既表示旋轉(zhuǎn)反映操作，又表示旋轉(zhuǎn)反映操作，又表示 n 重映轉(zhuǎn)軸。而反演操作和對重映轉(zhuǎn)軸。而反演操作和對稱中心則用稱中心則用 i 表示。表示。分子對稱性的對稱元素與對稱操作分子對稱性的對稱元素與對稱操作對稱元素對稱元素對稱操作對稱操作名稱名稱符號符號n重旋轉(zhuǎn)軸重旋轉(zhuǎn)軸Cn繞軸旋轉(zhuǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)對稱面對稱面反映反映對稱中心對稱中心i反演反演映轉(zhuǎn)軸映轉(zhuǎn)軸Sn旋轉(zhuǎn)反映旋轉(zhuǎn)反映(繞軸旋轉(zhuǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)

19、后再經(jīng)垂后再經(jīng)垂直于軸的平面反映直于軸的平面反映)360n360n 由對稱操作構(gòu)成的群稱為由對稱操作構(gòu)成的群稱為分子對稱點群分子對稱點群，因為這，因為這時所有的對稱元素都通過一個點，這一點在所有對稱時所有的對稱元素都通過一個點，這一點在所有對稱操作作用下都是不變的。對于分子來說，這一點實際操作作用下都是不變的。對于分子來說，這一點實際上就是分子的質(zhì)心。上就是分子的質(zhì)心。對稱點群分類對稱點群分類(1) Cn 群群只有一個只有一個 n 重旋轉(zhuǎn)軸，繞軸可以有重旋轉(zhuǎn)軸，繞軸可以有 n 個不同的旋轉(zhuǎn)操個不同的旋轉(zhuǎn)操作，組成一個對易群，稱為作，組成一個對易群，稱為 Cn 群，它包含的群元素為群，它包含的群

20、元素為21, nnnnnCE CCCCn 群的階數(shù)等于群的階數(shù)等于 n。由于每個群元素都互相對易，。由于每個群元素都互相對易，因此每個元素自成一類，共有因此每個元素自成一類，共有 n 類類5.3 對稱點群對稱點群Cn 群舉例：群舉例：C1 沒有任何對稱元素的分子所屬沒有任何對稱元素的分子所屬 的點群，如的點群，如 CHFClBrC2 H2O2C3 既非重疊式又非既非重疊式又非 交叉式的交叉式的CH3CCl3(2) Cnv 群群分子中除有一個分子中除有一個 n 重旋轉(zhuǎn)軸外，通過對稱軸還有重旋轉(zhuǎn)軸外，通過對稱軸還有 n 個個對稱面。對稱面。Cnv 群包含群包含 2n 個群元素，即個群元素，即21(

21、1)(2)( ), nnnvnnnvvvCE CCC除了除了 C2v 群是對易群外，其它的群是對易群外，其它的 Cnv 群都不是對易群。群都不是對易群。舉例：舉例：C2v H2O、HCHO、CH2X2 、O3 、菲等菲等 C3v NH3、CHCl3、CH3Cl 等等C4v BrF5C5v Ti(C5H5)Cv 沒有對稱中心的線型分子，如沒有對稱中心的線型分子，如 HX、CO、N2O 等等 (3) Cnh 群群分子中除有一個分子中除有一個 n 重旋轉(zhuǎn)軸外，垂直于對稱軸還有一重旋轉(zhuǎn)軸外，垂直于對稱軸還有一個對稱面?zhèn)€對稱面 h。因為。因為 hCn = Sn，所以就必須帶來，所以就必須帶來 (n1)個

22、映轉(zhuǎn)對稱操作。個映轉(zhuǎn)對稱操作。Cnh 群包含群包含 2n 個群元素，即個群元素，即211, nnnhnnnhhnhnCE CCCCC當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時，存在對稱中心為偶數(shù)時，存在對稱中心 i，因為，因為/222 nhnhCCSi舉例：舉例：C1h(Cs) 除除 外，沒有其它對稱元素，如外，沒有其它對稱元素，如 NOCl、HN3 等等 C2h 反式二氯乙烯反式二氯乙烯、反式丁二烯、反式丁二烯、N2F2Cnh 群實際是群實際是 Cn 群和群和 C1h 群的直接乘積群的直接乘積(4) Dn 群群分子中除有一個分子中除有一個 n 重旋轉(zhuǎn)軸重旋轉(zhuǎn)軸(主軸主軸)外，垂直于外，垂直于 Cn 軸還軸還有有 n

