2019第三章 無窮級(jí)數(shù)2ppt課件

1、12目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)、與洛目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)、與洛朗級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計(jì)算方法、孤立奇點(diǎn)的概念及朗級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計(jì)算方法、孤立奇點(diǎn)的概念及判定、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。判定、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)3 無窮級(jí)數(shù)：一系列無窮多個(gè)數(shù)無窮級(jí)數(shù)：一系列無窮多個(gè)數(shù)w1，w2，w3， wn， 寫成寫成w1+w2+w3+ wn+ 就稱為無窮級(jí)數(shù)。這僅是一種形就稱為無窮級(jí)數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有式上的相加。這種加法是不是

2、具有和數(shù)和數(shù)呢？這個(gè)呢？這個(gè)和數(shù)和數(shù)的確的確切意義是什么？切意義是什么？ 為什么要研究級(jí)數(shù)？為什么要研究級(jí)數(shù)？ (1) (1) 級(jí)數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；級(jí)數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具； (2) (2) 常微分方程的級(jí)數(shù)解。常微分方程的級(jí)數(shù)解。 研究級(jí)數(shù)需關(guān)心的問題：研究級(jí)數(shù)需關(guān)心的問題： (1) (1) 級(jí)數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；級(jí)數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)； (2) (2) 收斂級(jí)數(shù)或一致收斂級(jí)數(shù)所具有的性質(zhì)等。收斂級(jí)數(shù)或一致收斂級(jí)數(shù)所具有的性質(zhì)等。4復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義 形如形如 的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

3、，其中 是復(fù)數(shù)。是復(fù)數(shù)。kkkwuiv每一項(xiàng)收斂性問題歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)收斂性問題歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)111limlimlimnnnkkknnnkkkwuiv極限存在并有限極限存在并有限部分和部分和111nnnnkkkkkkswuiv121,kkkwwww收斂性收斂性問題問題 若在區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)若在區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)z0z0點(diǎn)，前點(diǎn)，前n n項(xiàng)和極限存在項(xiàng)和極限存在, ,那那么么 00lim()() nnszs z那么級(jí)數(shù)那么級(jí)數(shù) 在在z0z0點(diǎn)收斂，點(diǎn)收斂，1kkw為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。0()s z5 柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于柯西判

4、據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于任一小的正數(shù)任一小的正數(shù) ，必存在一，必存在一 N 使得使得 nN 時(shí)有時(shí)有1,n pnkkw 式中式中 p 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)(推論推論)2211kkkkkwuv假設(shè)假設(shè)收斂，則稱收斂，則稱1kkw絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 判別法：判別法： 的每一項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的模，即正實(shí)數(shù)，所以它的每一項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的模，即正實(shí)數(shù)，所以它實(shí)際上就是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的判實(shí)際上就是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的判別法即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法。別法即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法。1kkw6 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)具有如下的主要性質(zhì)：絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)具有如下的主要性質(zhì)：1) 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可任

5、意交換其各項(xiàng)的次序，所絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可任意交換其各項(xiàng)的次序，所得級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂且其和不變。得級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂且其和不變。2)兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和、積，仍絕對(duì)收斂。兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和、積，仍絕對(duì)收斂。lffkkk1lim則當(dāng)則當(dāng)l1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng)l=1時(shí)，斂散性需進(jìn)一步檢驗(yàn)。時(shí)，斂散性需進(jìn)一步檢驗(yàn)。3)比值或達(dá)朗貝爾判別法。對(duì)于比值或達(dá)朗貝爾判別法。對(duì)于 ，任給一，任給一正整正整K，當(dāng)，當(dāng)kK時(shí)，假設(shè)時(shí)，假設(shè)則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。特別是則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。特別是 0kkf)k1(1無關(guān)且與kkff74)高斯判別法。對(duì)于高斯判別法。對(duì)于 ，設(shè)，設(shè)0kkf) 1)(1(11kOkffkk式

