數(shù)值分析報告公式、定理等

1、第一章緒論k1. x =100.a1a2 an，如果丨x X|W 0.5 10k n (這里n是使此式成立的最大正整數(shù))，則稱x為x的具有n位有效數(shù)字的近似值。2定理：設(shè)x的近似值x有(1-1)的表示式:(1)如果x有n位有效數(shù)字，則12a1101(2)如果1n i10 ，則x至少有n位有效數(shù)字。2(印 1)第二章非線性方程根求解1.(零點存在定理)如果 f(x)在a,b上連續(xù)，使2.二分法的誤差：Z x I I Xk Xk 1 If(a) f(b)<0 ,則必存在 b a(a,b),使 f( )=0。2k 13.局部收斂性：設(shè)是f(x)=O的根，若存在的一個鄰域，當(dāng)?shù)踔祵儆跁r，迭代

2、法得到的序列xd收斂到，則稱該迭代法關(guān)于根具有局部收斂性。4.收斂速度：設(shè)x i為第i次迭代值,是f(x)=0的根，令i Xi，且假設(shè)迭代收斂,即 lim xii。若存在實數(shù) P 1，使問卅c0,則稱此方法關(guān)于根具有P階收斂速度。C稱為漸近誤差常數(shù)，漸近誤差常數(shù)C與f(x)有關(guān)。CO保證了 P的唯一性。對于特殊的函數(shù)，C可能為零，此時，由這個函數(shù)針對此方法迭代產(chǎn)生的序列收斂得更快。一般情況下，P越大，收斂就越快。當(dāng)P=1時，我們稱為線性收斂。p>1,稱為超線性收斂。P=2,稱為平方收斂。5.牛頓迭代法：Xk 1Xkf(Xk)f(Xk)定理3 :如果方程f(x)=0的根是單根，且在 的某領(lǐng)

3、域f(x)具有二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Newt on迭代法必是局部收斂的且 lim-匚丄(即具有二階收斂速度)i22f ()定理4 :如果 是方程f(x)=0的r重根(r>1),且f(x)在 的某鄰域具有r階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則Newton法具有局部收斂性，且具有線性收斂速度。定理5：如果 是方程f(x)=0的r重根(r>1)，且f(x)在 的某鄰域具有r+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則修正Newton迭代公式：xi 1 xi r f (xi) f (xi)，具有局部收斂性，且具有二階收斂速度。定理6:設(shè)f(x)在f(x)=0的有根區(qū)間a,b上二階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足：(1) f(a) f(b)<0 ;(

4、2) f (x),f (x)在a,b中不變號。則對a,b任一使f (x)f(x)>0的點X0，都能使Newton 迭代法：xk 1Xkf(Xk)f (Xk)得到的序列xk收斂到方程f(x)=0唯一的根6.弦割法：Xi 1 Xif (Xi)f(Xi) f(Xi 1)(XiXi 1)定理 7:設(shè) f(x),f (x),f(x)在包含f(x)=0的根的某區(qū)間上連續(xù)，且是其單根，則如果初始值X0和X1選得充分接近 ，由(212)產(chǎn)生的迭代序列收斂于，收斂的階是p1,52lirrl且第三章插值法1定義：設(shè)f(x)為定義在a,b上的函數(shù)，XoXj , xn為a,b上n+1個互不相同的點，Y 為給定的

5、某一個函數(shù)類，若Y上有函數(shù)y(x)，滿足：y(xi) f (xi), i 0,1,2, ,n (31 ), 則稱y(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點X0,Xi,Xn在Y上的插值函數(shù)，點X0,Xi, x n稱為插值節(jié)點，f(X)稱為被插值函數(shù)。包含插值節(jié)點的區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，條件(3 1)稱為插值條件。2. 定理：設(shè)Mn(x)表示次數(shù)不超過n次的多項式的全體，則滿足插值條件(3 1)的，屬于函數(shù)類丫= M n(x)的插值多項y(x)存在且唯一。3. Lagrange插值多項式:ny(x) f (Xj)lj(x)j 0lj(Xk)lj(x)(X Xo)(X X1) (X Xj 1)(X Xj 1)(X

