矢量分析2ppt課件

1、第二章第二章 場(chǎng)論場(chǎng)論1 場(chǎng)場(chǎng)3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度5 幾種重要的矢量場(chǎng)幾種重要的矢量場(chǎng)1 場(chǎng)場(chǎng)一、概念一、概念如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。如在教確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。如果這物理量是數(shù)量一個(gè)電位場(chǎng)。如果這物理量是數(shù)

2、量, ,就稱這個(gè)場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng)就稱這個(gè)場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng); ;如果如果是矢量是矢量, ,就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為穩(wěn)定場(chǎng)稱為穩(wěn)定場(chǎng)( (靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)) )； 若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為不若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為不穩(wěn)定場(chǎng)穩(wěn)定場(chǎng)( (時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)) )。 1 場(chǎng)場(chǎng)二、數(shù)量場(chǎng)的等值面二、數(shù)量場(chǎng)的等值面如果數(shù)量場(chǎng)確定了如果數(shù)量場(chǎng)確定了, ,則場(chǎng)中各點(diǎn)處的場(chǎng)點(diǎn)值則場(chǎng)中各點(diǎn)處的場(chǎng)點(diǎn)值 就確定了就確定了, ,對(duì)于靜對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)態(tài)場(chǎng), ,它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù)它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù). . u),(zyxuu )2() 1(5),(222

3、zyxxyzzyxu例如例如, ,在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下, ,如溫度場(chǎng)如溫度場(chǎng), ,電位場(chǎng)電位場(chǎng), ,高度場(chǎng)等高度場(chǎng)等. .1 場(chǎng)場(chǎng)等值面等值面 數(shù)量場(chǎng)中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面數(shù)量場(chǎng)中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面. . 為常數(shù)）cczyxu(),(等值面研究的意義等值面研究的意義: :數(shù)量場(chǎng)中所發(fā)生的物理過(guò)程在不同的等值面數(shù)量場(chǎng)中所發(fā)生的物理過(guò)程在不同的等值面上是不同的上是不同的. .1cu 2cu 3cu 1 場(chǎng)場(chǎng)例例1 1 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng) 通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn) 的等值面方程。的等值面方程。zyx2)() 1 , 0 , 1 (M解解: : 點(diǎn)點(diǎn)M M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 , ,則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為則該點(diǎn)的

4、數(shù)量場(chǎng)值為 1, 0, 1000zyx0)(0200zyx. .其等值面方程為其等值面方程為: : 0)(2zyx或或 2)(yxz1 場(chǎng)場(chǎng)三、矢量場(chǎng)的矢量線三、矢量場(chǎng)的矢量線如果矢量場(chǎng)確定了如果矢量場(chǎng)確定了, ,則場(chǎng)中各點(diǎn)處的矢量則場(chǎng)中各點(diǎn)處的矢量 就確定了就確定了, ,對(duì)于靜態(tài)對(duì)于靜態(tài)場(chǎng)場(chǎng), ,它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù)它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù). . A),(zyxAA或或kzyxAjzyxAizyxAAzyx),(),(),(kzyj yxixyzyxA222),(例如例如, ,在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下, ,如力場(chǎng)如力場(chǎng), ,速度場(chǎng)等速度場(chǎng)等. .1 場(chǎng)場(chǎng)矢量線矢量線 在曲線上每一點(diǎn)處在曲

5、線上每一點(diǎn)處, ,曲線都和對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量曲線都和對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量 相切相切. . 矢量線研究的意義矢量線研究的意義: : 能夠了解矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量方向以及整個(gè)能夠了解矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量方向以及整個(gè)矢量場(chǎng)的分布矢量場(chǎng)的分布. .A如如: :靜電場(chǎng)中的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線等等。靜電場(chǎng)中的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線等等。+IBX X1 場(chǎng)場(chǎng)討論討論（在（在M M處與矢量線相切的矢量）處與矢量線相切的矢量）矢量線的方程矢量線的方程),(zyxM設(shè)設(shè) 為矢量線上任意一點(diǎn)，其矢徑為為矢量線上任意一點(diǎn)，其矢徑為),(zyxMkzj yi xr則微分則微分kdzjdyidxrd與在與在M M處的場(chǎng)矢量處的場(chǎng)矢量 共