6、中式中為復(fù)數(shù)，則當(dāng)為復(fù)數(shù)，則當(dāng)Re1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)Re1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。證：證： 1)2 ,min( )1(Re1)1(Re21)1(1)1(1 21211kOkkOkkOkkOkffkk8復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：121()()()(),kkkwzwzwzwz每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù) 實(shí)際上，對(duì)于實(shí)際上，對(duì)于 z z 的一個(gè)確定值，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)的一個(gè)確定值，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有一個(gè)定義域復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有一個(gè)定義域 B 。它的收斂的。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對(duì)于這個(gè)定義域而言的。概念應(yīng)當(dāng)

7、是相對(duì)于這個(gè)定義域而言的。9一致收斂一致收斂收斂收斂復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在其定義域復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在其定義域 B B中每一點(diǎn)都收中每一點(diǎn)都收斂，則稱在斂，則稱在B B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：中收斂。它滿足柯西判據(jù)：對(duì)于一小正數(shù)對(duì)于一小正數(shù) ，必存在一，必存在一N(z)N(z)使得使得nN(z)nN(z)時(shí)有時(shí)有N 與與 z 無關(guān)無關(guān)收斂，但收斂，但N(z) N(z) 與復(fù)變量與復(fù)變量 z z有關(guān)有關(guān)給定給定 ，有一個(gè)統(tǒng)一的，有一個(gè)統(tǒng)一的 N 使判據(jù)得到滿足使判據(jù)得到滿足pnnkkzf1)(10一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1M判別法判別法 若在區(qū)域若在區(qū)域內(nèi)內(nèi)是與是與z無關(guān)的正數(shù)無關(guān)的正數(shù) ，

8、且，且 收斂，則級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù) 在在內(nèi)絕對(duì)而且一致收斂。內(nèi)絕對(duì)而且一致收斂。kkkMMzf,)(0kkM0)(kkzf（2連續(xù)性連續(xù)性 假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在在內(nèi)一致收斂于內(nèi)一致收斂于F(z)，則和函數(shù)，則和函數(shù)F(z)亦在亦在內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。)(zfk0)(kkzf0)(kkzf（3逐項(xiàng)可積性逐項(xiàng)可積性 設(shè)設(shè) 在曲線在曲線l上一致收斂上一致收斂于于F(z)，且各項(xiàng)均在，且各項(xiàng)均在l上連續(xù)，則沿上連續(xù)，則沿l可以逐項(xiàng)積分，可以逐項(xiàng)積分，且且0)()(klkldzzfdzzF11 （4 4逐項(xiàng)可導(dǎo)性：逐項(xiàng)可導(dǎo)性： 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 的各項(xiàng)均在區(qū)域的各項(xiàng)均在區(qū)域內(nèi)解析，且級(jí)數(shù)在內(nèi)解

9、析，且級(jí)數(shù)在內(nèi)的任一閉子域上一致收斂于內(nèi)的任一閉子域上一致收斂于F(z)F(z)，那么那么(I) F(z)= (I) F(z)= 在在內(nèi)解析；內(nèi)解析； 0)(kkzf0)(kkzf證：內(nèi)必連續(xù)在內(nèi)解析，所以在因?yàn)?()()(zfzfIkk0dz)(llkzf有內(nèi)任一圍線且對(duì)于和連續(xù)性，有收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性，故由一致內(nèi)一致收斂于在又F(z)(0kkzf0)(dz)(0klkldzzfzF且且F(z)在在內(nèi)連續(xù)，根據(jù)第二章摩勒納定理知內(nèi)連續(xù)，根據(jù)第二章摩勒納定理知F(z)解析。解析。lknklnndzfindzFinzF011)()()(2!)()(2!)(對(duì)于對(duì)于內(nèi)任意一條閉圍線內(nèi)任意一條閉圍

10、線l內(nèi)的內(nèi)的z點(diǎn)，有點(diǎn)，有(II)(II)在在內(nèi)級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，且內(nèi)級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，且0)()()()(knknzfzF證：而而 在在l上一致收斂，上一致收斂， 有界有界0)(kkzf1)(1nz130)(10)()()()(2!)(knlnkknzfdzfinzF13故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) 在在l上一致收斂。上一致收斂。01)()(knkzf由一致收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性和由一致收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性和 的解析的解析性，有性，有)(zfk14kkkkkbzabzabzaabza)()()()(22100稱為以稱為以 為中心的冪級(jí)數(shù)為中心的冪級(jí)數(shù). .b1 定義定義冪級(jí)數(shù)：常用的一種級(jí)數(shù)，實(shí)變