23、 個二重軸個二重軸 C2，用用 表示。表示。Dn 群共群共有有 2n 個群元素，即個群元素，即21(1)(2)( )222, nnnnnnDE CCCCCC(1)(2)( )222, nCCCDn 群和群和 Cnv 群是同構(gòu)的，只要把群是同構(gòu)的，只要把 和和 對應(yīng)起來即對應(yīng)起來即可可( i = 1, 2, , n)。( )2iC( ) iv舉例：舉例：D3 既非重疊式又非交叉式的乙烷既非重疊式又非交叉式的乙烷(5) Dnh 群群在在 Dn 的基礎(chǔ)上，垂直于的基礎(chǔ)上，垂直于 n 重對稱軸再加一個對稱面重對稱軸再加一個對稱面h，從而自然地得到從而自然地得到 n 個通過個通過 C2 的對稱面的對稱面

24、 v。Dnh 是是Dn 和和 C1h 的直接乘積，包括的直接乘積，包括 4n 個群元素，即個群元素，即 21(1)(2)( )22221(1)(2)( ), nnnnnnhnhhnnhnhnnvvvE CCCCCCDCSCC當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， ，存在對稱中心，存在對稱中心 /222 nhnhCCSi舉例：舉例：D2h 乙烯乙烯、萘、蒽萘、蒽、N2O4D3h BF3、PCl5、 、 、重疊式乙烷重疊式乙烷D4h 、XeF4D5h 、重疊型的二茂鐵重疊型的二茂鐵、IF7、UF7D6h C6H6Dh H2、X2 、 CO2 、 CHCH23CO24PtCl55C H3NO(6) Dnd

25、群群在在 Dn 的基礎(chǔ)上，通過的基礎(chǔ)上，通過 n 重對稱軸同時又通過兩個副軸重對稱軸同時又通過兩個副軸夾角的平分線再加一個對稱面夾角的平分線再加一個對稱面d，從而自然地得到，從而自然地得到 n 個個d。Dnd 共有共有 4n 個群元素，即個群元素，即 21(1)(2)( )222(1)(2)( )35212222, nnnnnndndddnnnnnE CCCCCCDSSSS當(dāng)當(dāng) n 為奇數(shù)時，有為奇數(shù)時，有 ，2nnS222 nnnnhhSCCi即有對稱中心。因此，當(dāng)即有對稱中心。因此，當(dāng) n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，Dnd 就是就是 Dn 和和 Ci 的直接乘積。的直接乘積。Dnd 群舉例：群舉

26、例：D2d 丙二烯丙二烯、B2Cl4D3d 交叉式乙烷、椅式環(huán)己烷交叉式乙烷、椅式環(huán)己烷D4d S8D5d 交叉式的二茂鐵交叉式的二茂鐵對于映軸對于映軸 Sn 有有Sn Cn/2 + i n 個操作個操作 n 為偶數(shù)但不是為偶數(shù)但不是 4 的倍數(shù)的倍數(shù) Cn + h 2n 個操作個操作 n 為為奇數(shù)奇數(shù)Sn n 個操作個操作 n 為為 4 的倍數(shù)的倍數(shù)(7) Sn 群群分子中只包含一個映轉(zhuǎn)軸的點群，分子中只包含一個映轉(zhuǎn)軸的點群，n 個群元素為個群元素為21, nnnnnSE SSS因此，因此，Sn 僅當(dāng)僅當(dāng) n 為偶數(shù)時存在，為偶數(shù)時存在，n 為奇數(shù)時它恒等于為奇數(shù)時它恒等于 Cnh。1112

27、 hvsiSCCCSC交叉式交叉式 CHClBrCHClBr(8) 四面體群四面體群 T 群群 分子中存在四個分子中存在四個 C3 軸和三個軸和三個 C2 軸，共有軸，共有12個群元素，即個群元素，即 Th 群群 在在 T 群的基礎(chǔ)上，垂直于二重軸引入一個群的基礎(chǔ)上，垂直于二重軸引入一個對稱面，得到對稱面，得到 Th 群，包含群，包含 24 個群元素個群元素(1)(2)(3)(1)(2)22233(3)(4)2(1)2(2)2(3)2(4)333333;,;,;, E CCCCCTCCCCCC2533266, 4, 4, 3, , 4, 4, 3 hhTECCCiSS Td 群群 在在 T 群

