2019競賽不定積分ppt課件

1、數(shù)學(xué)競賽講座數(shù)學(xué)競賽講座南理工數(shù)學(xué)系南理工數(shù)學(xué)系 劉德欽劉德欽學(xué)好數(shù)學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué),要記住三個字要記住三個字:.熟熟,練練,化化. _華羅庚華羅庚_解題是一種本領(lǐng)解題是一種本領(lǐng),就像游泳、彈鋼琴一樣就像游泳、彈鋼琴一樣,你只能靠模你只能靠模仿和實踐才能學(xué)到它。假如你想要從解題中得到最大仿和實踐才能學(xué)到它。假如你想要從解題中得到最大的收獲的收獲,就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征。一就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征。一種解題方法種解題方法,無論是從別人那里學(xué)來或聽來的無論是從別人那里學(xué)來或聽來的,只要經(jīng)只要經(jīng)過你自己的體驗過你自己的體驗,它對你來講可以成為一種楷模它對你來講可以成為一種楷模,當(dāng)你當(dāng)

2、你在碰見別的類似的問題時在碰見別的類似的問題時,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。 _喬冶喬冶.波利亞波利亞_不定積分第第 一一 講講注注: : 不定積分是計箅定積分、重積分、線不定積分是計箅定積分、重積分、線面積分的一種工具面積分的一種工具, ,為解微分方程服務(wù)為解微分方程服務(wù). .一一. 基本概念基本概念1 1、原函數(shù)與不定積分、原函數(shù)與不定積分(1) 定義: 假假設(shè)設(shè)CxFdxxf )()( )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( ( )( )( ).xaxf t dtf x其中就是的一個原函數(shù)同步同步:p922. 性質(zhì)和公式:同步同步:93二二. . 積分

3、法積分法(1) 由定義直接利用基本積分表與積分的由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法性質(zhì)求不定積分的方法.同步同步93:2 2、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot

4、 dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17(同步同步:p374 Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22221(22)arcsinxdxCaaxCaxaxadxax ln211)21(22.1( )xf x dx已知f(x)的一個原函數(shù)為(1+sinx)lnx,求例:( )( )( )( ).xf x dxxdf xxf xf x dx解(1 sin )ln (1 sin )ln.xxxxx c 1.基本概念題基本概念題)( xF)(x

5、f0 x2)2(sin()()(xxFxf例例2 2 函數(shù)函數(shù)為的原函數(shù)，當(dāng)時，有且 ,(0)1F,( )0,F x )(xf，求. )()(xfxFxxFxF2sin)()(2解：因解：因，所以cxxxFxdxdxxFxF4sin41)(2sin)()(221)0(F1c14sin41)(xxxF而由得，從而故14sin4124cos1)()(xxxxFxf 21c o s 4( s in2)2xx ( ) ( )fxxdx )()(xuduuf （湊微分法）（湊微分法）說明說明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf( )( ( )F uc

6、Fxc ( )( )fx dx(2) (2) 換元法換元法: :第一類換元第一類換元同步同步:p95;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf .)(. 9dxbaxf .)()(.10dxxfxf 11. ();xxf ee dx第一類換元法第一類換元法湊微分常見類型湊微分常見類型:15.(1ln )( ln )x dxd xx21117.(1)()dxd xxx16.(1)xxx

7、 e dxdxe242ln(1)( )0,),( )2,xtf xfxtt設(shè)在上導(dǎo)例且3可(0)0,( ).ff x求22:ln(1)1xxtet 解 由422 222(1)11( ).xtttefx 故22( )( )(1)2xxef xfx dxedxxc211(0)0,( ).222xefcf xx由),( ).sin1xxxIf x dxxx2練習(xí) (2004考研題) 設(shè)f(sin求2:sin ,sin,arcsin,arcsin( ),( ).uxxuxuuarcain xf uf xux 解令arcsin2 arcsin1.1xIdxxdxx 2 1arcsin2.xxxc 2 1

8、arcsin2.Ixxxc sin222sin.4xxexdxe求例sin2sin2221sin 2(sin22 ) .4xxxxedxedxxe原式sin222sinxxexdx原式2cos21sin2xxdxdx 1sin2()22xdx 1(sin22 )4dxx sin221.4xxec二二. . 積分法積分法第二類換元法第二類換元法( )1(2)( )( ( ) ( )( )( ).xtf x dxftt dtF tcFxc1( )x同步同步:p95常用代換常用代換:1.() ,.taxbR.sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換13.xt倒置代換 令