11、函數(shù)冪級(jí)數(shù)的推廣冪級(jí)數(shù)：常用的一種級(jí)數(shù)，實(shí)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)的推廣復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)20120 kkkkka zaa za za z時(shí)時(shí)0b15 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel) Abel) 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 在在z=z0z=z0收斂，則它在以收斂，則它在以b b為圓心，以為圓心，以 為半徑的圓內(nèi)絕對(duì)為半徑的圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而且在任何一個(gè)較小的閉圓收斂，而且在任何一個(gè)較小的閉圓上一致收斂。上一致收斂。0)(kkkbzabz 0)(0bzbz由收斂的必要條件由收斂的必要條件, , 有有所以存在一正數(shù)所以存在一正數(shù)h, 使對(duì)所有的使對(duì)所有的k, 有有證證因?yàn)榧?jí)數(shù)因?yàn)榧?jí)數(shù) 在在z0z0點(diǎn)收斂，點(diǎn)

12、收斂，0)(kkkbza0)(lim0kkkbza.)2 , 1 , 0( )(0khbzakk16kkkkkkkkkkbzhbzbzbzabzbzbzabza00000)( )()()( 又證畢證畢而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 是一個(gè)收斂的常數(shù)幾何級(jí)數(shù)，是一個(gè)收斂的常數(shù)幾何級(jí)數(shù)，由由M M判別法知，級(jí)數(shù)在判別法知，級(jí)數(shù)在 中絕對(duì)而且一致收斂。中絕對(duì)而且一致收斂。00kkkbzh)( 0bzbz推論推論若級(jí)數(shù)在某點(diǎn)若級(jí)數(shù)在某點(diǎn)z=z1 z=z1 發(fā)散，則它在圓發(fā)散，則它在圓 的外面處處發(fā)散。的外面處處發(fā)散。bzbz1172. 2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), , 其收斂半徑

13、的情況有三種其收斂半徑的情況有三種: :(1) (1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂. .對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的z, z, 從某個(gè)從某個(gè)k k開始開始, , 總有總有1,2zk于是有于是有1,2kkkzk故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z z均收斂均收斂. .例如例如, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).2122kkkzzz18(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時(shí)此時(shí), , 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散. .(3) (3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), , 也存在使級(jí)數(shù)收也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)斂的正實(shí)數(shù). .

14、例如例如, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2212kkzzk z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z通項(xiàng)不趨于零通項(xiàng)不趨于零, , ;,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) z.,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)時(shí) z如圖如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散. .19xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)0kkka z的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域. .20 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, , 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, , 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析. .注意注意問題問題 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何? 由阿貝爾定理及推論不

15、難看出，冪級(jí)數(shù)的收斂和由阿貝爾定理及推論不難看出，冪級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散區(qū)域是不可能相間的。所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)，必存在發(fā)散區(qū)域是不可能相間的。所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)，必存在一以一以b b為心，為心，R R為半徑的圓。在圓內(nèi)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而為半徑的圓。在圓內(nèi)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散。在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散。210020kkkkkkzzkzk收斂圓周上無收斂點(diǎn)收斂圓周上無收斂點(diǎn); ;在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂. .例如例如, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù): :1, 1 zR收斂圓周收斂圓周均為均為;,1在其它點(diǎn)都收斂在其它點(diǎn)都收斂發(fā)散發(fā)散在點(diǎn)在點(diǎn) z223. 3. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法1: 1: 比值

16、法比值法( (定理二定理二):):bzaabzbzaaffkkkkkkkkkkk1111limlimlim級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)故當(dāng) 1 1lim1bzaakkk級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)可改寫為 lim lim11kkkkkkaaaabz1limkkkaaR23課堂練習(xí)課堂練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)試求冪級(jí)數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑. .pnn)11(1lim . 1 答案答案，因?yàn)橐驗(yàn)閜nna1 . 11 R所以所以pnnnnnnaa)1(limlim1 24方法方法2: 2: 根值法根值法( (定理三定理三) )那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R說明說明: : 0 0 RR