28、的基礎(chǔ)上，引入一個通過一個二重群的基礎(chǔ)上，引入一個通過一個二重軸平分另外兩個二重軸的對稱面軸平分另外兩個二重軸的對稱面 d，產(chǎn)生六個，產(chǎn)生六個 d，同時又出現(xiàn)三個四重映轉(zhuǎn)軸同時又出現(xiàn)三個四重映轉(zhuǎn)軸 S4，得到，得到 Td 群，共有群，共有 24個群元素，即個群元素，即 (1)(2)(3)222(1)2(1)(2)2(2)(3)2(3)(4)2(4)33333333(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)3(1)(2)3(2)(3)3(3)444444, , dddddddECCCTCCCCCCCCSSSSSS舉例：具有舉例：具有 T 或或 Th 點群的分子很少，具有正四面體點群的分子很少，具

29、有正四面體構(gòu)型的構(gòu)型的 AB4 型分子或離子都屬于型分子或離子都屬于 Td 點群。點群。(9) 立方體群立方體群( O 和和 Oh 群群)凡是具有正八面體構(gòu)型的凡是具有正八面體構(gòu)型的 AB6 型分子或離子，如型分子或離子，如SF6、UF6、 、 等均屬于等均屬于Oh 群群。26PtCl33 6Co(NH )O 群群有三個互相垂直的有三個互相垂直的 C4 軸軸、四個四個 C3 軸和六個軸和六個 C2 軸，包含軸，包含 24 個群元素，分為個群元素，分為 5 類，即類，即2324; 3; 8; 6; 6 OECCCC把把 O 群中的群中的 C4 換作換作 S4， 換作換作 ，就得到，就得到 Td

30、群。群。實際上，實際上， O 群和群和 Td 群同構(gòu)。群同構(gòu)。( )2iC( ) id在在 O 群的基礎(chǔ)上，引入垂直于群的基礎(chǔ)上，引入垂直于 C4 的的 h 就得到就得到 Oh 群，群，它是它是 O 群和群和 Ci 群的直接乘積，包含群的直接乘積，包含 48 個群元素，除了個群元素，除了 O 群的群的 24 個元素外，還有個元素外，還有(1) i(2) 6S4 因為因為hC4 = S4，所以，所以 6C4 生成生成 6S4。(3) 3h 三個四重軸形成三個三個四重軸形成三個 h。(4) 8S6 因為因為 iC3 = ，所以，所以 8C3 生成生成 8S6。(5) 6d 通過六個通過六個 有六個

31、有六個 d。這樣一共有這樣一共有 48 個群元素，包括個群元素，包括 10 個類。立方體也屬于個類。立方體也屬于Oh 群，單獨的群，單獨的 O 群在分子結(jié)構(gòu)中很少見。群在分子結(jié)構(gòu)中很少見。56S56S2C分子點群的判別分子點群的判別OhC4vC4vD3dD2hD2dD5hC2v5.4 矩陣表示和特征標(biāo)矩陣表示和特征標(biāo)對稱操作的矩陣表示對稱操作的矩陣表示在一定的坐標(biāo)系下，對物體進行對稱操作使得其對應(yīng)在一定的坐標(biāo)系下，對物體進行對稱操作使得其對應(yīng)的坐標(biāo)發(fā)生改變，對這種坐標(biāo)的變化關(guān)系，可以使用的坐標(biāo)發(fā)生改變，對這種坐標(biāo)的變化關(guān)系，可以使用矩陣來描述。矩陣來描述。xyzP(x2, y2, z2)P(x

32、1, y1, z1)x1y1z1211 112113 1221 122123 1231 132133 1xR xR yR zyR xR yR zzR xR yR z211121311221222311231323311xRRRxxyRRRyR yzRRRzz(1) 旋轉(zhuǎn)操作旋轉(zhuǎn)操作選擇三維空間某點選擇三維空間某點 P(x, y, z)，取取 z 軸為旋轉(zhuǎn)軸，軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)操旋轉(zhuǎn)操作作 R 作用在作用在 P(x, y, z)上，產(chǎn)生一個新點上，產(chǎn)生一個新點 P(x , y, z)，假假設(shè)沿逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為設(shè)沿逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為，可得：，可得：cossinsincosxxyyxyzz coss

33、in0sincos0001xxyzyxyzzxyz 表示成矩陣形式：表示成矩陣形式：cossin0sincos0001xxxyR yyzzz 由此可得旋轉(zhuǎn)操作的矩陣表示為由此可得旋轉(zhuǎn)操作的矩陣表示為cossin0sincos0001R2kn例如：求例如：求 的表示矩陣的表示矩陣1422cossin044cos90sin90001022sincos0sin90cos90010044001001001Coooo14C2 2 cossin02 2 sincos0001knkknnkkCnn(2) 反演操作反演操作取對稱中心位于原點取對稱中心位于原點( , , )( ,)(,)iP x y zP x