6、線。共線。 kAjAiAAzyx因此有：因此有： zyxAdzAdyAdx矢量線的微分方程矢量線的微分方程0r1 場(chǎng)場(chǎng)例例2 2 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng) 的矢量線方程。的矢量線方程。解解: : 矢量場(chǎng)滿足的微分方程為矢量場(chǎng)滿足的微分方程為kzyj yxixyA222zyxAdzAdyAdxzydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221CyxxCz從而有從而有 解之即得矢量方程解之即得矢量方程 C1C1和和C2C2是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。 1 場(chǎng)場(chǎng)例例3 3 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)解解: : 矢量場(chǎng)滿足的微分方程為矢量場(chǎng)滿足的微分方程為kyxjyzixzA)(22通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)

7、 的矢量線方程。的矢量線方程。 ) 1 , 1, 2( M)(22yxdzyzdyxzdx由由yzdyxzdxxCy1由由)(22yxdzyzdy2222Czyx1 場(chǎng)場(chǎng)) 1 , 1, 2( MxCy12222Czyx211C62C所以過(guò)點(diǎn)所以過(guò)點(diǎn) 的矢量線方程為的矢量線方程為: :) 1 , 1, 2( Mxy216222zyx2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度uuu,一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 考慮標(biāo)量場(chǎng)中兩個(gè)等值面考慮標(biāo)量場(chǎng)中兩個(gè)等值面 定義數(shù)量函數(shù)定義數(shù)量函數(shù) 沿給定方向沿給定方向 的變化率的變化率),(zyxuluuuM0Ml000000)()(limlimMMMMMl

8、uMMMuMuMMuuu為數(shù)量場(chǎng)函數(shù)為數(shù)量場(chǎng)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿處沿 方向的方方向的方向?qū)?shù)向?qū)?shù).其大小與方向其大小與方向 有關(guān)有關(guān))(Mu0Mll20度度10度度2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度cos,cos,cos在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,方向?qū)?shù)有如下計(jì)算公式方向?qū)?shù)有如下計(jì)算公式:如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可微處可微; 為為 方向的方向余弦方向的方向余弦,則函數(shù)則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿處沿 方向的方向?qū)?shù)為方向的方向?qū)?shù)為: ),(zyxu),(0000zyxMlu0Mlcoscoscoszuyuxulu其中其中 是在點(diǎn)是在點(diǎn) 處的處的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù). zuyux

9、u,0Mxlzlylxyzlolllllllzyxcos,cos,cos例例4 4 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿處沿 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù). .解解: :222zyxu 的方向余弦為的方向余弦為: :) 1 , 0 , 1 (Mkjil22 222222222,zyxzzuzyxyyuzyxxxul32cos,32cos,31cos那么那么323231222222222zyxzzyxyzyxxlucoscoscoszuyuxulu21Mlu2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度l二、梯度二、梯度coscoscoszuyuxulu

10、kjilcoscoscos0kzujyuixuG),cos(00lGGlGlu當(dāng)當(dāng) ,即即 方向與方向與 方向一致方向一致.1),cos(0lGGGlumax結(jié)論結(jié)論: 矢量矢量 的方向就是數(shù)量函數(shù)的方向就是數(shù)量函數(shù) 變化率最大的方向變化率最大的方向.G)(Mu 矢量矢量 的模正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值的模正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值. .G1lu2lu3lu2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度定義梯度定義梯度G數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) 在在M點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量)(Mu大小大小:最大方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)方向方向:最大方向?qū)?shù)所在最大方向?qū)?shù)所在的方向的方向(即即 的方向的方向)

11、GGgradu在直角坐標(biāo)系里有在直角坐標(biāo)系里有:kzujyuixuGgradu引進(jìn)哈密頓矢量微分算子引進(jìn)哈密頓矢量微分算子:kzjyixkzujyuixuugradu2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)(1) 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影.nungradu0),cos(00lGGlGlu(2) 梯度的方向是沿等值面法線的方向梯度的方向是沿等值面法線的方向,且指向函數(shù)且指向函數(shù) 增大的增大的 一方一方.)(Mu20度度10度度2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式為常數(shù)）ccgrad