17、( (與比值法相同與比值法相同) )假如假如, 0lim kkka假如假如254. 4. 復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)定理四定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那末那末 00)(kkkzza是收斂圓是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) .(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函數(shù)它的和函數(shù)Rz0z (2)在收斂圓在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, )(zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 26簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)

18、求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分. .( (常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù)) )(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, )(zw即即 0.,d)(d )(kckkcRazczz0zazzw 01.)(1d)( kkkzaz0zkaw 或或275、典型例題例例1 1 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù). .解解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為 kkkzzzz201)1( ,11112 zzzzzzskkn281 z級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂,1 z級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散.收斂范圍為一單位圓域收斂范圍為一單位圓域, 1 z由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi)在此圓域內(nèi), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)

19、絕對(duì)收斂, 收斂半徑為收斂半徑為1,zskk 11lim 0kkz0lim kkz 0kkz且有且有.1112 kzzzz29例例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑: :(1) 13nnnz( (并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形) )(2) 1)1(nnnz( (并討論并討論2,0 z時(shí)的情形時(shí)的情形) )解解 (1)3)1(lim nnn因?yàn)橐驗(yàn)? 1 nnnaa1lim 或或. 11lim3 nnnnnnnnna31limlim 30所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級(jí)數(shù)在圓即原級(jí)數(shù)在圓1 z內(nèi)收斂內(nèi)收斂, , 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, , 收斂的收斂的p級(jí)數(shù)

20、級(jí)數(shù) ).13( p所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的. .在圓周在圓周1 z上上, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 13131nnnnnz31說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 也有也有 級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為,1)1(1 nnn交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù), , 收斂收斂. .發(fā)散發(fā)散. .原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為,11 nn調(diào)和級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z(2),1 1limlim1 nnaannnn. 1 R即即32故收斂半徑故收斂半徑.1eR 0)(cosnnzin例例3求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:

21、:解解),(21coshnneen inancos 因?yàn)橐驗(yàn)? e nnnnnnnneeeeaa 111limlim 所以所以33解解所以所以.2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑. .,24ie )4sin4(cos21 ii因?yàn)橐驗(yàn)?)2(4inne nnia)1( nnn)2()2(lim1 . 2 nnnaa1lim 34例例5 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解. 1 R所所以以利用逐項(xiàng)積分利用逐項(xiàng)積分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1

22、zz .)1(12z 1 z12limlim 1 nnaannnn因?yàn)橐驗(yàn)?5例例6 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 01)12(nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解.21 R所所以以,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 1212limlim 11 nnnnnnaa因?yàn)橐驗(yàn)?6例例7 計(jì)算計(jì)算.21,d)(1 zczzcnn為為其中其中解解,21內(nèi)內(nèi)在在 z 1)(nnzzS和和函函數(shù)數(shù) czzzId)111(所以所以02 i,1收斂收斂 nnz 01nnzz,111zz

23、cczzzzd11d1.2 i 37問題問題: : 任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來表達(dá)？ 0rz , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn)如圖如圖: :r0z.K. rz 0 圓周圓周38由柯西積分公式由柯西積分公式 , , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向.0001111zzzzz 那么那么, , 的內(nèi)部的內(nèi)部在在點(diǎn)點(diǎn)上上取在圓周取在圓周因?yàn)榉e分變量因?yàn)榉e分變量KzK .