6、 Xn)(Xj X°)(Xj X1)(Xj Xj J(Xj Xj 1)(Xj Xn)nn 1(X) (X X°)(X X1) (X Xn)(X Xj),i 0定理2：設(shè)f(x)在a,b上存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(a,b)上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，L n (x)是滿足條件(3 1 )屬于Mn(x)插值多項式，則對任何x (a, b),插值余項為：Rn(X)石f"1丄n 1(X),其中(a,b)，且依賴于X, n1)!1(X)nj 0(x Xj)推論：滿足條件(33)的 Lagrange插值基函數(shù)：l j(x), (j 0,1,n),有如下性質(zhì):(1)nx：lj(x)j 0nk

7、X , (k=o,1,n),特別 lj(x) j 0(Xj x)klj(x)0 (k=1,n)4. 差商(均差)Newton插值法fXo,X1, X kfX1,X2,Xk fX0,X1, ,Xk為 f(x)關(guān)于節(jié)點 X0,X1, ,Xk 的 kXk X0階差商。性質(zhì)1： fX0, X1 ,Xkf(Xj)j 0i j(XjXi)性質(zhì)2:如果i0,i1,ik是 0,1,2,-, k 的一個排列，則 fXi0, Xi1, ,Xik =fx0,X1, ,Xk性質(zhì) 3: Newt on 插值多項式的余項為R(x)=f(x)- N n (x) = f x0, x1, xn, x n 1(x)f (n)()

8、性質(zhì)4：如果f(x)有n階導(dǎo)數(shù)，則fx°,X1, Xn n!5差分及插值公式：見教材 P31.6. Hermite插值多項式：用 Hermite插值多項式去替代f(x)產(chǎn)生的誤差為：R(x)=f(x)-H(x)。如f(x)在(a,b)中有n+r+2階導(dǎo)數(shù)時，誤差可寫成如下形式R(x) n 1(X) r 1(X) f(n r 2)(),(n r 2)!其中(a,b)7. 三次樣條插值定義：如果函數(shù) S(x)在a, b區(qū)間滿足：(1)S(x)在a, b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。對a, b上的劃分aX0X1Xnb ,S(x)在每一個區(qū)間Xj,Xj訂上，S(x)是一個不高于3次的多項式，(i=0,

9、1，,n-1)。則我們稱S(x)是關(guān)于劃分a x0 x1xnb的一個三次樣條函數(shù)。三次樣條插值唯一性的條件：(1)第一邊界條件：S(a) f (a),S(b) f (b)(2)第二邊界條件：S (a) f (a),S (b) f (b)。特別S (a)0, S (b)0稱為自然邊界條件。(3)第三邊界條件(周期條件)：當(dāng)f(x)是以b-a為周期函數(shù)時，再增加邊界條件：S(k)(a 0) S(k)(b 0) k 0,1,2第四章 函數(shù)逼近與曲線擬合1權(quán)函數(shù) 定義：設(shè)a,b是有限區(qū)間或無限區(qū)間，在a,b上的非負(fù)函數(shù)x滿足條件：b .(1) xk (x)dx 存在且有限(k=0,1, L )， ab

10、(2) 對a,b上的非負(fù)函數(shù)g(x)，如果 g ( x )( x ) dx 0，則g(x) 0,則a稱 x為權(quán)函數(shù)一I22.最佳平方逼近：min f (x) s(x) 2 ， s(x) a。°(x) ai 1 (x) L a. n(x)s(x) 1定理4設(shè)f x C a,b , o x , 1 x ,L , n x是C a,b中的線性無關(guān)的函數(shù)系，span o(x), 1(x),L , n(x)，則2 min f (x) s(x) 2存在且唯一。s(x)2 最優(yōu)解為 s (x)a。o(x) 6 1(X)L an n(x)( 2-2)其中ao,a1 ,L ,an是下面方程組(稱之為正規(guī)

