一級(jí)倒立擺MATLAB仿真、能控能觀性分析、數(shù)學(xué)模型、極點(diǎn)配置

1、題目一：考慮如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問題。倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)包括：擺桿的質(zhì)量（擺桿的質(zhì)量在擺桿中心）、擺桿的長度、小車的質(zhì)量、擺桿慣量等。圖 倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件(由干擾引起)時(shí)，最大超調(diào)量d %10%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts 4s ，使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置(x=0)。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點(diǎn)能夠達(dá)到期望的極點(diǎn)，這里所說的期望的極點(diǎn)確定是把系統(tǒng)設(shè)計(jì)成具有兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)，兩個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法

2、進(jìn)行參數(shù)的確定4、用MATLAB 進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，得到設(shè)計(jì)后系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)，繪出相應(yīng)狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)圖。解：1 建立一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.1 系統(tǒng)的物理模型如圖1所示，在慣性參考系下，設(shè)小車的質(zhì)量為M ，擺桿的質(zhì)量為m ，擺桿長度為l，在某一瞬間時(shí)刻擺角(即擺桿與豎直線的夾角)為，作用在小車上的水平控制力為u。這樣，整個(gè)倒立擺系統(tǒng)就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。圖1 一級(jí)倒立擺物理模型1.2 建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為簡(jiǎn)單起見，本文首先假設(shè):(1)擺桿為剛體 ；(2)忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦；( 3) 忽略小車與導(dǎo)軌之間的摩擦。在如圖一所示的坐標(biāo)下，小車的水平位

3、置是y,擺桿的偏離位置的角度是，擺球的水平位置為y+lsin。這樣，作為整個(gè)倒立擺系統(tǒng)來說，在說平方方向上，根據(jù)牛頓第二定律，得到 （1）對(duì)于擺球來說，在垂直于擺桿方向，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，得到 （2）方程(1)，(2)是非線性方程，由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假定很小，接近于零是合理的。則sin，cos1。在以上假設(shè)條件下，對(duì)方程線性化處理后，得倒 （3） （4）對(duì)于（3）（4）兩個(gè)式子聯(lián)立求解，得到 （5） （6）如果選擇位移y、速度、角度和角速度為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，位移y為系統(tǒng)的輸出，控制力u為輸入量，并令x1=y,則得到系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式為： （7-a） （7-

4、b）2 分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是 故 （8-a） （8-b）故而有： A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;2.1 能控性在MATLAB中，輸入 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;Qc=B A*B A*A*B A*A*A*B得到Qc = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11 -1 0 -11 0再輸入 rank(

5、Qc)，得到ans = 4于是系統(tǒng)是能控的。2.2 能觀測(cè)性在MATLAB中，輸入 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;Q0=C;C*A;C*A*A;C*A*A*A;得到Q0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1再輸入rank(Q0)ans = 4于是系統(tǒng)是能觀測(cè)的。2.3 穩(wěn)定性計(jì)算detI-A=0；求得的結(jié)果是1=0；2=0；3=；4=-。因?yàn)榻Y(jié)果不全是負(fù)實(shí)部，故而該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置以及求狀態(tài)反饋陣3.1 狀態(tài)反饋陣極點(diǎn)配置因?yàn)槲覀冎?，該系統(tǒng)的能控性矩

6、陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點(diǎn)。希望的極點(diǎn)為s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。3.2 求狀態(tài)反饋陣在MATLAB中輸入命定A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;-1;P=-6 -6.5 -7 -7.5;K=place(A,B,P)得到計(jì)算結(jié)果為:K=-204.7500 -122.1750 -488.5000 -149.17504 MATLAB程序設(shè)計(jì)利用MATLAB/Simulink構(gòu)造單級(jí)倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如圖所示運(yùn)行仿真程序，得到的仿真曲線如下圖所示從上圖可以看出，可以將倒立

7、擺的桿子控制在與豎直方向偏角=0°的位置。題目二：根據(jù)自身的課題情況，任意選擇一個(gè)被控對(duì)象，按照上題所示步驟進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，并給出仿真程序及其執(zhí)行結(jié)果。解：塑料球漂浮分析 y球風(fēng)向仿真目標(biāo)：小球在空中受重力mg，在豎直向上的風(fēng)中保持漂浮在空中的穩(wěn)定狀態(tài)。1 建模分析小球在風(fēng)向（如圖所示）下保持穩(wěn)定的狀態(tài)。小球質(zhì)量為m，風(fēng)速為，簡(jiǎn)化風(fēng)對(duì)球的阻力正比于相對(duì)速度，比例系數(shù)為f，球下落正向坐標(biāo)為y，輸入u為與風(fēng)速相關(guān)的控制力。數(shù)學(xué)模型：由數(shù)學(xué)模型可知可設(shè)：，,2 控制分析2.1 能控性分析：rank（）=2，系統(tǒng)能控2.2 能觀性分析：rank（）=2，系統(tǒng)能觀2.3 穩(wěn)定性分析：,不全為復(fù)實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定3 求狀態(tài)反饋陣K