34、y zPxyz 可得：可得：因此，反演操作的表示矩陣為：因此，反演操作的表示矩陣為：xxyyzz 100010001i(3) 反映操作反映操作取鏡面為取鏡面為 xy 平平面并通過原點面并通過原點, , , ,xyP x y zPx y zP x yz可得：可得：xxyyzz 因此，反映操作因此，反映操作 xy 的表示矩陣為：的表示矩陣為：100010001xy同理可得：同理可得：100010001xz100010001yz(4) 旋轉(zhuǎn)反映操作旋轉(zhuǎn)反映操作取取 z 軸為旋轉(zhuǎn)軸，鏡面軸為旋轉(zhuǎn)軸，鏡面為 xy 面并通過原點面并通過原點kkknxynSC當(dāng)當(dāng) k 偶數(shù)偶數(shù)2 2 cossin02 2

35、sincos0001kknnkknnkkSCnn當(dāng)當(dāng) k 奇數(shù)奇數(shù)2 2 cossin01002 2 010sincos00010012 2 cossin02 2 sincos0001kknxynkknnkkSCnnkknnkknn例例 S4 操作矩陣操作矩陣 ( (z 軸為旋轉(zhuǎn)軸軸為旋轉(zhuǎn)軸) )412334444244,hhSC SC SCSE14cos(2 /4)sin(2 /4)0010sin(2 /4)cos(2 /4)0100001001S4334100cos270sin2700010sin270cos2700001001100010010010100100001001001=hSC

36、 oooo群表示的定義群表示的定義 對稱操作可以用矩陣來表示，因而在任何一個點群對稱操作可以用矩陣來表示，因而在任何一個點群中，所有的群元素都可以用矩陣來表示。如果選定一種中，所有的群元素都可以用矩陣來表示。如果選定一種基，一個點群中所有元素都有相應(yīng)的表示矩陣，這些矩基，一個點群中所有元素都有相應(yīng)的表示矩陣，這些矩陣也構(gòu)成一個群，它和這個點群必定是陣也構(gòu)成一個群，它和這個點群必定是同構(gòu)或同態(tài)同構(gòu)或同態(tài)的。的。這樣一個矩陣群就是這個點群的這樣一個矩陣群就是這個點群的表示表示。 欲求某點群的群表示必須首先確定對稱操作作用的欲求某點群的群表示必須首先確定對稱操作作用的對象，即群表示的對象，即群表示的

37、基基(或基底或基底)，它可以是，它可以是矢量矢量、函數(shù)函數(shù)、原子坐標(biāo)原子坐標(biāo)、原子軌道原子軌道等。由于所選擇的基不同，每個點等。由于所選擇的基不同，每個點群可以有多種群表示。群可以有多種群表示。例例1：C2v 點群一維點群一維、二維、三維表示的集合二維、三維表示的集合基函數(shù)基函數(shù)群群 表表 示示EC2xzyz(x)(y)(z)(x, y)(x, y, z)1111111111111000100011000100011000100011000100011001100110011001例例2：C3v 點群的三維表示點群的三維表示將將 C3 軸定位于軸定位于 Z 軸，軸， 鏡面與鏡面與 YZ 平面重

38、合，那么平面重合，那么 的表示矩陣依次為：的表示矩陣依次為：2(1)33, vE CC(1)v100010001E313220cossin022332231sincos003322001001C231302231022001C (1)100010001v根據(jù)根據(jù) C3v 的乘法表的乘法表 可得：可得：(2)(1)2(3)(1)33, vvvvCC(2)13130022221003131010002222001001001v (3)13130022221003131010002222001001001v5.5 可約表示與不可約表示可約表示與不可約表示 原則上講，可以選擇到點群的無窮多組基，從而原

39、則上講，可以選擇到點群的無窮多組基，從而得到無窮多個群表示。然而，在這無窮多個群表示中得到無窮多個群表示。然而，在這無窮多個群表示中只有少數(shù)幾個只有少數(shù)幾個不等價不等價、不可約表示不可約表示能夠反映群的本質(zhì)，能夠反映群的本質(zhì)，其余均是其余均是等價的等價的、可約的可約的。 則稱這兩個群表示則稱這兩個群表示等價等價，否則為，否則為不等價不等價?？梢宰C明，等價。可以證明，等價表示的對應(yīng)矩陣的表示的對應(yīng)矩陣的跡跡(對角元素之和對角元素之和)相等，反之也可證明，如相等，反之也可證明，如果兩個維數(shù)相同的群表示所有對應(yīng)矩陣的跡都相等，則兩個群果兩個維數(shù)相同的群表示所有對應(yīng)矩陣的跡都相等，則兩個群表示等價。后