11、方程組)的解：(o。)(0, 1)L(0 , n)a。(0,f)(1,0)(1, 1)L(1 , n)a1(1,f)(2-3)MMOMMM(n,o)(n ,1)L(n, n)an(n,f)這里(i, j),( i, f)是函數(shù)的積。2 2 2 2I I2 f (x) s (x) 2= f (x) 2s (x) 2m3最小二乘曲線擬合：min wi f (xi) s(xi )2s(x) i o定理5設(shè)f(Xo), f(Xj丄，f(Xm)已知，這里不妨設(shè)X。捲L Xm，0(x), 1(x ),L,n(x)是在X0,Xm上給定的的函數(shù)系，則min | f ss(x)22的解存在。最優(yōu)解為 s (x)

12、a° 0(x) a1 1(x) Lan n(x)(3-3)其中a°,a1,L ,an是下面方程組(稱之為正規(guī)方程組)的解：(0,0)(0,1)L(0, n) a0(0,f)(1,0)(1,1) L(1, n) a1(1,f)(3-4)MM OMMM(n, 0)(n, 1)L(n, n)an( n, f )如果(3-4 )中的系數(shù)矩陣為非奇異，則(3-2 )的解唯一。這里(i，j),( i，f )是Rm 1上向mm量的加權(quán)積，即：(i, j)Wk i(Xk) j(Xk)，( i, f)Wk i(Xk)f(Xk)。k 0k 04.正交函數(shù)與正交項定義6.假設(shè)o(x), i(x)

13、丄，n(x)都是積空間C a,b上的線性無關(guān)的函數(shù)。如果它們兩兩正交，即(i, j) 0.(i j)，則稱連續(xù)型函數(shù)系o(x), i(X)丄，n(X)是正交系。定理6 (Gram-Schmidt正交化定理)設(shè)函數(shù)系0(x), ,x)丄，n(x)是積空間C a, b上線性無關(guān)的函數(shù)系，則：塞(對，旳丸-£黑緯治)*二1嚴(yán)“z W電 Wj是C a,b上的線性無關(guān)的正交函數(shù)系。推論1.定理6中的 Jx)可由0(x), ,x),L , k(x)唯一表示(k 0,1,2, L , n), k(x)也可由 0(X),1(x),L,k(x)唯表示。(0,0)0L0a。(0,f)0(1, 1)L0a

14、1(1,f)，最 佳 逼近函 數(shù)MMOMMM00L(n,n)an(n,f)s (x) a。0( x)a11(X)Lan n(x)，ak(k, f)，k 0,1,L ,n，(k, k)平方誤差：制2 IIf (x) s(x)22|f(x)l2nk 02(ak) ( k, k)。定理9.對在積空間Ca,b上的任一正交多項式系0(x),1(X),L , n(x)，則k(x)在開區(qū)間(a,b)恰有k個不同的實零點(k 1)。Legendre多項式：定義7在C 1,1，取權(quán)函數(shù) (X)1，稱多項式Po(X)1Pn(X)12n n!dxd；(X2 1)n，為 Legendre多項式。 n 1性質(zhì)4. (

15、Legendre多項式的正交性)Pm(X), Pn(X)0, n m2 ,n m 2n 1性質(zhì) 5 (奇偶性)pn( X) ( 1)npn(X)Chebyshev 多項式:定義&在C 1,1中，稱多項式Tn(x)cos(n arccosx), n0,1,L 為 Chebyshev 多項式。性質(zhì) 7.(遞推關(guān)系)Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x), n 1,2,LT0(x)1 ；T|(x)x ；T2(x)2x21 ； T3(x) 4x33x ； T4(x)8x48x21T5(x)16x520x35x ；T6(x)32x648x418x2 15.最佳一致逼近：min I f (x)