24、1 00 zzz 所以所以39 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz KNnnnzzzfi.d)()()(21010 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是40由高階導(dǎo)數(shù)公式由高階導(dǎo)數(shù)公式, , 上式又可寫成上式又可寫成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010可知在可知在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf, 0)(lim zRNN假設(shè)假設(shè), )( 內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來表示內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來表示在在即即Kzf41令令

25、qrzzzzz 000 則在則在K上連續(xù)上連續(xù), 即存在一個(gè)正常數(shù)即存在一個(gè)正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在, 10, qq且且無關(guān)的量無關(guān)的量是與積分變量是與積分變量 , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在DKDzf , )( 上也連續(xù)上也連續(xù)在在因而因而Kf , )(上有界上有界在在 Kf szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221N.1Mqq42K0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,Nlim0Nq從而在從而在K內(nèi)內(nèi) 圓周圓周K的半徑可以任意增大的半徑可以任意增大, ,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立. .D在在 000)()(!

26、)()(nnnzznzfzf的泰勒展開式的泰勒展開式,)(zf在在0z泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)43假如假如0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開式在內(nèi)成立的泰勒展開式在內(nèi)成立dzz 0因?yàn)榉矟M足因?yàn)榉矟M足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒展開定理泰勒展開定理)(zf在在0z的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf44其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為

27、D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí),成立成立,當(dāng)當(dāng) 00)()(kkkzzazf, 2, 1 , 0),(!10)( kzfkakk45說明說明:1.1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多時(shí)弱得多; (; (想一想想一想, , 為什么為什么?)?)4.4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. . ;,0. 30級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z; , , )( . 200zdzdDzf 即即之間的距離之間的距離一個(gè)奇

28、點(diǎn)一個(gè)奇點(diǎn)到最近到最近等于等于那么那么內(nèi)有奇點(diǎn)內(nèi)有奇點(diǎn)在在假如假如收斂范圍46 )( zf因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多. .注意注意問題：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)問題：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，展開式是否唯一？數(shù)，展開式是否唯一？47那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即因而因而, , 任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù), , 因而是唯一的因而是唯

29、一的. . 202010)()()(zzazzaazf,)(0 kkzza, )(!10)(zfkakk : )( 0已被展開成冪級(jí)數(shù)已被展開成冪級(jí)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf48常用方法常用方法: : 直接法和間接法直接法和間接法. .1.1.直接法直接法: :,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù). )( 0展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf例如，例如，. 0 的的泰泰勒勒展展開開式式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze,)( )(znzee 因因?yàn)闉?9, 在復(fù)平面內(nèi)

30、處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐驗(yàn)閦e. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑仿照上例仿照上例 , , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展開開式式在在與與可可得得 zzz502. 2. 間接展開法間接展開法 : : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , , 結(jié)合解結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)析函數(shù)的性質(zhì), , 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) ( (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), , 積分等積分等) )和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 ( (代換等代換等) ,

31、) , 求函數(shù)求函數(shù)的泰勒展開式的泰勒展開式. .間接法的優(yōu)點(diǎn)間接法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , , 因而比因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔直接展開更為簡(jiǎn)潔 , , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 . .51例如，例如， )(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi. 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz52附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(11

32、1)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z53,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z54例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在由由于于,1內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析且且在在

33、 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開成可展開成 z55 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo), ,56例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展開開式式處處的的在在求求對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1OR=1xy57zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端

34、沿將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲線線到到內(nèi)內(nèi)從從為為收收斂斂圓圓設(shè)設(shè)zzC 58例例3 3. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即59例例4 4 .0arctan的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因?yàn)闉?,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz02

35、1darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn60例例5 5.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因因?yàn)闉?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 2216543261例例6 6.1展展為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)將將zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:, 1所所以以收收斂斂半半徑徑為為,

36、 1 內(nèi)內(nèi)進(jìn)進(jìn)行行展展開開可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為因因?yàn)闉榍笄髮?dǎo)導(dǎo)得得對(duì)對(duì))(zf,)1 ()(2zzezfz62, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz63解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴(kuò)大解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴(kuò)大概念：若概念：若f1(z)和和f2(z)分別在分別在D1,D2內(nèi)解析，且在內(nèi)解析，且在D1與與D2重疊重疊的區(qū)域中有的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則

