第8-9講力平衡微分方程

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第八講第八講Lesson Eight李振紅李振紅Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程學院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2022-2-12o 為了進行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計算，需要建立變?yōu)榱诉M行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計算，需要建立變形力學的有關方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方程形力學的有關方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方程

2、和應力邊界條件方程）；幾何方程（包括應變與位移關和應力邊界條件方程）；幾何方程（包括應變與位移關系方程和變形協(xié)調方程）；物理方程（包括塑性條件方系方程和變形協(xié)調方程）；物理方程（包括塑性條件方程和應力與應變關系方程）等。程和應力與應變關系方程）等。力平衡微分方程有力平衡微分方程有3個；個；幾何方程有幾何方程有6個；個；物理方程有物理方程有6個；個；塑性條件方程有塑性條件方程有1個個一般塑性加工力學問題需要建立這一般塑性加工力學問題需要建立這16個方程。本章著重個方程。本章著重講解這些方程的導出及其相關的物理含義。講解這些方程的導出及其相關的物理含義。2022-2-13第五章 變形力學方程主要內

3、容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服條件 o 應力應變關系方程 o 等效應力、等效應變 o 平面變形和軸對稱變形 2022-2-145.1 力平衡微分方程o 一般情況下，變形體內各點的應力狀態(tài)一般情況下，變形體內各點的應力狀態(tài) 是是不同的，不能僅用一點的應力狀態(tài)描述或表不同的，不能僅用一點的應力狀態(tài)描述或表示整個變形體的受力情況。但是變形體內各示整個變形體的受力情況。但是變形體內各點間的應力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各點間的應力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各應力分量必須滿足靜力平衡關系應力分量必須滿足靜力平衡關系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-2-155.1.1

4、 直角坐標系的力平衡微分方程 o 設變形體內有兩相鄰點設變形體內有兩相鄰點a及及a1，a點的坐標為點的坐標為x、y、z，a1點的坐標為點的坐標為x+dx、y+dy、z+dz，通過通過a及及a1點各作互相垂直的三個坐標面，點各作互相垂直的三個坐標面，圍成一個微分六面體。在此微分體上作用著圍成一個微分六面體。在此微分體上作用著法線應力和切應力。法線應力和切應力。 2022-2-16zxydxxxxdzzzxzxdyyyxyxyxzxx2022-2-17o 通過通過a點的點的x平面上作用著平面上作用著 ，而，而通過通過a1點的點的x平面上作用著平面上作用著 zyxfx,zydxxfx,1222,!

5、21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可簡化為可簡化為 dxxxxx1其它各應力分量同理可得。其它各應力分量同理可得。 2022-2-18o 如果不考慮慣性力，按靜力平衡如果不考慮慣性力，按靜力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxzxdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-2-19o 同理，由同理，由 、 有類似的結果有類似的結果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij0jijfi高速塑性加工時，高速塑性加工時，慣性力不可忽略慣性力不可忽略 求和約定得形式

6、求和約定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X2022-2-110o 力平衡微分方程反映了變形體內正應力的變力平衡微分方程反映了變形體內正應力的變化與切應力變化的內在聯(lián)系和平衡關系，可化與切應力變化的內在聯(lián)系和平衡關系，可用來分析和求解變形區(qū)的應力分布。用來分析和求解變形區(qū)的應力分布。 2022-2-1115.1.2 柱面坐標系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr2022-2-1125.1.3 應力邊界條件及摩擦應力邊界條件及摩擦 o 過變形體外表面上任意點，單位表面力與過過變形體外表面上任意點，

7、單位表面力與過該點的三個坐標面上的應力分量的關系如下該點的三個坐標面上的應力分量的關系如下式所示式所示 nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxiijjlp或或該式就是應力邊界條件方程該式就是應力邊界條件方程 2022-2-113應力邊界條件的種類 o 自由表面自由表面 一般情況下，在工件的自由表面上，既一般情況下，在工件的自由表面上，既沒有正應力，也沒有切應力作用。沒有正應力，也沒有切應力作用。 自由表面自由表面2022-2-114o 工件與工具的接觸表面工件與工具的接觸表面 在此邊界上，既有壓縮正應力的作用，在此邊界上，既有壓縮正應力的作用，也有摩擦應力的作用。也有摩擦