16、 s(x)s(x) 1定理14 (唯一性定理)，設(shè)f (x) a, b，則在span 1,x,L , xn中f (x)的最佳一致逼近多項式是唯一的。1推論：在區(qū)間 1,1上所有最高次項系數(shù)為1的n次多項式中，wn(x)rjTn(x)與零的2偏差最小，其偏差為 ，這里Tn( x)是n次Chebyshev多項式。2n 12定理 15.設(shè) f(x) C a,b，縣對 x (a,b)， f (x) 0,令span 1,x,，則min | f (x) s(x)| 中最優(yōu)解 s (x)可如下得到： s (x) a0 a1xs(x)其中：a1aa x2 f (b) f(a)2b af(b) f(a) b a

17、f(a) f(X2)2X2(a,b)，且滿足f (x)印的解。第五章線性方程組的直接解法1. 矩陣的三角分解a11 定理：設(shè)方陣A (aj)n n ,記k detak1aik,(k=1,n),稱k為順序主子式,akk如果方陣A的n個順序主子式都不等于零，則A 一定可以解成LU的形式且分解唯一。1Uli U12L Uin設(shè)：A(aj )n nl21Mln11M Ol L l1'n2nn 11(1)當(dāng) ij時，因aiji k1hkukj1lii Uij ,得：u當(dāng)i：>j時，因aijj k1l ik ukj1l ij u jj 得：l(ajiU22 LOU2nM，則得:ajmin(

18、i,j)l ik u kj 這里 lii =1 ,k 1Unni 1aijlk 1j 1ik u kj ( j=i，'/,n)(4 1)(aijk 1l ik u kj ) u jj(i=j+1, n) (42)1(4-2 )中i與j的位置互換得：J1 jk u ki ) u ii (j=i+1,n)。2對稱正定矩陣的Cholesky分解性質(zhì)1:如果A是正定陣，則 A必可Doolittle分解：A=LU。._. T性質(zhì)3:如果A是正定陣，則A可分解成A= |_ L，其中是下三角陣。ri 1i 1Cholesky 分解：lii-aiil ik u ki. aiilik2(i=1，,n)v

19、k 11k 1lji(aiji 1ljk Uki U iiu ii = (ajii 1ljklik)lii(j>i)k 1nk 1定義：設(shè)矩陣An n(aij )nn，如杲滿足條件:|aii | aik |(i=1，,n),則稱此矩陣為嚴(yán)k 1 k i格對角占優(yōu)陣。定理：如果矩陣 A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則 detA 0。推論1:如果A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則A的所有順序主子式都不為零。推論2：如果A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則A可Doolittle分解。3方程組的性態(tài)、條件數(shù)向量的數(shù)：定義1:對任意n維向量x Rn，都定義了一個非負(fù)實數(shù)，記為| x |,且滿足下列三個條件：對任意向量x Rn有|x |

20、 0, | x |=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0對任意數(shù) R, | x| | |x| I|X y|x|y|則稱| |為n維向量空間Rn上的一個數(shù)。n維向量空間Rn上常用的向量數(shù)有:(1)IIX |2| X! |2I Xn |2 ； ( 2) | X |h | X! | |X2 | Xn | ；(3)|X|maX |X i|; (4)| x|pL 風(fēng)性質(zhì)4 (向量數(shù)的等價性)設(shè)| |a，| |b為n維向量空間Rn上的任意二個不同的數(shù)，則必存在常數(shù)& 0,c20 ,使對Rn中的任意向量x有GXlb | X a |X b矩陣的數(shù)：定義3:對任意n階方陣A，若對應(yīng)一個非負(fù)實數(shù)| A |滿足：(1) |A