40、者可以作為兩個群表示是否等價的簡單判據(jù)。表示等價。后者可以作為兩個群表示是否等價的簡單判據(jù)。1 等價表示與不等價表示等價表示與不等價表示 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 E、A、B、C 是點群的某基下的表示矩陣，是點群的某基下的表示矩陣， E、A、B、C 是另一基下同一點群是另一基下同一點群的表示矩陣，如果存在矩陣的表示矩陣，如果存在矩陣 D 及其逆矩陣及其逆矩陣 D1，使得下式，使得下式(相似變換相似變換)均成立均成立1111 ED ED AD AD BD BD CD CD1111 EDE DADA DBDB DCDC D或或2 可約表示與不可約表示可約表示與不可約表示 若點群的表示矩陣若點群的表示矩陣 E、

41、A、B、C 都是相同類型的對角方都是相同類型的對角方塊矩陣塊矩陣(方塊外的其它矩陣元為零方塊外的其它矩陣元為零)，即，即12345AAAAAA12345BBBBBB 其中，其中， Ak、Bk、Ck 的階都相同的階都相同( A1、A2、A3 的階不一定的階不一定相同相同)，根據(jù)對角方塊矩陣的乘法規(guī)律，這些矩陣中對應(yīng)的方塊，根據(jù)對角方塊矩陣的乘法規(guī)律，這些矩陣中對應(yīng)的方塊都可以各自相乘，并且符合與大矩陣相同的乘法表，所以每個對都可以各自相乘，并且符合與大矩陣相同的乘法表，所以每個對應(yīng)的方塊都能構(gòu)成群的一個表示。則稱應(yīng)的方塊都能構(gòu)成群的一個表示。則稱表示矩陣表示矩陣 E、A、B、C 為為可約表示可約

42、表示，可以分解為較低維數(shù)矩陣之和，即可以約化為維數(shù)，可以分解為較低維數(shù)矩陣之和，即可以約化為維數(shù)較低的表示。較低的表示。 若表示矩陣若表示矩陣 E、A、B、C 雖然并不是雖然并不是(或者不全或者不全是是)相同類型的對角方塊矩陣，但可以通過相似變換把相同類型的對角方塊矩陣，但可以通過相似變換把這些矩陣全都變成相同類型的對角方塊矩陣，則此表示這些矩陣全都變成相同類型的對角方塊矩陣，則此表示矩陣也是矩陣也是可約表示可約表示。若不能通過相似變換把一個表示的。若不能通過相似變換把一個表示的所有矩陣變成相同類型的對角方塊矩陣，所有矩陣變成相同類型的對角方塊矩陣，則稱此則稱此表示表示 E、A、B、C 為為不

43、可約表示不可約表示。總結(jié)：總結(jié)： (1) 一個群的表示的數(shù)目是無限的，其中有些是一個群的表示的數(shù)目是無限的，其中有些是可約表示，有些是不可約表示?？杉s表示，有些是不可約表示。 (2) 一個群的不可約表示的數(shù)目可能是有限的，一個群的不可約表示的數(shù)目可能是有限的，也可能是無限的。其中，可能有些是等價的。也可能是無限的。其中，可能有些是等價的。 (3) 一個群的不等價不可約表示的數(shù)目是有限的，一個群的不等價不可約表示的數(shù)目是有限的，它們具有特殊的重要性。它們具有特殊的重要性。舉例舉例 C3v 的一個群表示為的一個群表示為3130223102233122C23130223102233122C (3)1

44、30223102233122v(2)130223102233122v (1)100010001v100010001E利用利用 和和 進行相似變換進行相似變換100010101D1100010101D100010001E 31302231()022001C 231302231()022001C (1)100()010001v (2)1302231()022001v (3)1302231()022001v 得到類型相同的對角方塊矩陣，說明該表示可以約化為一得到類型相同的對角方塊矩陣，說明該表示可以約化為一個二維表示和一個一維表示。個二維表示和一個一維表示。5.6 群表示的特征標(biāo)及特征標(biāo)表群表示的特