8、應力的作用。 接觸表面接觸表面2022-2-115o 變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面 在此界面上作用的應力，可能來自兩區(qū)在此界面上作用的應力，可能來自兩區(qū)本身的相互作用，也可能來自特意加的外力本身的相互作用，也可能來自特意加的外力作用。作用。 剛塑性交界面剛塑性交界面2022-2-116金屬塑性加工中的接觸摩擦 o 在金屬塑性加工過程中，由于變形金屬與工在金屬塑性加工過程中，由于變形金屬與工具之間存在正壓力及相對滑動（或相對滑動具之間存在正壓力及相對滑動（或相對滑動趨勢），這就在二者之間產生摩擦力作用。趨勢），這就在二者之間產生摩擦力作用。這種接觸摩擦力，不僅是變形力學計算的

9、主這種接觸摩擦力，不僅是變形力學計算的主要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時甚至要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時甚至是能否成型的關鍵因素。是能否成型的關鍵因素。 2022-2-117庫侖摩擦定律 fPT nff或或TPfnf式中式中 摩擦力摩擦力正壓力正壓力摩擦切應力（單位摩擦力）摩擦切應力（單位摩擦力）壓縮正應力壓縮正應力摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)2022-2-118o 由于摩擦系數(shù)受應力狀態(tài)的影響，而且很難由于摩擦系數(shù)受應力狀態(tài)的影響，而且很難測準。因此，許多研究者建議采用如下的摩測準。因此，許多研究者建議采用如下的摩擦關系擦關系 mkffkm0 . 10m式中式中 摩擦切應力摩擦切應力接觸層工件的

10、屈服切應力接觸層工件的屈服切應力摩擦因子摩擦因子2022-2-119第五章 變形力學方程主要內容主要內容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服條件屈服條件 o 應力應變關系方程應力應變關系方程 o 等效應力、等效應變等效應力、等效應變 o 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 2022-2-1205.2 屈服條件屈服條件影響金屬屈服的主要因素影響金屬屈服的主要因素 o 在外力作用下，金屬由彈性狀態(tài)過渡到塑性在外力作用下，金屬由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)，主要取決于變形金屬的狀態(tài)，主要取決于變形金屬的機械性能機械性能、變變形條件形條件和所受的和所受的應力狀態(tài)應力狀態(tài)。

11、o 金屬本身的機械性能是決定金屬屈服的內因金屬本身的機械性能是決定金屬屈服的內因o 變形條件和應力狀態(tài)是金屬屈服的外因。變形條件和應力狀態(tài)是金屬屈服的外因。 2022-2-121sTij2022-2-122o 由這三種因素合成的作用，金屬屈服的表達式由這三種因素合成的作用，金屬屈服的表達式為為o 在同樣的變形條件下，采用同一種金屬材料，在同樣的變形條件下，采用同一種金屬材料，那么屈服就只與應力狀態(tài)有關了那么屈服就只與應力狀態(tài)有關了o 式中式中 f 又稱為屈服函數(shù)。又稱為屈服函數(shù)。 時，材料屈時，材料屈服服ijijijsTfy,ijfyCfij2022-2-123123單向拉伸材料屈服時，有單向

12、拉伸材料屈服時，有Cfsij1?ijf改變應力狀態(tài)時，改變應力狀態(tài)時，2022-2-124o 在復雜應力狀態(tài)下，各應力分量同簡單應力在復雜應力狀態(tài)下，各應力分量同簡單應力狀態(tài)下試驗確定的狀態(tài)下試驗確定的 或或 具有什么樣的關具有什么樣的關系時，金屬才能屈服？系時，金屬才能屈服？o 這個關系就是屈服條件（又稱塑性條件、屈這個關系就是屈服條件（又稱塑性條件、屈服準則、塑性方程）。服準則、塑性方程）。sk2022-2-125實際金屬材料的屈服條件是相當復雜的。因此實際金屬材料的屈服條件是相當復雜的。因此對金屬材料要做如下簡化：對金屬材料要做如下簡化：o 金屬是各向同性的均質體；金屬是各向同性的均質體