12、c(00) 1為常數(shù)）cuccucgraducugrad()()2vuvugradvgraduvugrad)()()3uvvuuvvgraduugradvuvgrad)()()4)(1)()(1)()522vuuvvvuugradvvgraduvvugraduufufgraduufugradf)()()()()6vvfuufvufgradvvfgraduufvugradf),(),()7例例5 5 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的梯度及在矢量處的梯度及在矢量 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù). .解解: :32yzxyu) 1 , 1, 2( Mkjil222 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?/p>

13、數(shù)和梯度kyzjzxyiykzujyuixuu2323)2(kjiuM33 kjilll313232031)31() 3(32) 3(3210luluM例例6 6 設(shè)有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷設(shè)有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 , ,由電學(xué)知道由電學(xué)知道, ,在其周圍空在其周圍空間的任一點(diǎn)間的任一點(diǎn) 處所產(chǎn)生的電位為處所產(chǎn)生的電位為: :q),(zyxM2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度rq4其中其中 試求電位試求電位 的梯度的梯度. .,rrk zj yi xr)()()(4)(414421222212222122221222kzzyxjyzyxixzyxqzyxqrqrq)()()(423

14、2222322223222kzyxzjzyxyizyxxq2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度)(43222zyxk zj yi xq34rrq由于電場(chǎng)強(qiáng)度由于電場(chǎng)強(qiáng)度34 rrqE所以所以E結(jié)論結(jié)論: :電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度等于電位的負(fù)梯度電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度等于電位的負(fù)梯度. .3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度在描繪矢量場(chǎng)的特性時(shí)在描繪矢量場(chǎng)的特性時(shí), , 矢量場(chǎng)穿過(guò)一個(gè)曲面的通量是一個(gè)很矢量場(chǎng)穿過(guò)一個(gè)曲面的通量是一個(gè)很有用的概念。有用的概念。 在矢量分析中在矢量分析中, , 將曲面的一個(gè)面元用矢量將曲面的一個(gè)面元用矢量 來(lái)來(lái)表示表示, , 其方向取為面元的法線方向其方向取為面

15、元的法線方向, , 其大小為其大小為 , , 即即 dsnsd0 是面元的法線方向單位矢量。是面元的法線方向單位矢量。 (1)(1)開(kāi)曲面上的面元開(kāi)曲面上的面元: :右手螺旋法則。右手螺旋法則。(2)(2)封閉曲面上的面元封閉曲面上的面元: : 封閉面的外法線方向。封閉面的外法線方向。 0nnsddsSdASn3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度ssdsnAsdA0假如假如 是一個(gè)封閉面是一個(gè)封閉面, , 那么那么 SsdA一、通量一、通量 可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì): :定義矢量定義矢量 沿有向曲面沿有向曲面 的面積分的面積分AS為矢

16、量為矢量 穿過(guò)有向曲面穿過(guò)有向曲面 的通量。的通量。ASSdASnS = 0 ( = 0 (無(wú)源無(wú)源) ) 0 ( 0 ( 0 (有正源有正源) )3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度例例7 7 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷 所產(chǎn)生的電場(chǎng)中所產(chǎn)生的電場(chǎng)中, ,任何一點(diǎn)任何一點(diǎn) 處的電位移矢處的電位移矢量為量為qM024rrqD其中其中 是點(diǎn)電荷是點(diǎn)電荷 到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離, , 是從點(diǎn)電荷是從點(diǎn)電荷 指向點(diǎn)指向點(diǎn) 的單位矢量的單位矢量. .設(shè)設(shè) 為以點(diǎn)電荷為中心為以點(diǎn)電荷為中心, , 為半徑的球面為半徑的球面, ,求從內(nèi)求從內(nèi)穿出穿出 的電通量的電通量 . .rqM0rqMSRSe解解qRRqds

17、RqdsnrRqsdDSSSe2220024444S0rqMn3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度二、散度二、散度VsdAAdivSV0lim如果包圍點(diǎn)如果包圍點(diǎn)P P的閉合面的閉合面 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點(diǎn)以任意方式縮小為點(diǎn)P P時(shí)，時(shí)，通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場(chǎng)通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場(chǎng) 在在P P點(diǎn)的散點(diǎn)的散度。即度。即矢量矢量 的散度是標(biāo)量的散度是標(biāo)量, , 它是它是 通過(guò)某點(diǎn)處單位體積的通量通過(guò)某點(diǎn)處單位體積的通量( (即通即通量體密度量體密度) )。它反映。它反映 在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度。在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度。AzAyAxAAdivz