37、稱，則稱f2(z)為為f1(z)在在D2中的解析延拓，中的解析延拓， f1(z)為為f2(z)在在D1中的解析延拓。中的解析延拓。 同一個(gè)解析函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)同一個(gè)解析函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)有不同的表達(dá)式，如例子有不同的表達(dá)式，如例子11z1z iz 64 問題：知問題：知 f(z) f(z) 在在 b b 中解中解析，是否存在析，是否存在 F(z) F(z) 在在 B B 中解中解析析b bB B ，且在，且在 b b 中中 F(z)=f(z) F(z)=f(z) 。這個(gè)過程叫解析延。這個(gè)過程叫解析延拓。拓。Bb0z解析延拓的方法解析延拓的方法 在在 b b 中取點(diǎn)中取點(diǎn)z0z0，又取，又取z0

38、z0 的一個(gè)鄰域，將的一個(gè)鄰域，將 f(z) f(z) 展開為展開為泰勒級(jí)數(shù)。如果這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域泰勒級(jí)數(shù)。如果這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域 b b 進(jìn)進(jìn)入?yún)^(qū)域入?yún)^(qū)域 B B 則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓。法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓。 可以證明，無論采用何種方法，函數(shù)可以證明，無論采用何種方法，函數(shù) f(z) f(z) 的解析延拓的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。拓。證明：利用解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性證明：利用解析

39、函數(shù)零點(diǎn)的孤立性65含參量積分：含參量積分：0,d)(01 s，xexsxs0, 0,d)1(),(1011 qp，xxxqpqp稱為格馬稱為格馬 (Gamma) 函數(shù)寫作函數(shù)寫作函數(shù)）函數(shù)）.它們?cè)趹?yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為歐拉積分，它們?cè)趹?yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為歐拉積分，稱為貝塔稱為貝塔 (Beta) 函數(shù)寫作函數(shù)寫作B函數(shù)）函數(shù)）.下面分別討論這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)下面分別討論這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì). 3.4.1 3.4.1 函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)函數(shù)661. 1. 積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮; ;函數(shù)函數(shù)0,d)(01 s，xexsxs特點(diǎn)特點(diǎn): :函數(shù)函數(shù)2. 2. 當(dāng)當(dāng) s - 1 0 s - 1 0

40、時(shí)，時(shí)，x = 0 x = 0 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn); ;寫寫函數(shù)為如下兩個(gè)積分之和：函數(shù)為如下兩個(gè)積分之和： 1110101ddd)(xexxexxexsxsxsxs)()(sJsI 其中其中 11d)(xexsJxs 101d)(xexsIxs當(dāng)當(dāng) s 1 s 1 時(shí)，為正常積分，當(dāng)時(shí)，為正常積分，當(dāng) 0 s 1 0 s 0 s 0 時(shí)收斂時(shí)收斂. . 01d)(xexsxs所以所以函數(shù)函數(shù)在在 s 0 s 0 時(shí)收斂時(shí)收斂. . 即即函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?s 0 1. 遞推公式遞推公式)()1(sss !)1(nn 2. 函數(shù)圖象的討論函數(shù)圖象的討論 yx121函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)zss

41、sin)1 ()()21(683. 延拓延拓)(s sss)1()( 4.)(s 的其他形式的其他形式令令 x = y2 , 有有 01201d2d)(2yeyxexsysxs令令 x = py , 就有就有 0101dd)(yeypxexspyssxs69函數(shù)函數(shù)0, 0,d)1(),(1011 qpxxxqpqp),(),(d)1(d)1(),(1211121011qpJqpIxxxxxxqpqpqp 當(dāng)當(dāng) p 1 p 1 時(shí)，時(shí)，I (p, q) I (p, q) 為正常積分，當(dāng)為正常積分，當(dāng) 0 p 1 0 p 1時(shí)收斂時(shí)收斂. .當(dāng)當(dāng) q 1 q 1 時(shí)，時(shí)，J (p, q) J (