9、221( ),( )nf xnaxx g x(1)如被積函數(shù)為偶數(shù),g(x)=用倒代換方便.第二類換元法第二類換元法(2)設(shè)設(shè)m,n為被積函數(shù)的分子為被積函數(shù)的分子,分母關(guān)于分母關(guān)于()xa的最高次數(shù)的最高次數(shù),當(dāng)當(dāng)1,nm時時,可用倒代換法可用倒代換法.42.1dxIxx求1321xtt dtIt解練習(xí)練習(xí):2221(1).21t dtt211utuduu 121dxx x練:求211:,xdxdttt 解 令5612621611( )t dtdttt 原式6611arcsin().6cx61arcsin6tc 22(2001(1)1).2dxIxx例5 考研題求tan2cos.1sinxu

10、uduIu解2sinarctan(sin ).1sinduucu2.1xarctancxx21xu(3) (3) 分部積分法分部積分法udvuvvdu選擇選擇u u的有效方法的有效方法: :(1)-對數(shù)函數(shù)；被積函數(shù)為多項式與對數(shù)函數(shù)乘積對數(shù)函數(shù)；被積函數(shù)為多項式與對數(shù)函數(shù)乘積(2)-反三角函數(shù)；被積函數(shù)為多項式與反三角函數(shù)乘積反三角函數(shù)；被積函數(shù)為多項式與反三角函數(shù)乘積選選v-指數(shù)函數(shù)；被積函數(shù)為多項式指數(shù)函數(shù)；被積函數(shù)為多項式(或三角函數(shù)或三角函數(shù))與與指數(shù)函數(shù)乘積指數(shù)函數(shù)乘積4. 三類函數(shù)的積分:同步同步:p1041( ),( ),fxuxf u解令則1( )( )( )( )fx dx

11、udf uuf uf u du( ),( )( ),( )f xf xF xf x設(shè)可導(dǎo)的一個原函數(shù)為的 例6 1( ).fx dx11( )( )( )( ).uf uF uCxfxF fxC1( )fx反函數(shù)存在,試求1( )1000( )d ( )( )df xxttxf xfxx(1)111 (1) 0 220000( )d( )d( )2( )dffttx fxxx f xxf xx102( )d .xf xx1( )00( )ddf xttx 1( )1000( )dd2( )d .f xttxxf xx ( ) ( ), (1)0,:xyf xf設(shè)為可微函數(shù)的反函數(shù)且證明2(20

12、01,2005(2)arctan.xxedxe練習(xí) 考研題) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec22222211() (1)(1)1xxetxxdedtdteettttcos.xdx求,2xtdxtdt 解: 2 sin2cos.tttc(2019考研題考研題)2costtdt解:原式2sintdt2 sin2 sintttdt2sin2cos.xxxc2222tan.sincosxdxaxbx例求82222222tantantan1tan2tanxdxbaxdxbax解:原

13、式22221lntan.2baxCa三角函數(shù)積分題三角函數(shù)積分題三角函數(shù)公式三角函數(shù)公式1.1sincosdxxx例求9212cos(1 tan )22dxxx原式ln 1tan.2xC2:1sincos2sincos2cos222xxxxx解1.2sincosdxxx1tan.282xC(cos()coscossinsin)1.:練習(xí)求1.:練習(xí)求1.2sincosdxxx12 1cos4dxx解原式2112 2cos28dxx1tan.282xC(cos()coscossinsin)21sin cossin2xxdxdx解22sin cos1sin.2sinxxxdxx221 sintan

14、1 sin.xarcxC2.:練習(xí)求2221 sinsin2(2sin)xdxx解析原式222(1sin)1tdttxttantarctC 22sin cos1sin.2sinxxxdxx求221 sintan1 sin.xarcxC2.:練習(xí)求cos.cossinxdxaxbx解解 令令cos( cossin )( cossin )xA axbxB axbx 1AaBb比較兩邊cosx的系數(shù):0-Ab Ba比較兩邊sinx的系數(shù):2222,abABabab22cos1ln( cossin ).sincosxdxaxbaxbxcaxbxab11sincos.sincosaxbxdxaxbx同樣

