向量組的線性相關(guān)性和矩陣的秩練習(xí)題答案

1、第三章 向量組的線性相關(guān)性和矩陣的秩（一）基本要求：（二）內(nèi)容分析和教學(xué)指導(dǎo)（1）從解方程的過程引出所要解決的問題，每個方程對應(yīng)于一個行向量，某個方程可由其它方程表示，則該方程可去掉，為無效方程。這對應(yīng)于討論向量組中是否有某個向量可由其它向量線性表示，即向量的線性相關(guān)性問題。去掉無效方程后的方程求解，需要確定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系數(shù)行列式不等于零的問題（2）向量的線性運算及其性質(zhì)，和矩陣的運算相對應(yīng)。（3）向量線性相關(guān)性的定義和判斷：線性相關(guān)性定義使用于理論證明，把相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為向量方程（即方程組）有無非零解的問題，而等價定義使相關(guān)性的含義更加明確。為了加深相關(guān)性的定義，對

2、與一個向量，兩個向量和三個向量線性相關(guān)的幾何意義加以強(qiáng)調(diào)：單個零向量是線性相關(guān)的，兩個向量相關(guān)是指兩個向量共線，三個向量相關(guān)是共面。通過利用相關(guān)性定義來判斷向量組線性相關(guān)，重點培養(yǎng)學(xué)生的利用概念分析判斷，進(jìn)行邏輯推理的能力。定義理解中的誤區(qū)：（1）定義中的系數(shù)是獨立的，（2）非零組合系數(shù)是相對向量組的，不同向量組對應(yīng)的系數(shù)可能不同，（3）向量組線性相關(guān)則至少有一個向量可以由其它向量線性表示，至于是那一個向量是依賴于具體的向量組，并不是每個向量都可由其它向量變來表示。列向量組的線性相關(guān)性和線性表示的矩陣表示，行向量組線性相關(guān)性和線性表示的矩陣表示。重點是列向量組表示的矩陣形式。（4）相關(guān)表示式的

3、分量形式是理解相關(guān)性定理的基礎(chǔ)和本質(zhì)，一個分量對應(yīng)一個方程，一個向量對應(yīng)一個未知數(shù)。用子式判斷向量的線性相關(guān)性的方法，子式不等于對應(yīng)于只有零解，對應(yīng)于線性無關(guān)，子式等于零對應(yīng)于有非零解，對應(yīng)線性相關(guān)。（5）最大無關(guān)組和矩陣的秩：重點理解矩陣秩的定義和含義，牢固建立矩陣和向量組的對應(yīng)關(guān)系。矩陣的秩等于行向量組的秩，等于列向量組的秩，就是非零子式的最高階數(shù)。掌握最高階非零子式和向量組的最大無關(guān)組之間的對應(yīng)關(guān)系，子式為零對應(yīng)于線性相關(guān)，子式非零對應(yīng)于線性無關(guān)。定理的證明重要的是說明思路，關(guān)鍵是理解并利用結(jié)論進(jìn)行推理證明。重點是利用子式確定矩陣的秩和最大無關(guān)組。（6）初等變換對向量組的影響，初等行變換

4、和化簡方程的對應(yīng)關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)形所保留的信息，（變換不變量是矩陣的秩）?？赡婢仃嚕?）通過簡單的例子說明左乘相當(dāng)于行變換，右乘相當(dāng)于列變換，關(guān)鍵是理解其意義。通過求逆陣的初等變換方法可得到一種解矩陣方程的方法（8）介紹向量空間，子空間的基本概念，對比基和最大無關(guān)組的定義，加深對基和最大無關(guān)組，向量組和向量空間的理解（除零空間外，向量空間是無限的，而向量組可以是有限的）。生成子空間的概念及其生成子空間的表示。（四）習(xí)題指導(dǎo)（習(xí)題3）1 1     設(shè)，求及。2 2     設(shè)，其中，求。3 3  &#

5、160;  設(shè)是m個n維向量，試問：（1） （1）若有m個數(shù)存在，使得 那么是否線性無關(guān)？解：主要考察定義中的“不全為零的一組數(shù)”的理解，若這組數(shù)至少有一個非零，則可判定線性相關(guān)。沒有這一限制是沒有意義的，因為全部取零系數(shù)，不管向量組是什么，上式總是成立的。因此，不能判斷向量組的線性相關(guān)性。（2） （2）若有m個不全為零的數(shù)使得 那么是否線性相關(guān)？解：定義中的組合式是“=”，改為“不等于”則不能說明向量的線性相關(guān)性。（3）若線性相關(guān)，則一定可由線性表示嗎？解：相關(guān)性等價定義中是說：向量組中至少有一個向量可由其它向量線性表示，至于是那一個向量可由其它向量線性表示，則要以來于具體的向量組

6、。不能斷定一定可由線性表示。4 4     設(shè)與都是n維向量，下面的證明是否正確？（1） （1）若向量組線性相關(guān)，向量組線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)，使得 由此推出 于是向量組也線性相關(guān)。解：向量組線性相關(guān)，則存在一組的非零組合系數(shù)，這組組合系數(shù)是依賴于向量組的，不同的向量組其組合系數(shù)可能不一樣。以上證明中就是忽略了這一點，故是錯誤的。（2） （2）若只有當(dāng)時才成立，那么一定線性無關(guān)。解：定義中的組合系數(shù)是獨立的，上式中的系數(shù)不獨立，只能推知是線性無關(guān)的。5 5     將向量表示成的線性組合：（1）解：設(shè)，按分量展

7、開得到 求解得到，即（2）  解：設(shè)，按分量展開得到用Gramer法則或用如下方法簡化可知，即6 6     判斷下列向量組的線性相關(guān)性：（1）解：法一，應(yīng)用定義，設(shè)，即得到方程組，系數(shù)行列式為，不能用Gramer法則，由定理可知存在非零解。事實上，由第一式知，代入其它方程得到 取，得到，故，因此線性相關(guān)。或者由定理知，系數(shù)行列式等于零，則齊次方程組有非零解，故向量組線性相關(guān)。法二、這是三個三維向量，由定理知，向量組線性相關(guān)的充要條件是所組成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事實上，以向量為列所構(gòu)成的行列式為 故向量組線性相關(guān)。（

8、2）法一、用定義，設(shè)，展開方程所構(gòu)成的齊次方程組的系數(shù)行列式不等于零，故只有零解，由定義知線性無關(guān)。法二，以向量為列構(gòu)成的行列式為，故向量組線性相關(guān)。（3） 法一、定義法法二、行列式法，由定理可知個維向量線性相關(guān)的充要條件是向量所構(gòu)成的行列式為零。以向量為行構(gòu)成的行列式為因此向量組是線性無關(guān)的。（4）法一、定義法法二、行列式法，向量所構(gòu)成的行列式是Vandemon行列式，顯然不等于零，故向量組是線性無關(guān)的。 7 7     設(shè)向量，試問：（1） （1）c取何值時，線性相關(guān)？（2） （2）c取何值時，線性無關(guān)？解：解法一、根據(jù)定義，設(shè)，按分量展開

9、得到系數(shù)行列式為根據(jù)Gramer法則知，時，方程組有非零解，線性相關(guān)，時，方程組只有零解，故線性無關(guān)。解法二、考慮由構(gòu)成的行列式 因此，時，線性相關(guān)，時，線性無關(guān)。8 8     設(shè)，證明向量組線性相關(guān)。證明：直接觀察法，由表示式易看出，故線性相關(guān)。（這種方法沒有一般性）根據(jù)線性相關(guān)性的定義證明。設(shè)將代入，得到上式成立的充分條件為方程組對應(yīng)的行列式為 因此有非零解，故向量組線性相關(guān)。 9 9     設(shè)，且線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。（注：本題可推廣到一般的形式，只要表示的系數(shù)矩陣可逆即可）證明：設(shè)&#

10、160;                          將的表示式代入，即因為線性無關(guān)，故有 顯然，或考慮系數(shù)行列式 根據(jù)Gramer法則有故線性無關(guān)。10 10  在秩是r的矩陣中，有沒有等于0的r階子式？有沒有等于0的r-1階子式？解：本題主要考察矩陣秩的概念，在秩是的矩陣中，有一個階的子式不等于零，有可能有階的子式等于

11、零，也可能有等于零的階子式，但不可能所有的階子式等于零。11 11  從矩陣A中劃去一行得到的矩陣B，問A，B的秩的關(guān)系如何？解：考慮的行向量組，則顯然關(guān)于秩有如下關(guān)系：  12 12  求作一個秩是4的方陣，它的兩個行向量是，。解：只需增加三個行向量，使方陣的秩等于4 ,即使某個4階子式不等于零?？紤]13 13  求下列向量組的秩，并求一個最大無關(guān)組：（1）; (2) ; (3) 解：應(yīng)用子式方法，考慮由為行向量構(gòu)造矩陣，因此，最高階非零子式所對應(yīng)的為最大無關(guān)組。注：最大無關(guān)組不是唯一的。14. 設(shè)一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量能由它們線

12、性表示，證明線性無關(guān)。證明：記，已知單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的，故向量組的秩。又由條件知向量組可由線性表示，由定理知，                                         

13、    由于向量組中僅有個向量，故，即向量組線性無關(guān)。15. 設(shè)是一組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量都可由它們線性表示。證明：必要性。設(shè)是線性無關(guān)的，設(shè)為任一維向量，則為(n+1)個維向量，故線性相關(guān)，由結(jié)論知可由線性表示。充分性。分別取，由條件可知，可由線性表示，由上題的結(jié)論知，線性無關(guān)。16設(shè)向量組A與向量組B的秩相等，且A組能由B組線性表示，證明A組與B組等價。證明：設(shè)，設(shè)向量組的最大無關(guān)組為，向量組的最大無關(guān)組為，由條件知，向量組可由向量組線性表示，向量組A的最大無關(guān)組刻有向量組B的最大無關(guān)組線性表示，即有下證為可逆矩陣

14、，用反證法，設(shè)，則設(shè)，即便                                                

15、0;     只需，或，假設(shè)，則方程組有非零解，這與線性無關(guān)矛盾，故知可逆因此 即可由線性表示，因此向量組可由向量組線性表示，即向量組與向量組等價。17設(shè)向量組A：的秩為,向量組B：的秩為，向量組C：的秩為，證明 并利用該結(jié)果證明：18設(shè)向量組B：能由向量A：線性表示為 其中K為矩陣，且A組線性無關(guān)。證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩證明:充分性. 設(shè),將的表示式代入有因為線性無關(guān),故有,即.由條件知,由Gramer法則知只有零解.必要性.記,由條件可知,.因此.又矩陣為矩陣,故.    

16、0;  19求下列矩陣的秩：（1），（2）解：子式法。，考慮三階子式，共有4個，類似地有，故初等變換方法：故（2） 初等變換法：故   20利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組：（1），（2）解：最后的第一、第二、第三（或第四）列向量是列向量組的最大無關(guān)組，因此原列向量組中的第一、第二、第三（或第四）列向量是原列向量組的最大無關(guān)組（2） 故或是列向量組的最大無關(guān)組。21. 設(shè)A與B都是矩陣,證明：矩陣A與B等價的充分必要條件是。證明:與等價的充分必要條件是存在階可逆方陣和階可逆方陣使.由矩陣乘積秩的關(guān)系有.由知,因此.(或者由初等變換不改變矩陣的秩得出,由本題的證明可知用可逆矩陣左乘或者右乘均不改變矩陣的秩)充分性:,和的標(biāo)準(zhǔn)形由秩唯一確定,即它們的標(biāo)準(zhǔn)形均為,即和均和標(biāo)準(zhǔn)形等價,因此由等價的傳遞性,知與等價.