13、；o 假定金屬具有明顯的屈服極限；假定金屬具有明顯的屈服極限；o 無包辛格效應；無包辛格效應；o 金屬的屈服不受靜水壓力的影響。金屬的屈服不受靜水壓力的影響。 2022-2-1265.2.1 Tresca最大切應力理論最大切應力理論 o 對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應力狀態(tài)，也不管坐標軸如何選取，論什么應力狀態(tài)，也不管坐標軸如何選取，只要最大切應力只要最大切應力 達到某個臨界值，則材達到某個臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉變，即發(fā)生屈服料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉變，即發(fā)生屈服 maxC231max2022-2-127o 由于金屬的屈服是一

14、物理現(xiàn)象，對于不同的由于金屬的屈服是一物理現(xiàn)象，對于不同的應力狀態(tài)，常數(shù)應力狀態(tài)，常數(shù) C 應相同，所以可以由一些應相同，所以可以由一些簡單應力狀態(tài)確定之。簡單應力狀態(tài)確定之。 o 單向拉伸時，單向拉伸時， ， Css220231max即即s31s10232022-2-128o 薄壁管扭轉時，薄壁管扭轉時， ， 屈服時屈服時所以屈服條件為所以屈服條件為 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy31k2312 2sskk或由于常數(shù)由于常數(shù) C 一定，有一定，有2022-2-129o 最大切應力理論的屈服函數(shù)為最大切應力理論的屈服函數(shù)為 231ijf當當kfsij2231時，金屬屈服時，金屬屈服

15、2022-2-1305.2.2 Mises屈服條件屈服條件 o 對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應力狀態(tài)，也不管坐標軸如何選取，論什么應力狀態(tài)，也不管坐標軸如何選取，只要偏差應力張量第二不變量只要偏差應力張量第二不變量 達到某個達到某個臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉變，臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉變，即發(fā)生屈服。即發(fā)生屈服。 2I常數(shù)2222zxyzxyxzzyyxI2022-2-131o 經過變換經過變換o 取主坐標系時取主坐標系時 常數(shù)222222261zxyzxyxzzyyxI常數(shù)213232221261I其中的常數(shù)由簡單實

16、驗確定其中的常數(shù)由簡單實驗確定2022-2-132o 單向拉伸時，單向拉伸時， ， 則則s1023221323222123161sI22132322212s或或o 薄壁管扭轉時，薄壁管扭轉時， 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy312k常數(shù)屈服時屈服時則2022-2-133o 因此因此Mises屈服條件為屈服條件為或或 22222222626kszxyzxyxzzyyx 2221323222162kssk由由Mises屈服條件得到屈服條件得到 與與 的關系為的關系為 3 3sskk或2022-2-134o Mises屈服條件的屈服條件的屈服函數(shù)為屈服函數(shù)為o 對于屈服函數(shù)對于屈服函數(shù)

17、，此時材料處于屈服，此時材料處于屈服狀態(tài)，當狀態(tài)，當 時，材料處于彈性狀態(tài)，時，材料處于彈性狀態(tài)，而對于而對于 ，破壞了屈服條件。，破壞了屈服條件。21323222161ijfCfijCfijCfij2022-2-135Mises屈服條件的物理解釋屈服條件的物理解釋 o 由單位體積內形狀改變的彈性能達到一定值由單位體積內形狀改變的彈性能達到一定值時發(fā)生屈服，即時發(fā)生屈服，即 Cuijij21也可以導出也可以導出Mises屈服條件。故屈服條件。故Mises屈服條件屈服條件也稱為也稱為形變能定值定理形變能定值定理。 2022-2-136屈服條件的幾何解釋屈服條件的幾何解釋 o 方程方程 為一與坐標

18、軸成等傾斜的圓柱面，而為一與坐標軸成等傾斜的圓柱面，而則為主坐標系下的一與主坐標軸成等傾斜的圓則為主坐標系下的一與主坐標軸成等傾斜的圓柱面。柱面。2221323222162ks2222axzzyyx2022-2-137oNrPn 1 1 2 2 3 3柱面上一點就表示變形體處于某一應力屈服狀態(tài)。柱面上一點就表示變形體處于某一應力屈服狀態(tài)。 2022-2-138P點坐標為點坐標為 ，而，而 321、2322212oPoPmoN331321on on 為一與坐標軸成等傾斜的軸線，則為一與坐標軸成等傾斜的軸線，則 在在onon上上的投影的投影2022-2-139232123222122231oNoP

19、PN21323222131232221mmm2322211332213322212321222mmmm221223222122232022-2-140o 把把Mises屈服條件代入上式，則屈服條件代入上式，則 kPNs232即圓柱面的半徑為即圓柱面的半徑為 krs2322022-2-141o 因為靜水壓力對屈服沒有影響，僅偏差應力因為靜水壓力對屈服沒有影響，僅偏差應力分量與屈服有關，所以分量與屈服有關，所以 大小對屈服沒有大小對屈服沒有影響，僅影響，僅 與屈服有關?？梢粤钆c屈服有關。可以令 ，則完全可以由通過原點且垂直于圓柱軸線的則完全可以由通過原點且垂直于圓柱軸線的平面表示屈服。該平面平面表

20、示屈服。該平面稱為稱為 平面平面，該平面，該平面與圓柱面的交線稱為與圓柱面的交線稱為屈服曲線屈服曲線。 oNPN0oN2022-2-142Mises屈服條件在屈服條件在 平面上的屈服曲線為圓，平面上的屈服曲線為圓，Tresca屈服屈服條件在條件在 平面上的屈服曲線為該圓的內接正六邊形。平面上的屈服曲線為該圓的內接正六邊形。 1 1 2 2 3 3ABCDO2022-2-143on 1 1 2 2 3 3oNrPn 1 1 2 2 3 32022-2-144屈服條件總結 o Mises屈服條件在主應力坐標空間是一個無屈服條件在主應力坐標空間是一個無限長的圓柱面，其軸線與坐標軸成等傾斜，限長的圓柱

21、面，其軸線與坐標軸成等傾斜，其半徑其半徑 。這個柱面稱。這個柱面稱為屈服曲面。為屈服曲面。 kPNrs2322022-2-145o 因為靜水壓力對屈服沒有影響，所以因為靜水壓力對屈服沒有影響，所以 大大小對屈服沒有影響?？梢粤钚η]有影響?？梢粤?即得，即得，o 該平面稱為該平面稱為 平面，該平面與圓柱面的交線平面，該平面與圓柱面的交線稱為屈服曲線。稱為屈服曲線。 oN0oN03212022-2-146o 表示一點應力狀態(tài)的任一點表示一點應力狀態(tài)的任一點 （ ），），若處在屈服曲面以內，則該點處于彈性狀態(tài)；若處在屈服曲面以內，則該點處于彈性狀態(tài)；若處在屈服曲面上，則該點處于塑性狀態(tài)。若處在

22、屈服曲面上，則該點處于塑性狀態(tài)。若材料經過預變形，則由于加工硬化，屈服若材料經過預變形，則由于加工硬化，屈服極限增大，屈服曲面半徑增大。屈服時點依極限增大，屈服曲面半徑增大。屈服時點依然在曲面上。故實際應力狀態(tài)不可能落在屈然在曲面上。故實際應力狀態(tài)不可能落在屈服曲面外。服曲面外。 P321、2022-2-147o 在在 平面上，平面上，Tresca屈服條件為屈服條件為Mises屈服條屈服條件的內接正六邊形。當已知件的內接正六邊形。當已知 時，時，平面上的屈服曲線只有平面上的屈服曲線只有AB段，其余都是虛段，其余都是虛構的。構的。 3212022-2-148屈服條件的實驗驗證屈服條件的實驗驗證

23、PMM x x xy xy泰勒和奎奈實驗結果泰勒和奎奈實驗結果1Tresca；2MisesP00.10.20.30.40.50.60.20.40.60.81.0鋼鋼銅銅鋁鋁 x / s xy / s122022-2-149第五章 變形力學方程主要內容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服條件 o 應力應變關系方程 o 等效應力、等效應變 o 平面變形和軸對稱變形 2022-2-1505.3 應力應變關系方程o 塑性變形時應力與應變的關系稱為本構關系，塑性變形時應力與應變的關系稱為本構關系，其數(shù)學表達式稱為其數(shù)學表達式稱為本構方程本構方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxij

24、ijf,2022-2-1515.3.1 彈性變形時的應力應變關系彈性變形時的應力應變關系彈性變形的特點彈性變形的特點o 應力與應變完全成線性關系，即應力主軸與應力與應變完全成線性關系，即應力主軸與全量應變主軸重合全量應變主軸重合o 彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程無關），應力與應變之間存在統(tǒng)一的單值關無關），應力與應變之間存在統(tǒng)一的單值關系系o 彈性變形時，應力張量使物體產生體積變化，彈性變形時，應力張量使物體產生體積變化，泊松比小于泊松比小于0.52022-2-152o 虎克定律虎克定律o 廣義虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：彈性模量v：泊松比：

25、泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-2-153zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1則則xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-2-154o 同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克羅內克兒記號克羅內克兒記號 2022-2-155o 彈性變形的比列及差比形式彈性變形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21

26、Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-2-156廣義虎克定律的矩陣形式廣義虎克定律的矩陣形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-2-1575.3.2 塑性變形時的應力應變關系塑性變形時的應力應變關系塑性變形的特點塑性變形的特點o 體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.5o 應力、應變?yōu)榉蔷€性關系應力、應變?yōu)榉蔷€性關系 o 全量應變與應力主軸不一定重全量應變與應力主軸不一定重合合 o 塑性變化不可逆塑性變化不可逆無單

27、值一無單值一一對應關系一對應關系與加載路徑有與加載路徑有關關 o 對于應變硬化材料，卸載后的對于應變硬化材料，卸載后的屈服應力比初始屈服應力高屈服應力比初始屈服應力高2022-2-158應變增量與小變形及大變形的關系應變增量與小變形及大變形的關系o 應變增量應變增量 與小變形與小變形 數(shù)值大小處于同一數(shù)值大小處于同一數(shù)量級，都屬于無窮小量；數(shù)量級，都屬于無窮小量；o 大變形是對應變增量進行積分獲得的大變形是對應變增量進行積分獲得的ddd2022-2-159塑性變形時應力與應變的關系塑性變形時應力與應變的關系o 增量理論增量理論 PrantlReuss理論理論 LevyMises理論理論 o 全

28、量理論全量理論 Hencky小變形理論小變形理論 2022-2-160PrantlReuss理論理論基本觀點基本觀點o o 應力與應變的位向關系應力與應變的位向關系塑性應變增量塑性應變增量主軸與應力主軸一致主軸與應力主軸一致應力與應變的分配關系應力與應變的分配關系 在任意加載瞬間，塑性應變增量各分量在任意加載瞬間，塑性應變增量各分量與該與該瞬時瞬時相應的各偏差應力分量成比例相應的各偏差應力分量成比例2022-2-161數(shù)學表達式數(shù)學表達式 dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-2-162對對PR理論的解釋理論的解釋 o 應變增量主軸與應力主軸

29、重合的含義：若在應變增量主軸與應力主軸重合的含義：若在某一方向加載某一方向加載 ，則在該方向必產生，則在該方向必產生o 應力與應變增量分配關系的含義：把塑性應應力與應變增量分配關系的含義：把塑性應變增量與應力在數(shù)學上聯(lián)系起來變增量與應力在數(shù)學上聯(lián)系起來 o 是一個非零非負的瞬時比例系數(shù)，是一個非零非負的瞬時比例系數(shù)， 時，時，表示彈性變形，表示彈性變形， 時，無實際情況與其時，無實際情況與其對應。對應。11dd0d0d2022-2-163PrantlReuss方程方程o 總的應變增量是彈性與塑性變形增量之和，總的應變增量是彈性與塑性變形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijm

30、ij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-2-164ddGdijijij21 該式稱為該式稱為PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差變形增量與偏差應力之間的關系偏差變形增量與偏差應力之間的關系 2022-2-165適用范圍適用范圍 o 該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性變形。變形。2022-2-166LevyMises理論理論o 基本觀點基本觀點o o 應力與應變的位向關系應力與應

31、變的位向關系應變增量應變增量主軸與應力主軸一致主軸與應力主軸一致應力與應變的分配關系應力與應變的分配關系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，應變增量應變增量各分量與該各分量與該瞬時瞬時相應的各偏差應力分量成比例相應的各偏差應力分量成比例塑性塑性2022-2-167數(shù)學表達式數(shù)學表達式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd2022-2-168對對LM理論的說明理論的說明o 與與PrantlReuss理論相比，理論相比， LevyMises理理論只適用于大塑性變形問題；論只適用于大塑性變形問題；o 又稱為又稱為LevyMises流動法則流動法則；o 同樣用于應變速率同樣

32、用于應變速率 ijijijijddtddtd2022-2-169)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-2-170全量理論全量理論 o 全量理論建立了全應變與應力的關系。其中全量理論建立了全應變與應力的關系。其中比較由影響的是比較由影響的是Hencky小變形理論。小變形理論。2022-2-171加載條件加載條件 o 簡單加載簡單加載 在加載過程中，應力張量各分量按同樣的在加載過程中，應力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即比例增加，也稱為比例加載。即 。例：。例： 0iji

33、jc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，則，則簡單加載的特點：加載過程中，應力主軸不動。簡單加載的特點：加載過程中，應力主軸不動。 o 復雜加載：加載過程中各應力分量之間無規(guī)律可循。復雜加載：加載過程中各應力分量之間無規(guī)律可循。 2022-2-172Hencky小變形理論小變形理論基本觀點基本觀點o 應力與應變的位向關系應力與應變的位向關系 塑性應變塑性應變主軸與應力主軸一致。主軸與應力主軸一致。o 應力與應變的分配關系應力與應變的分配關系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，塑性應變塑性應變各分量與該各分量與該瞬時相應的各偏差應力分量成比例。瞬時相應的各偏差應力

34、分量成比例。 2022-2-173數(shù)學表達式數(shù)學表達式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-2-174o 總的變形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-2-175小變形理論用于大變形小變形理論用于大變形o 對于大塑性變形，僅用于對于大塑性變形，僅用于簡單加載條件簡單加載條件，此，此時應力與應變主軸在加載過程中不變，并用時應力與應變主軸在加載過程中不變，并用對數(shù)變形計算主應變。對數(shù)變形計算主應變。o 取主軸時：取主軸時： 1122332121221221221或或2022-2-176o 因此因此1313323221212022-2-177第五

35、章 變形力學方程主要內容主要內容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服條件屈服條件 o 應力應變關系方程應力應變關系方程 o 等效應力、等效應變等效應力、等效應變 o 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 2022-2-1785.4 等效應力、等效應變等效應力、等效應變o 把把 s看成經過某一變形程度看成經過某一變形程度下的單向應力狀態(tài)的屈服極下的單向應力狀態(tài)的屈服極限限,則可稱則可稱 s為為變形抗力變形抗力。ABCD o 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點，然后卸載到點，然后卸載到D點，如點，如果再在同方向上拉伸，便近似認為在原來開始卸載果再在同方向

36、上拉伸，便近似認為在原來開始卸載時所對應的應力附近（即點時所對應的應力附近（即點C處）發(fā)生屈服。這一處）發(fā)生屈服。這一屈服應力比退火狀態(tài)的初始屈服應力提高，是由于屈服應力比退火狀態(tài)的初始屈服應力提高，是由于金屬加工硬化的結果。所以在單向拉伸的情況下，金屬加工硬化的結果。所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極不論對初始屈服應力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為限，統(tǒng)稱為金屬變形抗力金屬變形抗力。 2022-2-1795.4.1 等效應力等效應力o s是單向拉伸是單向拉伸的情況下得到的情況下得到的，那么對于的，那么對于復雜應力狀態(tài)，復雜應力狀態(tài)， s與什么對應？與什

37、么對應？ 1232022-2-180o 由由Mises屈服條件屈服條件2221323222162ks可以改寫為可以改寫為s213232221212022-2-181o 若令若令se21323222121e則金屬屈服時有則金屬屈服時有則為則為等效應力等效應力，等效于單向拉伸時的應力狀態(tài)。，等效于單向拉伸時的應力狀態(tài)。 e2022-2-182o 對于單向拉伸對于單向拉伸s1時，金屬處于彈性狀態(tài)時，金屬處于彈性狀態(tài)s1時，金屬進入塑性狀態(tài)時，金屬進入塑性狀態(tài)同樣同樣，復雜應力狀態(tài)時，復雜應力狀態(tài)時，se時，金屬處于彈性狀態(tài)時，金屬處于彈性狀態(tài)se時，金屬進入塑性狀態(tài)時，金屬進入塑性狀態(tài)2022-2-

