2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、2014 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題(4 月 20 日 8:00 至 10:00)一填空題(本大題共10小題，每小題7分，共70分)11.若x2，則函數(shù)f (x) = x的最小值是.X +1X2.已知函數(shù)f (x)二e.若f(a b2，則f(3a) f (3b)的值是.3.已知數(shù)列 玄f是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d,Sn為前n項和，且滿足a/ =S2n_),n N*，則數(shù)列CaJ的通項a.二.22x 3x x二04.若函數(shù)f (x)2是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是.-2x +ax,x0則f (m)的值是.7.四面體ABCD中，AB=3,CD=5， 異面直線AB和CD之間的距離為4,夾角

2、為60, 則四面體ABCD的體積為.31&若滿足ABC,AC=3,BC二m的厶ABC恰有一解，則實數(shù)m的取值范圍是.39.設集合S=1,2,lll,8?,A,B是S的兩個非空子集，且A中的最大數(shù)小于B中的最小 數(shù)，則這樣的集合對(代B)的個數(shù)是.2 25.已知函數(shù)f(x)二lg|x2若關于x的方程f (x) -5f (x) -6 =0的實根之和為m,6.設、-都是銳角，且cos二sin( )=-5，則cos：等于.10.如果正整數(shù)m可以表示為x -4y(x,yZ),那么稱m為“好數(shù)”.問1,2,3,2014中“好數(shù)”的個數(shù)為.解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)1 1 11

3、1.已知a,b,c為正實數(shù)，abcz,0,求abc的值.x y z2 212.已知F1,F2分別是雙曲線C:篤-占-1(a 0,b 0)的左右焦點，點B的坐標為a b(0,b),直線RB與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分1線與x軸交于點M.若MF2RF2，求雙曲線C的離心率.213.如圖，已知ABC是銳角三角形，以AB為直徑的圓交邊AC于點D，交邊AB上的 高CH于點E.以AC為直徑的半圓交BD的延長線于點G.求證：AG = AE.14. (1)正六邊形被3條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成4個三角形.將每個三角形區(qū)域涂上紅、藍兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形

4、涂的顏色不同.怎樣分割并涂色可以使紅色三角形個數(shù)與藍色三角形個數(shù)的差最大？(2)凸2016邊形被2013條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成2014個三角形.將每個三角形區(qū)域涂上紅、欄兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不 同.在上述分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個數(shù)與藍色三角形個數(shù)之差的最大值是多少？證明你的結論.2006年全國1卷理科第12題設集合I二1,2,3,4,5，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大 的數(shù)，則不同的選擇方法共有（B）A.50種B.49種C.48種D.47種解法一，若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數(shù)有C52=10種；2個元素，有

5、C52=10種選法，小的給A集合，大的給B集合;3個元素，有C53=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2 00=20種方法；從5個元素中選出4個元素，有C54=5種選法，再分成1、3;2、2;3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3X5=15種方法；從5個元素中選出5個元素，有C55=1種選法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1兩組,若集合中有一個元素，集合中有兩個元素，則選法種數(shù)有C53=10種;若集合中有一個元素，集合中有三個元素，則選法種數(shù)有C54=5種;若集合中有一個元素，集合中有四個元素，則選法種數(shù)有C5

6、5=1種;若集合中有兩個元素，集合中有一個元素，則選法種數(shù)有C53=10種;若集合中有兩個元素，集合中有兩個個元素，則選法種數(shù)有C54=5種;若集合中有兩個元素，集合若集合中有三個元素，集合若集合中有三個元素，集合若集合中有四個元素，集合則選法種數(shù)有C55= 1種;則選法種數(shù)有C54=5種;則選法種數(shù)有C55= 1種;則選法種數(shù)有C55=1種;總計有49種，選解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集,從5個元素中選出從5個元素中選出中有三個元素,中有一個元素,中有兩個元素,中有一個元素,較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4X仁4種方法；總計為10+20+15+4=4

7、9種方法.選B.第9題的本質與推廣2014年金海南最后一模試題設整數(shù)n3,集合P二1,2,3,，n,A,B是P的兩個非空子集記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù).(1)求a3；(2)求an.解：(1)當n=3時，P=1,2,3 ,其非空子集為：1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,則所有滿足題意的集合對(A,B)為：(1,2 ),(1,3 ),(2,3),(1,2,3), (1,2,3)共5對,所以a3=5；.3分(2)設A中的最大數(shù)為k,其中Kkn-1,整數(shù)n3,則A中必含元素k,另元素1,2,k_1可在A中，故A的個數(shù)為：C：丄+C；丄+Ck：=2

8、k,5分B中必不含元素1,2,k,另元素k 1,k 2,k可在B中，但不能都不在B中，故B的個數(shù)為：cnf=2心-1,7分從而集合對(A,B)的個數(shù)為2心 2心-1 = 2n-2心，nn所以an八22-2k1=(n-1) 2nd-1 2(n -2) 2nJ1.10分k z!1-2an=C(n,2) HC(n,3)-2+C(n n) (n-1)vC(n,k)k=n C(n-1,k-1)an=n -2A(門-1)-1-(2八n-1-n)=(n-2) 2A(n-1)+12014 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽第 10 題解答題目：如果正整數(shù)加可以表示為x2-4y2(x.yeZ),那么稱刃為好數(shù)”，問

9、:1,2.3. -.2014中“好數(shù)”的個數(shù)為_ 答案：881 (B解答：由平方數(shù)或模4余1或被4整除知，x:-4y2或模4余1或被4整除，心x= xk+設x2-4y2= 4kkeZ，則當廠? o、時可得 ； ，所以x+2y = 4/r + ly = k刃=4A: + l,AreZ都罡好數(shù)，3 1W 2014B0 A:503 ,共有504個；設-AyAk.keZ,易御x為偈數(shù)，故可設x=2*2-k.ke Z , af ,k+1當上為奇數(shù)時，令=,可解得 , ,故m+lc為奇數(shù)都是好數(shù)，x +y = kk-1y=當1SES2014時為滿足1SZS5O3的奇數(shù)，共有出|11 + 1 = 252加二

10、僅簽18（本題滿分80分.毎小題20分）11-已知ab,c為正實數(shù)，d=y=d. 2+丄牡=0；求心的值.ill證明1設a1-ycf=p O W a=pltb= p c- pz. 10分ill丄.1所以abc- p p/ p =. 15分囚+2=0 xy所以a6c= p = l. 20分12己知甘巧分別楚雙曲線C：=I（a0.bQ）的左右條點.點“的坐標為（0b）, 直線 F/與雙曲線C的兩條漸近線分別交Q彌點.線段，0的垂“平分線與*紬 交于點M.若MF2=FlF2求雙曲線C的離心率.解：設雙曲線C：-p=l（a0.b0）的半焦距長為c則點丹，巧的坐標分別（一 G0）. （c0）從而r線F/

11、的方程為士+扌=】雙曲線c：弓一令=I的漸近線方程為4-p=o.消去 紂.bJx2 2fi2cxa2c2-0.；9由韋達定理得：線段 磴中點的坐標（年，）.因此PQ中垂線的方程是：廣= 一敢-非） 另一方而，由陽=*斤則M（2c.0）.或A/（0, OX舍去）.由此可得.c+歹=2c 即a=6 故e=yji. 20分10分衽上式中.令y=0得M（c+芳，0）.15分13如陽.已知ZUHC&tft偷三角彤.以肋為趙“的廚文血*點幾交 gB1的爲C7/千以為交8/）妙KK儀于點&求遲AG-AE.SEW：連MBE. CG.因為為W他90.BG1AC.又日住中由射影定理羽A-AlbAB

12、.因為*C為N所以Z4GCW,任 23中（HWB定理 ACPAD-AC. g 舟 ZRDC=ZBHC=9O*所以乩C. D 四點共隨 從而tfJWtl定丹feM“二“. 所以AAG1UPAEAG.正六邊他3條互不交叉仲點可以貫合）的對角線分割成4個三角慎辭個三角彤 區(qū)域涂上紅.董兩IffllfiZ-,便得有公共邊的三角形涂的濮色不 間屯樣分割并涂色可以使紅色三和宓個舷與査色三角序個數(shù)的苓星大？（2）凸2016邊形披2013條互不交叉（塔點可以貫合）的對角線分割成2014個三角形將甜個三和形區(qū)域涂上 ft.ii兩種嶽色2on公共邊的三用 形涂的廉色不同莊上處分抽并滌色的所和桃中.紅色三角形個救與

13、直色三角形個效Z量的最大值足參少？證明你的結論.15分20分A B(D 3條對角線分御4個三角形，相外的兩個涂色相畀.紅色三角影又有it色三角彤.不妨設紅色三舸形多于苣色三角形.則苣色三瀚形至少有丨個.紅 色三角影矽J個.紅色三角形個做顯色三角形個數(shù)2蘢不超過3-1-2.如圖連按VCCE 以.&4CE 除苴色.其余3個三角彤涂何色.丫為2.故紅色三角彤個ttMfi色三角彤個數(shù)Z雄的最大位為2. . 5分2) 2013條業(yè)不交叉(細直可以腹含)的對飭找分卅成2014亍二用彤.如個 衍形M城彷紂、 比兩科龍色2便得棄公共邊的三角形渝的滋色不樹.設紅色三如庇多F藍色三角彤抑個直色三角彤三條邊中至少右條時如線的羨辺個對角絞的條數(shù)只Ife為1.2或3.櫥條對角歿只F-個譽色三角彤設邊中恰穴”n3)條對角找的il色三角形的個數(shù)為E刷對和找條C(m2mT炳產2013. ii色三角形個盼嚴 M 轄嚴 竽-671.紅色三角彤個tt紅色三角彫個效與苣色三角形個ftZ 1M3-67I-672.注意対凸6邊影中紅色三角彤個MtS色三角形個ttZ的大位為2ltH6邊形的謖均為紅色： 敘定凸弘邊形中.紅色三角形個色三