15、討論,sin ,cosxx分子 分母為的線性組合的積分例例 11 求求復(fù)習(xí)大全復(fù)習(xí)大全:p85 例例32稱為依分母分解法稱為依分母分解法例12求4sec.x tg xx dx解分部積分得444111secsecsec444xdxxxx dx原式4211sec144xxtg x dtg x43111sec.4412xxtgxtg xC三個以上乘積因子的積分若用分部三個以上乘積因子的積分若用分部,一項為原一項為原 來的因子來的因子,另一項為若干個因子乘積另一項為若干個因子乘積.被積函數(shù)為三個因子乘積形式被積函數(shù)為三個因子乘積形式1.(1)xxIdxxxe練求習(xí)lnln 1.xxxexec1.(1)

16、xxIdxxxe練求習(xí)(1)1(1)xxxx eIdxxexe解法1(1)xxxdxexexe11()1xxxdxexexelnln 1.xxxexec11(1).xxxxdtxetdtx e dxdxxxe 解法2 令111()(1)1Idtdtt tttlnln 1.xxxexec1()(1)xxxeex解法2(2001,2005(2)arctan.xxedxe練習(xí) 考研題) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec22222211() (1)(1)1xxetxxdedtdte

17、etttt25613xIdxxx例1求321(26)82:613xIdxxx解221(26)28613(3)4xdxdxxxx213ln6134arctan.22xxxc(造一個分子是分母的造一個分子是分母的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).)有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分:練練1 3233(1) (13 )xxxx求211ln 13.32(1)xcx 32333131(1) (13 )xxxxdxxx 練練:2000年年 競賽競賽 1454.(1)xdxx 求1454.(1)xdxx 提示:105541.5(1)xdxx51021,(1)xtxt 令1425441(1).(1)5xtdxdtxt5105 3(133.15

18、(1)xxcx 例例1414.)1(arctan22 dxxxx xdxxxarctan)111(22 xxdxxdxxxarctanarctan)1(arctan12 xxdxxdxxxarctanarctan)1(21arctan1222.)1ln(21ln)(arctan21arctan122cxxxxx (97考研題考研題)211ln(1)d =ln(1) d1xxtxt22ln(1)11 d .111ttttt而2211112d( ) d(1)(1)411(1)ttttttt1 ln(1)d (0).xx xx計算不定積分例例15 09考研考研211 , ,1xtxxt解 設(shè)則11l

19、n(1)ln(1),42(1)ttCt1=4所以21ln(1)111ln(1) dln1412(1)xttxCxttt111ln(1)ln( 1)221xxxxxCxxx21111ln(1)ln( 1).222xxxxxxxCx三三.幾種常見技巧幾種常見技巧:1. 循環(huán)現(xiàn)象循環(huán)現(xiàn)象:arctan23(1)xxeIdxx求例1arctan2:1xxIdex解arctanarctanarctan3222211(1)xxxxexeedxxxxarctan211.21xxIecxarctanarctan32221(1)xxxeedxxxarctan21xd ex22(1tan ).xex dx例2求2

20、2(1tan2tan )xexx dx原式222sec2tanxxexdxexdx222tan2tan2tanxxxexexdxexdx2tan.xexC解方法評注本題中2tanxexdx的原函數(shù)無法求出,必須從,.另一積分入手 分部積分后將其不可積出的積分消去22tan2tanxxe dxexdx2. 折項抵消法折項抵消法:注注: 遇到不可積的積分只能采用折項抵消法遇到不可積的積分只能采用折項抵消法sincos,xexxdxdxdxxxx221,sin,lnxdxedxx dxx1.xe dx方法方法2 待定函數(shù)法待定函數(shù)法222:(1tan )( ).xxex dxF x ec解令222(

21、1tan )( )2 ( )xxexF xF x e則212tantan( )2 ( )xxF xF x2sec2tan( )2 ( )xxF xF x2,( )sec,( )tanF xx F xx顯然時上式成立222(1tan )tan.xxex dxexc 待定函數(shù)法待定函數(shù)法:11(1).xxIxedxx 練求:111:(1)( ).xxxxIxedxF x ecx 解令兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)11211(1)( )( )(1)xxxxxeF xF xexx211(1)( )( )(1)xF xF xxx,( )1,( )F xF xx顯然且時上式成立111(1).xxxxIxedxxecx 111:().xxIxedxx 練法2求1121(1).xxxxIedxxedxx11xxxxedxxde1111.xxxxxxxxedxxeedxxec211:()1)xxx (注