18、yx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系總總 結(jié)結(jié)SVAASPAAAV3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度zAyAxAAkAjAizkyjxiAzyxzyx)(zAyAxAAVsdAAdivzyxSV0lim那么：那么： 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量, ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù). .散度的物理意義散度的物理意義: : 散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性. .3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度（無(wú)源）0 A（正源）0A（負(fù)源）0A在矢量場(chǎng)中在矢量場(chǎng)中, ,假設(shè)假設(shè) , ,稱之為有源場(chǎng)稱之為有源場(chǎng), , 稱為稱為( (通通量量) )源密度源密度;

19、;若矢量場(chǎng)中處處若矢量場(chǎng)中處處 , ,稱之為無(wú)源場(chǎng)稱之為無(wú)源場(chǎng). .0A0 A3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度例例8 8 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 在離其在離其 處產(chǎn)生的電通量密度為處產(chǎn)生的電通量密度為 求任意點(diǎn)處電通量密度的散度求任意點(diǎn)處電通量密度的散度 。解解kzyxqzjzyxqyizyxqxkDjDiDzyxkzj yi xqDzyx2/32222/32222/32222/3222)(4)(4)(4)(4qr212223)(,4zyxrrkzj yi xrrrqDD3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxz

20、yxqzyxxxqxDx5225223434rzrqzDryrqyDzy3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度0)(33452222rzyxrqzDyDxDDzyx可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)r=0r=0外，空間各點(diǎn)的電通量密度散外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。度均為零。3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度散度運(yùn)算的基本公式散度運(yùn)算的基本公式: :AcAccAcdivAcdiv)()(為常數(shù)）BABABdivAdivBAdiv)()(AuAuAuAgraduAudivAudiv)()(3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度例例9 9 知知 求求,kzj yi xre

21、xyz解解 因?yàn)橐驗(yàn)?( rrrr)(3zzyyxxr)(kxyjxziyzekzejyeixexyzxyzxyzxyz由于由于那么那么)1 (333)(xyzexyzeerxyzxyzxyz3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度三、散度定理三、散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的體密度既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, , 因此直觀地可知因此直觀地可知, , 矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量, , 即即 VSSdAdVA高斯定理高斯定理 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域 中場(chǎng)中場(chǎng) 與邊界與邊界 上的

22、場(chǎng)上的場(chǎng) 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。總總 結(jié)結(jié)VSVAAS3 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度例例10 10 球面球面S S上任意點(diǎn)的位置矢量為上任意點(diǎn)的位置矢量為 kzj yi xr試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算 Ssdr解解 由散度定理得由散度定理得3zzyyxxrVSVrrdVdVrsdr3343433SVdVrsdr由于由于所以所以4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度一、環(huán)量一、環(huán)量 矢量矢量 沿某封閉有向曲線沿某封閉有向曲線 的線積分的線積分, , 定義為定義為 沿該曲線的沿該曲線的環(huán)量環(huán)量( (或旋渦量或

23、旋渦量), ), 記為記為 ll dA 環(huán)量的計(jì)算環(huán)量的計(jì)算環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。lAAlA4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0 0，有產(chǎn)生渦旋的源，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場(chǎng)例：流速場(chǎng)流速場(chǎng)流速場(chǎng)4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度二、環(huán)量面密度二、環(huán)量面密度 假設(shè)假設(shè) 沿著自身縮向沿著自身縮向 點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí), ,假設(shè)假設(shè)SSl dAMSlMSnlimlimSMnSMl極限存在極限存在, ,則稱矢量場(chǎng)則稱矢量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿方向處沿方向