38、183o 在一般應力狀態(tài)下，等效應力為在一般應力狀態(tài)下，等效應力為 2222222621 3zxyzxyxzzyyxeI當材料屈服時有當材料屈服時有 kse3其中其中 s，為單向應力狀態(tài)下獲得的屈服極限，為單向應力狀態(tài)下獲得的屈服極限 2022-2-1845.4.2 等效應變等效應變o 在簡單應力狀態(tài)下，我們可以得到一條應在簡單應力狀態(tài)下，我們可以得到一條應力力應變關系曲線，若知道了變形程度，則應變關系曲線，若知道了變形程度，則其所對應的應力，從該曲線上也可以得到。其所對應的應力，從該曲線上也可以得到。o 那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件

39、下，等效應力取決于變形變形速度條件下，等效應力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應力狀態(tài)是否存程度。如果這樣的話，一般應力狀態(tài)是否存在這一應力在這一應力應變關系曲線？應變關系曲線？ 2022-2-185o 金屬的加工硬化程度取決于金屬內的變形潛金屬的加工硬化程度取決于金屬內的變形潛能，一般應力狀態(tài)和簡單應力狀態(tài)在加工硬能，一般應力狀態(tài)和簡單應力狀態(tài)在加工硬化程度上等效，意味著兩者的變形潛能相同?；潭壬系刃В馕吨鴥烧叩淖冃螡撃芟嗤?。變形潛能取決于塑性變形功耗。變形潛能取決于塑性變形功耗。o 可以認為，如果一般應力狀態(tài)和簡單應力狀可以認為，如果一般應力狀態(tài)和簡單應力狀態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩

40、者在加工硬化態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工硬化程度上等效。程度上等效。 2022-2-186o 取主軸時，對于微小的塑性應變增量，單位取主軸時，對于微小的塑性應變增量，單位體積內的塑性變形功為體積內的塑性變形功為 332211ddddAp按矢量積有按矢量積有 cosdddAp 由增量理論，塑性應變增量主軸與偏差應力主軸重合由增量理論，塑性應變增量主軸與偏差應力主軸重合 ddAp2022-2-187o 由由Mises由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡半徑半徑 2322212PN21323222131矢量矢量 的模的模 ePN32312132322212022-2-1

41、88o 而矢量而矢量 的模的模 232221dddddeepddA令令則找到則找到 23222132dddde21323222192ddddddddApe322022-2-189 此式表示的應變增量此式表示的應變增量 就是主軸時的就是主軸時的等效應變增量等效應變增量ed21323222192ddddddde比例加載時，即比例加載時，即 eedddd3322112322212132322213292ee為等效應變?yōu)榈刃?2022-2-19021323222192ddddddde等式兩邊分別除以變形時間等式兩邊分別除以變形時間dt，則得到，則得到21323222192e2022-2-1915.

42、4.3 等效應變與等效應力的關系等效應變與等效應力的關系o 由由LevyMises流動法則，流動法則， ijijdd21323222192ddddddde代入代入213232221292dde213232221292d2022-2-192o 得到得到eedd32eedd23或或此式即為等效應變增量此式即為等效應變增量與等效應力的關系與等效應力的關系 則則LevyMises流動法則可以寫成流動法則可以寫成 ijeeijdd232022-2-193o 這樣，由于引入等效應變增量這樣，由于引入等效應變增量 與等效應與等效應力力 ，則本構方程中的比例系數(shù)，則本構方程中的比例系數(shù) 便可以便可以確定，從而也就可以求出應變增量的具體數(shù)確定，從而也就可以求出應變增量的具體數(shù)值。值。 eded2022-2-1945.4.4 曲線曲線變形抗力曲線變形抗力曲線o 不論是一般應力狀態(tài)還是簡單應力狀態(tài)作出不論是一般應力狀態(tài)還是簡單應力狀態(tài)作出的的 曲線，就是曲線，就是 曲線，此曲線也叫曲線，此曲線也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應力曲變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應力曲線。目前常用以下四種簡單應力狀態(tài)的試驗線。目前常用以下四種簡單應力狀態(tài)的試驗來做金屬變形抗力曲線。來做金屬變形抗力曲線。 eeeese2022-2-195o 單向