45、征標(biāo)及特征標(biāo)表 群的可約表示在約化過程中矩陣元的數(shù)值在變，但矩陣的群的可約表示在約化過程中矩陣元的數(shù)值在變，但矩陣的對角元之和對角元之和(矩陣的跡矩陣的跡)始終保持不變，對稱操作的表示矩陣的始終保持不變，對稱操作的表示矩陣的跡稱為跡稱為特征標(biāo)特征標(biāo)，通常用符號，通常用符號 (R) 表示：表示：( )( )iiiRD R( )( )iiiRR或或根據(jù)上述定義可以得出以下推論：根據(jù)上述定義可以得出以下推論： (1) 兩個等價表示的所有特征標(biāo)對應(yīng)相等。兩個等價表示的所有特征標(biāo)對應(yīng)相等。 (2) 在群的任意一個表示中，同一類的各個矩陣的特征標(biāo)在群的任意一個表示中，同一類的各個矩陣的特征標(biāo)均相同。均相同

46、。 (3) 單位矩陣單位矩陣 E 的特征標(biāo)等于表示矩陣的階數(shù)的特征標(biāo)等于表示矩陣的階數(shù)(或稱為表示或稱為表示的維數(shù)的維數(shù))。 群的不可約表示的特征標(biāo)具有特別重要的意義，群的不可約表示的特征標(biāo)具有特別重要的意義，通常把一些重要的點群的不可約表示的特征標(biāo)列成表，通常把一些重要的點群的不可約表示的特征標(biāo)列成表，稱為稱為特征標(biāo)表特征標(biāo)表。例如，。例如， C3v 群的特征標(biāo)表如下：群的特征標(biāo)表如下：C3v E 2C3 3v基基A1A2E 1 1 1 1 1 1 2 1 0zRz(x,y), (Rx, Ry)x2 + y2, z2(x2 y2, xy), (xz, yz)符號說明：符號說明： (1) A

47、或或 B 代表一維表示，代表一維表示，E 代表二維表示，代表二維表示， T 代代表三維表示。表三維表示。 (2) 主軸主軸 Cn 對應(yīng)操作的特征標(biāo)為對應(yīng)操作的特征標(biāo)為 1 和和 1 時，一維時，一維表示分別用表示分別用 A 或或 B 表示。表示。 (3) 垂直于主軸的副軸垂直于主軸的副軸 C2 (或包含主軸的或包含主軸的v)對應(yīng)操對應(yīng)操作的特征標(biāo)為作的特征標(biāo)為 1 或或 1 時，時，A、B、E、T 的下標(biāo)加上的下標(biāo)加上 1 或或 2。 (4) 對稱操作對稱操作 i 的特征標(biāo)為的特征標(biāo)為 1 或或 1 時，上述符號的時，上述符號的下標(biāo)加上下標(biāo)加上 g 或或 u 。 (5) 對稱操作對稱操作 h

48、的特征標(biāo)為的特征標(biāo)為 1 或或 1 時，上述符號時，上述符號的上標(biāo)加上的上標(biāo)加上 或或 。廣義正交定理及不可約表示的性質(zhì)廣義正交定理及不可約表示的性質(zhì)廣義正交定理：廣義正交定理：( )( )imnjm nijmmnnRi jhRRll 式中符號的意義是：式中符號的意義是：i第第 i 個不可約表示；個不可約表示；(R)mn操作操作 R 的表示矩陣的第的表示矩陣的第 m 行第行第 n 列的矩陣元；列的矩陣元；li第第 i 個不可約表示的維數(shù)；個不可約表示的維數(shù)；h群的階群的階(即群中元素的數(shù)目即群中元素的數(shù)目)； 對群中元素求和。對群中元素求和。R 意義：意義：在一組不可約表示矩陣中，任意一組來自

49、在一組不可約表示矩陣中，任意一組來自每個矩陣中的對應(yīng)矩陣元的集合，它的行為和每個矩陣中的對應(yīng)矩陣元的集合，它的行為和 h 維空維空間中的向量相同間中的向量相同(每個矩陣元就是向量的分量每個矩陣元就是向量的分量)。所有。所有這些向量都相互正交，并且歸一化為它們的長度平方，這些向量都相互正交，并且歸一化為它們的長度平方，即即h/li。如果把上式寫成以下三個式子，則其含義看起。如果把上式寫成以下三個式子，則其含義看起來更明顯來更明顯(為了簡便起見，以下略去復(fù)共軛記號為了簡便起見，以下略去復(fù)共軛記號，當(dāng)，當(dāng)然如果包含復(fù)數(shù)則必須保留然如果包含復(fù)數(shù)則必須保留)。(1) (若若 i j)這表明選自不同表示矩

50、陣的相應(yīng)矩陣元所組成的向量這表明選自不同表示矩陣的相應(yīng)矩陣元所組成的向量互相正交。以互相正交。以 C3v 為例為例( )( )0imnjmnRRRE 表示表示(R)11：A1 表示表示(R)11：1111(1 1 )2222(1 1 1 1 1 1)1111(1 1 1 () 1 () 1 ( 1) 1 1) 02222 (2) (若若 m m 或或 n n 或同時或同時有有 m m ， n n )這表明若向量選自同一個表示，但來源于不同位置的這表明若向量選自同一個表示，但來源于不同位置的矩陣元，則它們也是正交的。仍以矩陣元，則它們也是正交的。仍以 C3v 為例為例( )( )0imnim n

51、RRR E 表示表示(R)11：E 表示表示(R)12：1111(1 1 )2222131313131 0() ()()( 1) 0()022222222 3333(0 0 )2222(3)這表明選自同一表示同一位置的矩陣元所組成的向量，這表明選自同一表示同一位置的矩陣元所組成的向量，其長度平方等于其長度平方等于 。仍以。仍以 C3v 為例為例( )( ) imnimnRihRRlE 表示表示(R)11：1111(1 1 )222222222211111 () () ( 1) ( ) ( ) 322226 32ihlihl不可約表示及其特征標(biāo)的性質(zhì)：不可約表示及其特征標(biāo)的性質(zhì)：(1) 一個群的

52、不等價一個群的不等價、不可約表示的數(shù)目，等于該群不可約表示的數(shù)目，等于該群中共軛類的數(shù)目。中共軛類的數(shù)目。例如在例如在 C3v 群中，共有三個共軛類，它就有三個不等群中，共有三個共軛類，它就有三個不等價的不可約表示。價的不可約表示。(2) 一個群的所有不等價、不可約表示的維數(shù)一個群的所有不等價、不可約表示的維數(shù) l 的平方的平方和等于該群的階和等于該群的階 h。例如在例如在 C3v 群中，有三個不等價的不可約表示，其中群中，有三個不等價的不可約表示，其中兩個是一維的，一個是二維的，因此維數(shù)的平方和為兩個是一維的，一個是二維的，因此維數(shù)的平方和為22212 iilllh 2221 1 2 6(3

53、) 同一不可約表示的特征標(biāo)的平方和等于該群的階。同一不可約表示的特征標(biāo)的平方和等于該群的階。(4) 由兩個不等價的不可約表示由兩個不等價的不可約表示 i、j 的特征標(biāo)作為分的特征標(biāo)作為分量的向量正交。量的向量正交。(5) 在一個給定的表示在一個給定的表示(可約或不可約的可約或不可約的)中，所有屬于中，所有屬于同一共軛類的對稱操作的表示矩陣的特征標(biāo)恒等同一共軛類的對稱操作的表示矩陣的特征標(biāo)恒等(由于由于共軛矩陣具有相同的跡共軛矩陣具有相同的跡) 。(6) 群的不等價不可約表示中恒等操作的特征標(biāo)等于群的不等價不可約表示中恒等操作的特征標(biāo)等于該表示的維數(shù)。該表示的維數(shù)。2221122( ) () (

54、) iRRRRh ( )( ) 0ijRRR可約表示的約化可約表示的約化任意一個可約表示任意一個可約表示 ，總可找到一個矩陣，總可找到一個矩陣 D，經(jīng)過相，經(jīng)過相似變換，使可約表示似變換，使可約表示 約化成不可約表示約化成不可約表示 i 之和之和iiia其中，其中，ai 是不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)。即可約表示可通過是不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)。即可約表示可通過相似變換約化成幾個不可約表示之和。若知道可約表相似變換約化成幾個不可約表示之和。若知道可約表示示 的特征標(biāo)的特征標(biāo) (R) ，可利用特征標(biāo)表根據(jù)下式求出，可利用特征標(biāo)表根據(jù)下式求出 ai ：1( )( )iiRaRRh5.7 直積表示的特征標(biāo)直積表