24、的環(huán)量面密度的環(huán)量面密度. .AMn這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度, , 或稱環(huán)量強(qiáng)度?；蚍Q環(huán)量強(qiáng)度。 由于面元由于面元是有方向的是有方向的, , 它與封閉曲線它與封閉曲線 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系的繞行方向成右手螺旋關(guān)系, , 因因此在給定點(diǎn)處此在給定點(diǎn)處, , 上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。 為此為此, , 引入如下定義引入如下定義, , 稱為旋度稱為旋度( (curlcurl或或rotationrotation): ): l1S2S3S4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度三、旋度三、旋度 nSMlmax0max0li

25、mSl dAnArotlS可見(jiàn)可見(jiàn), , 矢量矢量A A的旋度是一個(gè)矢量的旋度是一個(gè)矢量, , 其大小是矢量其大小是矢量 在給定點(diǎn)處的在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度最大環(huán)量面密度, , 其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)時(shí), , 該面元矢量的方向該面元矢量的方向 。 它描述它描述 在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。nyAxAkxAzAjzAyAiArotxyzxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系A(chǔ)A4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量矢量 的旋度可表示為哈密頓算子與的旋度可表示為哈密頓算子與 的矢量積的矢量積, , 即即 AArot 計(jì)算計(jì)算 時(shí)

26、時(shí), , 先按矢量積規(guī)則展開(kāi)先按矢量積規(guī)則展開(kāi), , 然后再作微分運(yùn)算然后再作微分運(yùn)算, ,得得 yAxAkxAzAjzAyAiAkAjAizkyjxiAxyzxyzzyx)(AAA4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度zyxAAAzyxkjiA即即 4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度yAxAkxAzAjzAyAiAAAzyxkjiASl dAnArotxyzxyzzyxlSmax0max0lim旋度旋度4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 某點(diǎn)的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量面密度

27、的最大值。某點(diǎn)的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量面密度的最大值。 在矢量場(chǎng)中，假設(shè)在矢量場(chǎng)中，假設(shè) , ,稱之為旋度場(chǎng)稱之為旋度場(chǎng)( (或渦旋場(chǎng)或渦旋場(chǎng)) )， 稱為旋度源稱為旋度源( (或渦旋源或渦旋源) )； 某點(diǎn)的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量面密度面元的方向。某點(diǎn)的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量面密度面元的方向。 若矢量場(chǎng)處處若矢量場(chǎng)處處 ，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。0A0A4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 例例 11 11 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng) 的旋度的旋度. .kexj yzizxyAy2222sin解解: :kxyzjezyxiyzexkzxyyyzxjexxzxyzizzexyexyzzxyz

28、yxkjiAAAzyxkjiAyyyyyyzyx2222222222222222)(2)sin2()()sin()()()sin()(sin4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度例例12 12 自由空間中的點(diǎn)電荷自由空間中的點(diǎn)電荷 所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2/3222030)(44zyxzky jxiqrrqE求任意點(diǎn)處求任意點(diǎn)處( )( )電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度 。 q0rE4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度3333330333044rxyryxkrzxrxzjryzrzyiqrzryrxzyxkjiqE解解: :4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度可見(jiàn)可見(jiàn),

29、 , 向分量為零向分量為零; ; 同樣同樣, , 向和向和 向分量也都為零。向分量也都為零。 故故 ijk0E這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。 因因535333ryzryzryzrzy4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 例例 13 13 設(shè)矢量場(chǎng)設(shè)矢量場(chǎng) , ,證明證明kyxjxzizyA222222所以所以: :0AAkyxzjxzyizyxkzyyxzxjyxxzyzixzzyxyyxxzzyzyxkjiA)(2)(2)(2)()()()()()(2222222222222222222220)(2)(2)(2)(2222222222222yxxzzyzyxyxzyxxzzyxzyzyxAA0AA4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 旋度運(yùn)算的基本公式旋度運(yùn)算的基本公式: : AcAccAcrotAcrot)()(為常數(shù)）BABABrotArotBArot)()(AuAuAuuAgraduAurotAurot)()(為數(shù)性函數(shù)）BAABBABrotAArotBBAdiv)()(0)(0)(ugradurot0)(0)(AArotdiv 梯度的旋度恒等于零梯度的旋度恒等于零 旋度的散度恒等于零旋度的散度恒等于零4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度 例例 14 14 證明矢量場(chǎng)證明矢量場(chǎng) 是無(wú)旋場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng). . 證證: