n階行列式性質(zhì)與展開定理學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1n階行列式性質(zhì)與展開階行列式性質(zhì)與展開(zhn ki)定理定理第一頁，共64頁。第1頁/共64頁第二頁，共64頁。2022-2-13 行列式行列式 （Determinant）是線性代數(shù)）是線性代數(shù)(xin xn di sh)中的一個最基中的一個最基本、最常用的工具，最早出現(xiàn)于求解線性方程組本、最常用的工具，最早出現(xiàn)于求解線性方程組.它被它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域 .了解了解(lioji)：關(guān)于行列式：關(guān)于行列式第2頁/共64頁第三頁，共64頁。2022-2-14設(shè)設(shè) 二元線性方程組二元線性方程組用消元法知：用消元法知

2、：當(dāng)當(dāng) 時時，11 2212 210a aa a11 1122121 12222a xa xba xa xb（1）方程組方程組(1)有解有解,12212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a且且 把由四個數(shù)排成兩行兩列把由四個數(shù)排成兩行兩列, ,并定義為數(shù)并定義為數(shù) 的式子的式子 , , 叫做叫做二階行列式二階行列式 . .11 2212 21a aa a11122122aaDaa 數(shù)數(shù) 稱為行列式的元素，元素稱為行列式的元素，元素第一個下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第第一個下標(biāo)稱為行標(biāo)，表明該元素位于第 i 行；行；第二個第二個下標(biāo)

3、稱為列標(biāo)，表明該元素位于第下標(biāo)稱為列標(biāo)，表明該元素位于第 j j 列列 . .(1,2;1,2)ija ijija1112112212212122aaDa aa aaa+- - 運(yùn)算符運(yùn)算符主對角線主對角線一、二階與三階一、二階與三階(sn ji)行列式行列式行列式是一個行列式是一個(y )數(shù)數(shù)第3頁/共64頁第四頁，共64頁。2022-2-1512212211 2121121122122111221221baa ba bbaxxa aa aa aa a由二階行列式的定義由二階行列式的定義(dngy)，得：得：1112112212212122aaDa aa aaa 稱為稱為(chn wi)方程

4、組（方程組（1）的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式122122baa b1121222baDba11111 21212212aba bbaDabExample 2 求解二元線性方程組求解二元線性方程組1212322121xxxx由于由于323( 4)70,21D 1212( 2)141121D 23324212121D 121214212,377DDxxDD 因此，Solution:11 112 2121 122 22a xa xba xa xb（1）11211122221212121112111221222122baabbaabDDxxaaaaDDaaaa第4頁/共64頁第五頁，共64頁。2022-2

5、-16類似類似(li s)地，定義三階行列式地，定義三階行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a+-計(jì)算（定義）規(guī)則計(jì)算（定義）規(guī)則(guz)(guz)稱為對角線規(guī)則稱為對角線規(guī)則(guz)(guz)（或沙流氏規(guī)則（或沙流氏規(guī)則(guz)(guz)）. .Example 3 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式141253111141253111= -5+12-2-5+8+3=11Solution:第5頁/共64頁第六頁，共64頁。2022-2-17二

6、、二、 n 階行列式階行列式 用遞歸的方法用遞歸的方法(fngf)來定義來定義 n 階行列式階行列式 . 由由 n2 個元素個元素(yun s) aij ( i , j = 1,2,n ) 排成排成 n 行行 n 列，列，111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa（2）稱為稱為(chn wi) n 階行階行列式列式 .數(shù)數(shù)111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112233233212233121331321322231()()()a

7、a aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa行數(shù)與列數(shù)相等行數(shù)與列數(shù)相等特點(diǎn)？特點(diǎn)？1、基本概念、基本概念在在 (2) 式中，式中，a11,a22,ann 所在的對角線稱為行列式的主對角線所在的對角線稱為行列式的主對角線 .第6頁/共64頁第七頁，共64頁。2022-2-18222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Ma Ma M111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaa

8、a111112121313a Aa Aa AM11M12M13Definition 1 在在 n 階行列式階行列式 D 中，將中，將 aij 所在的第所在的第 i 行第行第 j 列劃去后，余下的元素按原相對列劃去后，余下的元素按原相對(xingdu)位置構(gòu)成的位置構(gòu)成的一一個個 n -1 階行列式，稱為階行列式，稱為 aij 的余子式，記作的余子式，記作 Mij .稱稱 Aij = (-1)i+jMij，稱為，稱為(chn wi)元素元素 aij 的代數(shù)的代數(shù)余子式余子式 .二、二、 n 階行列式階行列式第7頁/共64頁第八頁，共64頁。2022-2-19Definition 2 當(dāng)當(dāng) n =

9、 1 時，定義時，定義(dngy)一階行列一階行列式式 , 若定義若定義(dngy)了了 n-1 ( n 2) 階行列式，則定義階行列式，則定義(dngy) n 階行列式為階行列式為 1111aa111(3)nkkka A11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaaDn = a11A11 + a12A12 + +a1nA1n 也稱也稱 (3) 為為 n 階行列式關(guān)于階行列式關(guān)于(guny)第一行的展開式第一行的展開式 . 數(shù)數(shù) aij 稱為稱為(chn wi)行列式行列式 Dn 的第的第 i 行行第第 j 列元素列元素 .Note : 當(dāng)當(dāng)

10、n 4 時時，對角線法則不再對角線法則不再適用適用 Dn 的計(jì)算的計(jì)算 .如如 4 階行列式：階行列式：按對角線法共有按對角線法共有 8 項(xiàng)代數(shù)和；項(xiàng)代數(shù)和；4! = 24 項(xiàng)項(xiàng) . 但按但按定定義，共有義，共有n 階行列式？階行列式？二、二、 n 階行列式階行列式第8頁/共64頁第九頁，共64頁。2022-2-110Example 4 證明證明 n 階下三階下三角行列式角行列式 (當(dāng)當(dāng) i j 時，時，aij = 0）利用利用(lyng) Pro . 1 和和 Ex . 4 得得= a11a22 ann .Property 2互換行列式的兩行互換行列式的兩行(lin(lin xn xn)()

11、(列列) )，行列，行列式值變號式值變號. .1412531111111125311141 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第18頁/共64頁第十九頁，共64頁。2022-2-120Property 2 的證明的證明(zhngmng)Proof :對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法. 階數(shù)為階數(shù)為 2，結(jié)，結(jié)論顯然論顯然(xinrn)成立成立 .假設(shè)假設(shè) 階數(shù)為階數(shù)為 n 1 時，結(jié)論成立時，結(jié)論成立 .當(dāng)階數(shù)為當(dāng)階數(shù)為 n 時時，設(shè)，設(shè)11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbb

12、bbbbDbbbbbb交換第交換第 i 行與第行與第 j 行為行為其中其中 bi1 = aj1，bj1 = ai1，bk1 = ak1 (k = 1,2,n; k i，j)三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第19頁/共64頁第二十頁，共64頁。2022-2-121= (-1)i+1 (-1)(j-1)-i Mj1對對 D* 按第一列展開按第一列展開(zhn ki)，得：，得：*1111111111iijjnnDb Bb Bb Bb B11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa1112112*1212niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbb其中其中(qz

13、hng) Bk1 為為 D* 的元素的元素 bk1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 .對對 k = 1,2,n; k i，j，由歸納由歸納(gun)假設(shè)，假設(shè)，Bk1 = -Ak1 ;Bi1 = (-1)i+1M*i1由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)= - - (-1)j+1Mj1 = - - Aj1同理可得：同理可得：Bj1 = - -Ai1D* = b11B11 + + bi1Bi1 + + bj1Bj1 + + bn1Bn1 = a11(-A11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1) = - - (a11A11 + +ai1Ai1 + + aj1Aj1 + + an1An1) =

14、- - D三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第20頁/共64頁第二十一頁，共64頁。2022-2-122 Corollary 1 如果如果(rgu)行列式有兩行（列）完全相同，行列式有兩行（列）完全相同，則此則此行列式為零行列式為零 .只需把這相同只需把這相同(xin tn)的兩行（列）互的兩行（列）互換，得換，得DD 0D Corollary 2 11220kikikninDkia Aa Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行行列式某行（列）的元素乘另一行(yxng)（列）（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等

15、于零 . 即即2324218635661111D 313233343566AAAA31323334?AAAA232421860111111110 k i0 k j三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第21頁/共64頁第二十二頁，共64頁。2022-2-123行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)元素的代數(shù)(dish)(dish)余子式乘積之和等于零，即余子式乘積之和等于零，即., 02211ikAaAaAainknikik 推論推論(tuln)證明證明(zhngmng)：由前面的定理，行列式等于某一行的元素分別與它們由前面的定理，行列式等

16、于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。代數(shù)余子式的乘積之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素第22頁/共64頁第二十三頁，共64頁。2022-2-124則，則， inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行右端的行列式含有右端的行列式含有(hn yu)兩個相同的行，值兩個相同的行，值為為 0 。證畢證畢行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)行列式任一行（

17、列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)(duyng)(duyng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即推論推論(tuln)., 02211ikAaAaAainknikik 第23頁/共64頁第二十四頁，共64頁。2022-2-125綜上，得公式綜上，得公式(gngsh) inknikikAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,注：注： 直接應(yīng)用直接應(yīng)用(yngyng)(yngyng)行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€因?yàn)榘岩粋€n

18、 n階行列式換成階行列式換成n n個（個（n n1 1）階行列）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量；式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零時，應(yīng)用零時，應(yīng)用(yngyng)(yngyng)展開定理才有意義。展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。但展開定理在理論上是重要的。第24頁/共64頁第二十五頁，共64頁。2022-2-126Property 3 用數(shù)用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù)乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行乘以行列式的某一行列式的某一行(yxng)（列）的所有元素（列）的所有元素.111211212=nii

19、innnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，記作，記作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素行列式中某一行（列）的所有元素(yun s)(yun s)的公的公因子，可以提到行列式符號外面因子，可以提到行列式符號外面 . .三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)第25頁/共64頁第二十六頁，共64頁。2022-2-127Corollary 2 如果如果(rgu)行列式中一行（列）為零，行列式中一行（列）為零，則該行則該行列式為零列式為零 .( ( 取取 k =

20、 0 )Corollary 3 行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行(lin(lin xn xn) )（列）元素（列）元素成比例成比例, ,則則 此行列式為零此行列式為零 . .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按該行（列）展開，按該行（列）展開(zhn ki)可得可得 .該行每個元素為該行每個元素為兩個元素之和兩個元素之和三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第26頁/共64頁

21、第二十七頁，共64頁。2022-2-128Theorem 1 行列式等于它的某一行（或列）的元素與行列式等于它的某一行（或列）的元素與其對應(yīng)的代數(shù)其對應(yīng)的代數(shù)(dish)余子式的乘積之和，即余子式的乘積之和，即11221.(4)nniiiiininikikkDa Aa Aa Aa A11221.(5)nnjjjjnjnjkjkjkDa Aa Aa Aa A或或行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)小結(jié)小結(jié)第27頁/共64頁第二十八頁，共64頁。2022-2-129111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaProperty

22、1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式與它的轉(zhuǎn)置(zhun zh)(zhun zh)行列式相等行列式相等. . 由由 Pro.1 可知，在行列式中，行與列具有相等的可知，在行列式中，行與列具有相等的地位地位 . 因而因而(yn r)，行列式對其行具有的性質(zhì)，對列也成立，行列式對其行具有的性質(zhì)，對列也成立 .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)小結(jié)小結(jié)第28頁/共64頁第二十九頁，共64頁。2022-2-130 Corollary 1 如果如果(rgu)行列式有兩行（列）完全相同，則行列式有兩行（列）完全相同，則此此行列式為零行列式為零 . Corollary 2 11220kikikninDkia Aa

23、Aa Aki11220kjkjnknjDkja Aa Aa Akj 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）對應(yīng)對應(yīng)(duyng)元素的代數(shù)余子式之和等于零元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即即Property 2互換行列式的兩行互換行列式的兩行(lin(lin xn xn)()(列列) )，行列式值變號行列式值變號. .行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第29頁/共64頁第三十頁，共64頁。2022-2-131綜上，得公式綜上，得公式(gngsh) inknikikAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211

24、 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,注：直接注：直接(zhji)(zhji)應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€因?yàn)榘岩粋€n n階行列式換成階行列式換成n n個（個（n n1 1）階行列）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量；式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零時，應(yīng)用展開定理才有意義。零時，應(yīng)用展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。但展開定理在理論上是重要的。第30頁/共64頁第三十一頁，共64頁。2022-2-132Property 3 用數(shù)用數(shù) k 乘以行列式，

25、相當(dāng)于用數(shù)乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行乘以行列式的某一行列式的某一行(yxng)（列）的所有元素（列）的所有元素.111211212=niiinnnnnaaakakakaaaa即即111211212niiinnnnnaaak aaaaaa第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k ，記作，記作 ()iirkckCorollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以因子，可以(ky)(ky)提到行列式符號外面提到行列式符號外面 . .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)小結(jié)小結(jié)第31頁/共64頁第三十二頁，共64頁。2022-2-133Coro

26、llary 2 如果如果(rgu)行列式中一行（列）為行列式中一行（列）為零，則該行零，則該行列式為零列式為零 .( ( 取取 k = 0 )Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素行列式中如果有兩行（列）元素(yun s)(yun s)成比例成比例, ,則則 此行列式為零此行列式為零 . .( 由由 Pro. 3 Co. 1 及及 Pro. 2 Co.1 )Property 411121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa由由Th.1，按該行（列）展開，按該行（列）展開(

27、zhn ki)可得可得 .行列式的性質(zhì)小結(jié)行列式的性質(zhì)小結(jié)第32頁/共64頁第三十三頁，共64頁。2022-2-134Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù)數(shù) k ，然后加到另一行（列）對應(yīng)，然后加到另一行（列）對應(yīng)(duyng)的元素上去，的元素上去，行列式行列式不變不變 .即即111211112111221212121212nnijijinjniiinjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaa以數(shù)以數(shù) k 乘第乘第 j 行加到第行加到第 i 行，記作行，記作 ijrkr（由（由 Pro

28、.4、Pro .3 Co.3即得）即得）注意注意(zh y)表示！表示！三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)第33頁/共64頁第三十四頁，共64頁。2022-2-135Example 8 計(jì)算計(jì)算(j sun)25123714107274612DSolution:化行列式為上（下）化行列式為上（下）三角三角(snjio)行列行列式是一重要方法式是一重要方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr15220121300140041434rr152201213

29、001400015= - -45改為改為(i wi) 6，如何？，如何？4階及以上行列式不階及以上行列式不能用對角線法能用對角線法 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第34頁/共64頁第三十五頁，共64頁。2022-2-136Example 8 計(jì)算計(jì)算(j sun)25123714107274612DSolution:化行列式為上化行列式為上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要式是一重要(zhngyo)方法方法13ccD1522173427107164221rr312rr41rr152202560363012033r 32rr15220121302560120322rr42rr1522012

30、1300140041434rr152201213001400015= - -45改為改為(i wi) 6，如何？如何？4階及以上行列式階及以上行列式不能用對角線法不能用對角線法 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第35頁/共64頁第三十六頁，共64頁。2022-2-137Example 9 計(jì)算計(jì)算(j sun)4abbbbabbDbbabbbbaSolution:方法方法(fngf)一一D41234cccc3333abbbbababbabbababbba1(3 )cab11(3 )11bbbabbabbabbba21rr31rr41rr1000(3 )000000bbba baba ba b=

31、 (a+3b)(a-b)3方法方法(fngf)二二D41irr2,3,4i 000000abbbb a a bb aa bb aa b412iicc3000000000abbbba ba ba b= (a+3b)(a-b)3方法一、方法二方法一、方法二對對 n 階也很適用階也很適用三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第36頁/共64頁第三十七頁，共64頁。2022-2-138方法方法(fngf)三三將將 a = b+(a-b) 則則4()0000()0000()0000()babbbbbbabbbDbbbabbbbbbab利用利用(lyng) Pro. 5 進(jìn)行拆項(xiàng)，進(jìn)行拆項(xiàng)，幾項(xiàng)幾項(xiàng) ? 應(yīng)有應(yīng)

32、有(yn yu) 16 項(xiàng)項(xiàng) .但包含兩個或兩個以上第一個子列，則為零但包含兩個或兩個以上第一個子列，則為零 .30000000000000000000000000000000000000(3 )()00000000000babbabbbabbabbbabbabbbabbabbababbababbabab ababbabbab三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)4abbbbabbDbbabbbba第37頁/共64頁第三十八頁，共64頁。2022-2-139Example 10 試證試證 32222()22abcaabbcababccccab Proof ：分析特點(diǎn)分析特點(diǎn)(tdin): 列列之和相

33、等之和相等(實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)(shzh)是是計(jì)算計(jì)算)確定確定(qudng)方法方法左邊左邊123rrr2222a b c a b c a b cbb c abccc a b 1()rabc111()2222a b c b b c abccc a b 21cc31cc100()2()020()a b c ba b cca b c 3()abc= = 右邊右邊三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第38頁/共64頁第三十九頁，共64頁。2022-2-140Example 11 n 階行列式階行列式 ， 滿足滿足 aij = - aji i，j = 1 ndet()ijDa證明證明(zhngmng)：當(dāng)：當(dāng) n

34、 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，D = 0 .Proof ：由條件由條件(tiojin)可知可知 ：aii = -aii i = 1n 得得 aii = 01213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa D = (-1)-1)n nD Pro.11213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaaPro. 3( 1)nD 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) n 為奇為奇數(shù)，數(shù)，D = -D,所以所以 D = 0 .三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第39頁/共64頁

35、第四十頁，共64頁。2022-2-141Example 12 計(jì)算計(jì)算(j sun)123111000022000001(1)nnnDnnSolution:方法方法(fngf)一一將各列加到第一列，得將各列加到第一列，得(1)223101000022000001(1)n nnnnDnn10002200(1)2001(1)n nnn1(1)!( 1)2nn 方法方法(fngf)二二 Dncj+cj+1j=n-1,1(1)(1)221210100000(1)n nn nnnn1(1)!( 1)2nn 三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第40頁/共64頁第四十一頁，共64頁。2022-2-142Exa

36、mple 13 計(jì)算計(jì)算(j sun)1212111111(0)111nnnaaDa aaaSolution:方法方法(fngf)一一每行減去第一行，得每行減去第一行，得112111100nnaaaDaa11jajacc2,3,.,jn111221110000jnajnaaaa111(1)jnnjajja方法方法(fngf)二二121111011101110111nnaDaa1irr2 1in121111100100100naaa11jjcca2 1jn11121111000000000jnajnaaa111(1)jnnjajja三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第41頁/共64頁第四十二頁，共

37、64頁。2022-2-143Example 14 計(jì)算計(jì)算(j sun)012211000100000001000nnnaaxaxDaxaxSolution: 方法方法(fngf)一一 從第二行起，前行乘以從第二行起，前行乘以 x 加到加到后一后一行，得行，得00120122301212011100001000000.0001.0000nnnnnnnaa xaa xa xaDa xa xaa xa xa1120111( 1)(.)1nnnna xa xa (1)(1)12011( 1)( 1)(.)nnnnna xa xa 12011.nnna xa xa三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xn

38、gzh)第42頁/共64頁第四十三頁，共64頁。2022-2-144012211000100000001000nnnaaxaxDaxax按最后一行按最后一行(yxng)展開，展開，得：得：Dn = xDn-1+ an-1Dn-1 = xDn-2+ an-2方法方法(fngf)二二 ( 遞推法遞推法 ). D2 = xa0 + a1Dn = xDn-1 + an-1= x2Dn-2 + an-2x + an-1所以所以(suy)= x3Dn-3 + an-3x2 + an-2x + an-1 = = = xn-2D2 + a2xn-1 + + an-3x2 + an-2x + an-1Dn-2

39、= xDn-3+ an-3= a0 xn-1 + a1xn-2 + + an-2x + an-1三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第43頁/共64頁第四十四頁，共64頁。2022-2-145Example 15 設(shè)設(shè)1111111111110000mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb11111mmmmaaDaa11121nnnnbbDbb證明證明(zhngmng)： D = D1D2 .對對 m 用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法即歸納法即可證明可證明1111111111110000mmmmnmnnnnnmaaaaDbbccbbcc= ？三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)第

40、44頁/共64頁第四十五頁，共64頁。2022-2-146Example 16 證明證明(zhngmng) 范德蒙德范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx1()ijj i nxx 3323121()()()Dxxxxxx三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)3123222123111=Dxxxxxx如：第45頁/共64頁第四十六頁，共64頁。2022-2-147Example 16 證明證明(zhngmng) 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式行列式122221211112111nnnnnnnxx

41、xDxxxxxx1()ijj i nxx Proof :用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法當(dāng)當(dāng) n = 22211211Dxxxx結(jié)論結(jié)論(jiln)成成立；立；假設(shè)對于假設(shè)對于 n-1 階階 V- 行列式，結(jié)論成立；行列式，結(jié)論成立； 對于對于 n 階階 V-行列式，從第行列式，從第 n 行開始，后行減去前行開始，后行減去前行的行的 x1倍倍 .三三、行列式的性質(zhì)、行列式的性質(zhì)第46頁/共64頁第四十七頁，共64頁。2022-2-148Dn2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxx1

42、1iirxr,1,.,3,2in n232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx上式右端行列式是上式右端行列式是 n-1 階階 V- 行列式，由歸納行列式，由歸納(gun)假設(shè)，假設(shè)，得得213112()()()()nnijj i nDxxxxxxxx 1()ijj i nxx 三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)第47頁/共64頁第四十八頁，共64頁。2022-2-149Example 17 計(jì)算計(jì)算(j sun)41111231449116827164DSolution:D4 為為 4 階階 V- 行列式行列式4222233331111231(

43、4)231( 4)231( 4)D其中其中(qzhng)12342,3,1,4xxxx 故故4434241323121()()()()()()420Dxxxxxxxxxxxx 三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)(xngzh)第48頁/共64頁第四十九頁，共64頁。2022-2-150第49頁/共64頁第五十頁，共64頁。2022-2-151 首次討論線性方程組的求解問題首次討論線性方程組的求解問題(wnt)，利用行，利用行列式得出列式得出一類特殊方程的求解公式一類特殊方程的求解公式 .克萊姆法則克萊姆法則(fz)：如果如果(rgu)線性方線性方程組程組11 11221121 1222221 12

44、2nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb(1)其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa則方程組則方程組(1)有唯一解有唯一解12(2)jjDxjD， ， ,n簡記為簡記為11nijjija xbin 其中其中 Dj 是用常數(shù)項(xiàng)是用常數(shù)項(xiàng)(自由項(xiàng)自由項(xiàng)) b1，b2，bn 替替換換 D 中第中第 j 列所成的行列式列所成的行列式 .111(1)11(1)1212(1)22(1)21(1)(1)jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa1112121222120nnnnnnaaaaaaDaa

45、a一一、克萊姆法則、克萊姆法則第50頁/共64頁第五十一頁，共64頁。2022-2-152Proof : 是解是解；jjDxD 唯一性唯一性 .11221njjjnnjkkjkDb Ab Ab Ab A111nnjijijjjjDaa DDD111nnijkkjjkab AD 111nnijkjkjka A bD111nnijkjkkja A bD111()nnijkjkkja AbD 1iiD bbD所以所以(suy)，（，（2）是（）是（1）的解的解 .設(shè)設(shè) 是方程組（是方程組（1）的一個）的一個解解 .1jjxcjn 代入方程代入方程(fngchng) (fngchng) 得得11(3)

46、nkiikia cbkn 用用 D 中第中第 j 列元素的代數(shù)列元素的代數(shù)(dish)余子式余子式 依次乘方程組（依次乘方程組（3）的）的 n 個方程，再相加個方程，再相加 ，得，得 12,.,jjnjAAA111nnnkiikjkkjkika c Ab A左邊左邊= 右邊右邊= Dj11()nnkikjiika Ac 由由 Th. 1.2 可知可知 Dcj = Dj0D 1jjDcjnD一一、克萊姆法則、克萊姆法則第51頁/共64頁第五十二頁，共64頁。2022-2-153Example 18 解方程組解方程組1234134123123422244321224xxxxxxxxxxxxxx S

47、olution:1112201432101212D142420100441032101212rrrr0102 44132141231 20 該位置該位置(wi zhi)展開一定展開一定帶正號帶正號D1 = -2 ，D2 = 4 ，D3 = 0 ，D4 = -1 所以所以(suy)， x1 = 1，x2 = -2，x3 = 0，x4 = 1/2 .二、克萊姆法則應(yīng)用二、克萊姆法則應(yīng)用(yngyng)實(shí)例實(shí)例第52頁/共64頁第五十三頁，共64頁。2022-2-154 克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系,在方程理論上很有價值在方程理論上很有價值 . 但用它來求解是很不方便但用它來求解是很不方便(fngbin)的的 .因?yàn)?，它求解一個因?yàn)?，它求解一個 n 個未知量、個未知量、n 個方程的線性方程個方程的線性方程組，需計(jì)算組，需計(jì)算 n+1 個個 n 階行列式，計(jì)算量很大階行列式，計(jì)算量很大 .Definition 1.8 在方程組（在方程組（1）中，如果）中，如果(rgu)自由項(xiàng)自由項(xiàng) b1，b2，bn 不全為零，則稱（不全為零，則稱（1）為非齊次線性方程組）為非齊次線性方程組;否則，稱為齊次線性方程組否則，稱為齊次線性方程組 . Corollary 1 零一定是它的解，零一定是它的解，更關(guān)心更關(guān)心(g