55、示的特征標(biāo)設(shè)設(shè) A 是群的一個表示，它是以是群的一個表示，它是以X1, X2, , Xm 為基函數(shù)為基函數(shù)形成的一個形成的一個 m 維表示，維表示， B 是群的另一個表示，它是是群的另一個表示，它是以以Y1, Y2, , Yn 為基函數(shù)形成的一個為基函數(shù)形成的一個 n 維表示，則維表示，則 A 和和 B 的直積的直積 A B 也是群的一個表示，稱為也是群的一個表示，稱為直積直積表示表示，它是一個以，它是一個以111 1121 211212 12222221122, , , , , , , , , , nnnnmmmmmnmnFX YFX YFX YFX YFX YFX YFX YFX YFX

56、Y為基函數(shù)的為基函數(shù)的 (mn) 維表示。維表示。定理：定理：直積直積表示的特征標(biāo)等于表示特征標(biāo)的乘積。表示的特征標(biāo)等于表示特征標(biāo)的乘積。若某個表示是其它兩個特征標(biāo)為若某個表示是其它兩個特征標(biāo)為 1(R) 和和 2(R) 的表示的表示的直積，則其對應(yīng)的特征標(biāo)由下式給出的直積，則其對應(yīng)的特征標(biāo)由下式給出12( )( )( )RRR兩個或多個不可約表示的直積可能仍是一個不可約表示，兩個或多個不可約表示的直積可能仍是一個不可約表示，也可能是一個可約表示。也可能是一個可約表示。5.8 群論與量子力學(xué)群論與量子力學(xué)原子軌道原子軌道(如如 s, px, py, pz, , )可作為不可約表示的基?？勺鳛椴?/p>

57、可約表示的基。在討論分子結(jié)構(gòu)時，不論是構(gòu)成雜化軌道還是分子軌在討論分子結(jié)構(gòu)時，不論是構(gòu)成雜化軌道還是分子軌道，都將由原子軌道線性組合而成，了解各個分子中道，都將由原子軌道線性組合而成，了解各個分子中原子軌道在該分子所屬點群的各種對稱操作下的變換原子軌道在該分子所屬點群的各種對稱操作下的變換性質(zhì)尤為重要。性質(zhì)尤為重要。2dz原子軌道的變換矩陣原子軌道的變換矩陣原子軌道的數(shù)學(xué)表示原子軌道的數(shù)學(xué)表示s( )f rp( )xf r xp( )yf r yp( )zf r z2222d( )()xyf r xyd( )xyf r xyd( )xzf r xzd( )yzf r yz222d( )(3)z

58、f rzr舉例：舉例：C2v 點群對稱操作對點群對稱操作對 H2O 分子的作用分子的作用取取 z 軸為水分子的軸為水分子的 C2 軸，軸，xz 平面和平面和 yz 平面為平面為 和和反映面，在反映面，在 C2v 對稱操作作用下，函數(shù)對稱操作作用下，函數(shù) x, y, z 的變換情的變換情況如下表所示：況如下表所示：vvC2vEC2xyzxyzxyzxyzxyzvv 以中心以中心 O 原子的的原子的的 p 原子軌道為基進行原子軌道為基進行 C2v 群群對稱操作所得的相應(yīng)變換矩陣為：對稱操作所得的相應(yīng)變換矩陣為：100010001E2100010001C100010001v100010001v 若以

59、中心若以中心 O 原子的原子的 d 原子軌道作為基函數(shù)，在原子軌道作為基函數(shù)，在 C2v 群對稱操作下，這些函數(shù)的變換形式如下表：群對稱操作下，這些函數(shù)的變換形式如下表：C2vEC2xyxzyzx2 y23z2 r2xyxzyzx2 y23z2 r2xyxzyzx2 y23z2 r2xyxzyzx2 y23z2 r2xyxzyzx2 y23z2 r2vv對應(yīng)的變換矩陣為：對應(yīng)的變換矩陣為：1000001000001000001000001E21000001000001000001000001C1000001000001000001000001v1000001000001000001000001

60、v C2v 群的特征標(biāo)表群的特征標(biāo)表C2v E C2 v 基基A1A2B1B2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1zRzy, Rxx, Ryx2 y2, z2xyyzxzv因此，以因此，以 O 的的 p 原子軌道為基的原子軌道為基的 C2v 群可約化為：群可約化為：112(p) ABB而以而以 O 的的 d 原子軌道為基函數(shù)的可約表示約化如下：原子軌道為基函數(shù)的可約表示約化如下：1212(d) 2 AABB舉例：舉例：C3v 點群對稱操作對點群對稱操作對 NH3 分子的作用分子的作用取取 z 軸為氨分子的軸為氨分子的 C3 軸，軸，xz 平面為平面為 反映面，反映面