42、p, q) 為正常積分，當(dāng)為正常積分，當(dāng) 0 q 1 0 q 0 , q 0 時(shí)時(shí), B(p, q) 收斂收斂.即即B(p, q)函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?p 0 , q 0701. B( p, q )在定義域在定義域 p 0, q 0 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)2. 對(duì)稱性：對(duì)稱性：B( p, q ) = B( q, p ) 3. 遞推公式遞推公式1, 0),1,(11),( qpqpqpqqp0, 1), 1(11),( qpqpqppqp1, 1),1, 1()2)(1()1)(1(),( qpqpqpqpqpqp B(p, q) B(p, q)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)714. B( p, q ) 的

43、其他形式的其他形式 2cos x令令 201212dcossin2),( pqqp則有則有令令yyx 1則有則有 01dy)1(),(qppyyqp令令ty1 則有則有 1011dy)1(),(qpqpyyyqp函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系函數(shù)之間的關(guān)系) 0, 0()()()(),( qpqpqpqp72例例計(jì)算計(jì)算).21(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)2

44、1(0121 xxxde021xxde202 73nnn 21)121()21()21(12322122 nn !)!12(2)1( nnn74例例計(jì)算計(jì)算.dsin,dsin2012202 uuuunn解解 2012121)21(2202dcossindsin uuuuunn)1()21()21(21)21,21(21 nnn !2!)!12(21nnn 2!)!2(!)!12( nn75 2012121)1(22012dcossindsin uuuuunn)23()21()1(21)21, 1(21 nnn )21()21()21()1(21nnn!)!12(!)!2( nn76一、問題的

45、引入問題問題: . , )( 00的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如果zzzzf 負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時(shí)收斂同時(shí)收斂收斂收斂kkkzza)(. 10 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù) kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 7710)( zz 令令收斂半徑收斂半徑收斂收斂時(shí)時(shí),R 101RRzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2R20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分, ,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR Rkkkzza

46、)(01kkkzza)(00 kkka 178結(jié)論結(jié)論:.201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z的收斂區(qū)域?yàn)榈氖諗繀^(qū)域?yàn)殡p邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)kkkzza)(0 79:10 內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析, ,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 2. 問題問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級(jí)數(shù)成級(jí)數(shù)?,111zz 而而1,1112 zzzz

47、zk80所以所以)1(1)(zzzf 即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù). .內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級(jí)數(shù)：也可以展開成級(jí)數(shù)：)1(1)(zzzf )1(1111zz,121 kzzzz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz81二、洛朗級(jí)數(shù)定理定理內(nèi)處處解析，在圓環(huán)域設(shè) 201)(RzzRzfC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 0z內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在那那末末Dzf )( ,)()(0kkkzzazf ), 1,0(k為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù). Ckkzf

48、ia d)()(21 10其中其中822K1KB RR21CCf f 11f(z)=d -d2i - z2i - z證證)()(1100zzzz 因因?yàn)闉閷?duì)于第一個(gè)積分對(duì)于第一個(gè)積分: :111100000zzzzzzz0zRr2R.z1RC2RC1R. 00001kkzzzz ,)()(0100 kkkzzz 83對(duì)于第二個(gè)積分對(duì)于第二個(gè)積分:( )R1C1f d2i - z)()(11 00zzzz 因因?yàn)闉?100zzz 000111zzzzz d)(21R2 Czfi所以所以kkkzza)(00 kkKkzzzfi )(d)()( 2100101 84其中其中 d)( 21R1 Czf

49、i那么那么 1010)()(kkkzzz ,)()(10110kkkzzz )()(d)()( 21011101zRzzzfiNkNkKk )(zRN d)()()( 211010 KNkkkzzfzi85下面證明下面證明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q無無關(guān)關(guān)與與積積分分變變量量 1000( )1( )d2RkNCk NfzRzszzz)()( 的連續(xù)性決定的連續(xù)性決定由由因?yàn)橐驗(yàn)橛钟謟fMf .1qMqN rqrMkNk 22186. 0)(lim zRNN所所以以101101( )d()2()RkkCkfzziz 211( )1

50、( )( )dd22RRCCfff ziziz那么那么 d)(21 R1 Czfi于是于是,)(01kkkzza 87101( )d(0, 1,2,)2()kkCfakiz 如果如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡(jiǎn)單的任何一條正向簡(jiǎn)單0z 證畢證畢 kkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 閉曲線閉曲線. .那么那么可用一個(gè)式子表示為可用一個(gè)式子表示為: :kkaa 與與88說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有

