292反證法張鳳娟

1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教材華 師 版 29.2 反證法反證法輝縣市城北中學(xué)輝縣市城北中學(xué) 張鳳娟張鳳娟 中國古代有一個叫中國古代有一個叫路邊苦路邊苦李李的故事：王戎的故事：王戎7歲時，與小伙歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不摘取果子，只有王戎站在原地不動。有人問王戎為什么？動。有人問王戎為什么？王戎回答說：王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李。樹在道邊而多子，此必苦李。”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李。小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李。 王戎是怎樣知道李子是苦的呢？他運(yùn)用了怎

2、王戎是怎樣知道李子是苦的呢？他運(yùn)用了怎樣的推理方法？樣的推理方法？解析：解析：由由C=90C=90可知是直角三可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知角形，根據(jù)勾股定理可知 a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三邊有何關(guān)系？為什三邊有何關(guān)系？為什么？么？A AC CB Ba ab bc c探究：探究：假設(shè)假設(shè)a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理的逆定理可，由勾股定理的逆定理可知三角形知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形

3、，且C=90C=90，這與，這與已知條件已知條件C90C90矛盾。假設(shè)不成立，從而說矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論明原結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CB B 若將上面的條件改為若將上面的條件改為“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，請，請問結(jié)論問結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立嗎？請說明成立嗎？請說明理由。理由。a ab bc c問題問題：l自學(xué)課本自學(xué)課本80頁到頁到81頁，寫下摘要疑惑頁，寫下摘要疑惑l1、摘要、摘要：l什么叫反證法：什么叫反證法：l反證法證題的基本步驟：反

4、證法證題的基本步驟：l（1） 命題的結(jié)論的反面是正確的；（反設(shè)）命題的結(jié)論的反面是正確的；（反設(shè)）l（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與_ 矛矛 盾；（歸謬）盾；（歸謬）l（3）由）由 判定假設(shè)不正確，從而判定假設(shè)不正確，從而 命題的結(jié)命題的結(jié)論是正論是正確的.（結(jié)論）結(jié)論）l2、疑惑、疑惑：在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證：求證：B B C CA AB BC C證明：假設(shè)證明：假設(shè) ，則則 （ ）這與這與矛盾矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立B B C CABABACAC等角對等邊等角對等邊已知已知ABACABACB B C C小結(jié)：小結(jié)：

5、反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立邏輯推理得出矛盾邏輯推理得出矛盾肯定原結(jié)論正確肯定原結(jié)論正確.那么過那么過O，O兩點就有兩點就有_條直線，這與條直線，這與“過兩過兩點點 ”矛盾，所以假設(shè)不成立，矛盾，所以假設(shè)不成立，則則 。求證：兩條直線相交只有一個交點求證：兩條直線相交只有一個交點.已知：已知： ； 求證：求證： ；CBADO兩條兩條相交直相交直線線AB與與CDAB與與CD只有一個交點只有一個交點.兩兩有且只有一有且只有一條條直直線線。AB與與CD只有一個交點只有一個交點.O證明：假設(shè)證明：假設(shè)AB，CD相交于兩個交點相交于兩個交點O與與O，例例1 1求證：如

6、果兩條直線都和第三條直線平行，求證：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。那么這兩條直線也互相平行。(1)你首先會選擇哪一種證明方法？你首先會選擇哪一種證明方法？(2)如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？什么產(chǎn)生矛盾？定理定理幾何語言表示：幾何語言表示：ac，bc， ab例例2 2A A 證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a與與b b不平行不平行，則可設(shè)它們相交于，則可設(shè)它們相交于點點A A。 小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出的結(jié)論，除了可以與根據(jù)假設(shè)推出的結(jié)論，除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的

7、定理、公理矛盾定理、公理矛盾. 已知：如圖有已知：如圖有a a、b b、c c三條直線，且三條直線，且a/c,b/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/babc那么過點那么過點A A 就有就有兩條直線兩條直線a a、b b與直線與直線c c平行，平行，這與這與“過直線外一點有且只有一條直線與已過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行知直線平行”矛盾矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。 a/b.a/b. 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于于或等于6060。已知：已知：ABCABC求證：求證：ABCABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于中至少有一個

8、內(nèi)角小于或等于6060. .證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則。，即即。這與這與矛盾假設(shè)不成立矛盾假設(shè)不成立ABCABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于中沒有一個內(nèi)角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180A+B+C180A+B+C180三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180180度度ABCABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于中至少有一個內(nèi)角小于或等于6060. .點撥：點撥：“至少至少”的反面是的反面是“沒有沒有”，“至多至多”的反面是的反面是“不止不止”！例例3 3已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=A

9、CAB=AC，APBAPCAPBAPC。求證：求證：PBPCPBPCA AB BC CP P證明：假設(shè)證明：假設(shè)PB=PCPB=PC。 在在ABPABP與與ACPACP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（公共邊）（公共邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S)S.S.S) APB=APC( APB=APC(全等三角形對應(yīng)邊全等三角形對應(yīng)邊相等）相等） 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾，矛盾，假設(shè)不成立假設(shè)不成立. . PBPC PBPC 美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明,小偷翻進(jìn)小偷翻

10、進(jìn)鮑克家偷走了許多東西鮑克家偷走了許多東西,根據(jù)跡象表明小偷就根據(jù)跡象表明小偷就是本村人是本村人,華盛頓靈機(jī)一動華盛頓靈機(jī)一動,對全村人講起了對全村人講起了故事故事:“黃蜂是上帝的使者黃蜂是上帝的使者,能辨別人間的真能辨別人間的真假假.”忽然華盛頓大聲喊道忽然華盛頓大聲喊道:“小偷就是他，黃小偷就是他，黃蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！”大家回頭張望，看著那個想把帽子上的黃蜂大家回頭張望，看著那個想把帽子上的黃蜂趕走的人，其實哪有什么黃蜂？華盛頓大喝趕走的人，其實哪有什么黃蜂？華盛頓大喝一聲：一聲：“小偷就是他！小偷就是他！”你知道華盛頓是如何推理的嗎？

11、你知道華盛頓是如何推理的嗎？華盛頓抓小偷華盛頓抓小偷假設(shè)結(jié)論的反面正確假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證推理論證得出結(jié)論得出結(jié)論回顧與歸納回顧與歸納反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論 得出矛盾（已知、得出矛盾（已知、公理、定理等）公理、定理等） 假設(shè)不成立，原假設(shè)不成立，原命題成立命題成立.大家議一議！大家議一議！ 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你們覺得哪些題型宜用反證法 ？ 我來告訴你（我來告訴你（經(jīng)驗之談經(jīng)驗之談） （1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陳述的命題；式陳述的命題；（3）關(guān)于）關(guān)于“唯一性唯一性”結(jié)論的命題；結(jié)

12、論的命題；（4）一些不等量命題的證明；）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等等等.(如平行線的傳遞性的證明）如平行線的傳遞性的證明）1“ab Ca=b Da=b或或ab2用反證法證明用反證法證明“若若ac，bc，則，則ab”時，應(yīng)假設(shè)（時，應(yīng)假設(shè)（ ） Aa不垂直于不垂直于c Ba，b都不垂直于都不垂直于c Cab Da與與b相交相交3用反證法證明命題用反證法證明命題“在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等所對的角也不相等”時，應(yīng)假設(shè)時，應(yīng)假設(shè) 4用反證法證明用反證法證明“若若a2，則，則a4”時，應(yīng)假設(shè)時，應(yīng)假設(shè) 5請說出下列結(jié)論的反面請說出下列結(jié)論的反面:（1）d是正數(shù)是正數(shù); （2）a0;