九年級數學下冊3.6直線和圓的位置關系解決與圓的切線有關問題的方法素材(新版)北師大版

1、解決與圓的切線有關問題的方法利用圓的切線性質和其判定定理解決一些有關圓的切線問題時，中“連結”就是一種重要的輔助線作法。即利用圓的切線進行運算或證明時，通常要把切點與圓心連結起來，充分利用“垂直”來解決問題；在證明圓的切線時，把該直線和圓的交點 與圓心連結結起來，證明此半徑垂直于該直線即可。下面通過幾例，讓我們一起來體會一下“連結”的妙用。一、利用圓的切線進行運算例 1 如圖 1，在同心圓O0 中，大圓的弦 AB 切小圓于點 C,且 AB=6cm 求圓環(huán)的面積。分析：因為大圓的弦 AB 切于小圓 C 點，所以連結 0C 可得 OdAB 進而根據垂徑定理求得1AC=丄 AB=3。圓環(huán)的面積是大圓

2、面積與小圓面積的差，連結0A 此時 0A 為大圓半徑，0C 為2小圓半徑，在 Rt A0C 中，禾 U 用勾股定理可求出 (0A2- 0C)的值，就可求出圓環(huán)的面積。解：連結 0C 0A1/ AB 切小圓于點 C 0CL AB AC=AB=32在 Rt A0C 中,/ OA OC=AC=92 2 2 2 22 S圓環(huán)=S大圓S小圓=0A兀0C兀=(0A -0C)兀=AC兀=9兀(cm )答：圓環(huán)的面積是 9ncm?。二、利用圓的切線進行證明 例 2:如圖 2, AB 為O0 的直徑，C 為O0 上一點，AD 與過點 C 的切線互相垂直，垂足為 D。求證：AC 平分/ DABn通常要添加輔助線，

3、其2分析：要證明 AC 平分/ DAB 就是要證/ 仁/2。C 為切點，連結 0C 可得 OCL AC 進而證得 AD/ OC得到/ 1 = / 3,其它問題就會迎刃而解。 證明：連結 OC/ CD 為 O 的切線 OCL CD又 ADLCDAD/ OC仁/ 3/ OA=OC2=Z3仁/ 2即 AC 平分/ DAB三、證明圓的切線例 3,如圖 3，在AEF 中，/ BAC 的平分線 AD 與AEF 的外接圓OO 交于 D 點，過 D 點作 BC/ EF,分別交 AE 和 AF 的延長線于點 B 和點 G求證：BC 為OO 的切線。分析：要證明 BC 為OO 的切線，根據切線的判定定理需要兩個條

4、件：BC 要過半徑的外端； BC 要與這條半徑垂直?，F在 BC 恰好過OO 上的一點 D,連結 OD 條件就自然具備了，只要證明ODLBC 問題就會解決。因為 AD 平分/ BAC 所以可得DE二DF，根據垂徑定理可知 ODLEF,再利用 EF/ BC,可證得 ODLBG證明：連結 OD/ AD 平分/ BACDE =DF/ OD 為 O 的半徑 ODLEF3又 EF/ BC試一試:1 如圖 4, AB 為OO 的直徑，OO 過 BC 上一點 D,過 D 作 DEI AC 于 E 點。2 如圖 5,在OO 中，半徑 OA! OB 弦 BC 交 OA 于點 D, E 為 OA 延長線上的一點，且 EC=ED 求證：EC 是OO 的切線。參考答案：1.提示：連結 OD 可得 ODLDE=因為 DEL AC,所以 OD/ AC,由 OA=O 呵證得，OD 為ABC的中位線，所以 BD=CD2.提示：連結 OC 在 Rt BOD 中，/ OBD-ZODB=90由 EC=ED 得ZEDCZECD=/ BDO 由 OB=O（得ZOBDZOCD所以ZOCD-