51、正、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法的一般方法. .kkkzzazf)()(0 89三、函數(shù)的洛朗展開式常用方法常用方法 : 1. : 1.直接法直接法 2. 2.間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)ka缺點(diǎn)缺點(diǎn): : 計(jì)算往往很麻煩計(jì)算往往很麻煩. .), 2, 1, 0(d)()(2110 kzfiaCkk 然后寫出然后寫出.)()(0kkkzzazf 根

52、據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, , 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 . .優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) : : 簡(jiǎn)捷簡(jiǎn)捷 , , 快速快速 . .2. 間接展開法間接展開法90四、典型例題例例1 1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)將將zezfz 解解由定理知由定理知: :,)(kkkzazf 其中其中 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei)2, 1,0(, )0(: kzC 91故由柯西故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知: :由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知: :0 ka,

53、2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故故, 3 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) k, 2在圓環(huán)域內(nèi)解析在圓環(huán)域內(nèi)解析zez92另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),. 2的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)也是函數(shù)也是函數(shù)zez93例例2 2 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的內(nèi)是處處解析的, ,試把試把 f (z) f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開

54、成洛朗級(jí)數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù). .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 z94oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以所以 nzzzz2111那么那么,1 z由于由于12 z從而從而9512oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z96 842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此時(shí)此時(shí)z

55、zz211121 , 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是于是97 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz, 121 zz此時(shí)此時(shí) 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故故98注意注意:0 z奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)奇點(diǎn)但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn) .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的是各負(fù)冪項(xiàng)的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), , 而且而且0z又是這些又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn)

56、項(xiàng)的奇點(diǎn), , 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn), ,也可能也可能)(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn).不是不是992. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)0z以后以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式式 ( (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的) )問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛100解解 z0zz

57、zfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 3. 0 sin 0洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將函函數(shù)數(shù) zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn101例例4 4. 2 )2( 01展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在將將函函數(shù)數(shù) zzz解解 , 220 內(nèi)內(nèi)在在 z ) 2(1)(zzzf 22112121zz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz 011)2(2)1(kkkkz102例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圓環(huán)域在以下圓環(huán)域求求 zzzzzf內(nèi)的洛朗展開式內(nèi)的洛朗展開

58、式. ; 21 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 221121221)(zzzzf 22111221121zzz103nnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2內(nèi)內(nèi)在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz104 iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nn

59、nnniiziz105 洛朗級(jí)數(shù)是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù), , 其解析部分是其解析部分是一個(gè)普通冪級(jí)數(shù)一個(gè)普通冪級(jí)數(shù); ; .0Rzzr ,0, 0, 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ncrz思考題答案思考題答案是一般與特殊的關(guān)系是一般與特殊的關(guān)系. . 洛朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域洛朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系? ?思考題思考題. .級(jí)數(shù)了級(jí)數(shù)了洛朗級(jí)數(shù)就退化為泰勒洛朗級(jí)數(shù)就退化為泰勒106定義：若函數(shù)定義：若函數(shù)f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0處不解析或沒有定義），處不解析或沒有定義），但在點(diǎn)但在點(diǎn)z0的某個(gè)空心鄰域的某個(gè)空心鄰域 內(nèi)解內(nèi)解析，則稱點(diǎn)析，則

60、稱點(diǎn)z0為為f (z)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。00(0)zzRR 一、孤立奇點(diǎn)的概念例例10 z是函數(shù)是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).1 z是函數(shù)是函數(shù)11 z的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn). .注意注意: : 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn), , 但奇點(diǎn)不一定是孤但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn). .107例例2 2 指出函數(shù)指出函數(shù)0 z在點(diǎn)在點(diǎn)zzzf1sin)(2 的奇點(diǎn)特性的奇點(diǎn)特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), , 的奇點(diǎn)存在的奇點(diǎn)存在, , 函數(shù)的奇點(diǎn)為函數(shù)的奇點(diǎn)為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點(diǎn)不