21、| 0，等號當(dāng)且僅當(dāng) A=0時成立(2) 對任意數(shù)，| A | | | A |(3) 對任意兩個n階方程A, B有| A B| |A|B|(4) |AB| |A| |B|則稱| |是所有n階方陣所構(gòu)成的空間上的一個數(shù)(我們這里主要是實的方陣)設(shè)A=( aj )n n，常用的矩陣數(shù)有：n(1) | A |imax|aj|1 J n i in |A|max|aj|1 i nJJ 1(3) | A |2,1,1為AtA的最大特征值(也稱 2數(shù))n n(4) | A |f| aij |2 (也稱 Frobenius 數(shù))Vi 1 j 1向量數(shù)與矩陣數(shù)之間有如下的關(guān)系：| Ax | | A | |x|。

22、方程組的性態(tài)、條件數(shù)：| A 1 |A | 丄旦；con d(A)= |A 1 | |A |。|x |b|第六章線性方程組的迭代法X(k)=Bx(kj)+g , B為迭代矩陣1簡單迭代定理1:簡單迭代格式(6 3)收斂的充要條件是 B(k) 0(k)。定義2：設(shè)n n階矩陣B的n個特征值為1, n，稱(B) max| i |為矩陣B的譜半徑。i i n定理2： n n階矩陣A，有Ak 0(k)的充要條件是(A)<1定理3:設(shè)| |為Rnn上定義的一個數(shù),如果 A 1,貝U (A)1。定理4:如果簡單迭代法(6 3)的迭代矩陣B滿足下列條件之一n(1) | B |1 max | bj 1

23、; (2) | B | max |bj 11 j n i 11 i n (3) | B |fn nlb/21，則簡單迭代法、1 i 1Seidel迭代法都收斂，這里B= ( bij) n n2. Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代(k) x()(k)Jacobi 迭代，x2®12x2k a11(a21x 1a221)1)B=I D定理1:xnk)1A , g=D(k 1)a13X 3(k 1)amXna23x3k 1)(k 1)a2nXnb2)丄(an1x1ka nn1)an2x2k1)an3x3k 1)(ka nn 1 x n1)1bn)1b, D=diag(a

24、11,，ann)Jacobi迭代(6 11)收斂的充要條件是(I D 1 A)< 1。若方程組 Ax=b的系矩陣A滿足下面條件中的任何一條，則其定理2:Gauss-Seidel迭代法都收斂。(1)A為行對角占優(yōu)陣，即:Jacobi迭代法及| aii | aij |i(i=1,2,n)(2)A為列對角占優(yōu)陣，即:|ajj | aij |j(j=1,2 ,n)| a- |A的元素滿足：i j 1 aii 11，ajj0(j=1,2 ,n)x(k)x2k)Gauss-Seidel 迭代，L L1 z(k 1)12X2a111 z(k)21X1a22(k 1)a13X3a23x3k 1)B=(D

25、 L) 1U，常數(shù)項為Lamxnk 1) b)La2nxnk 1)b2)丄(amX1(k)an2x2k)ann9nn就打bn)1 1(D L) b,收斂的充要條件是(D L) U)<1 ,0a12 L L La1n00 OMa210L=,UO OMMMan 1an2L ann 10Oa(n 1)n0定理4：若方程組系數(shù)矩陣A為正定陣，則其Guass-Seidel迭代收斂。定理5：設(shè)ARn n具有正對角線元素的對稱矩陣，則解線性方程組 Ax=b的Jacobi迭代法的收斂的充要條件是A和2D-A都是正定陣。易知A與2D-A的差別僅是非對角線元素的符號不同(D=diag(aii,，ann)。3

26、.SOR(D L) 1(1 )DU , SOR方法收斂的充要條件是(B ) <1x(k)x(k °1(bii 1(k) ajXjn(k 1) . z.、aijx j)卜1,n)aiij 1j i定理1: SOR方法收斂的必要條件是：0< <2定理2:如果A是正定對稱陣，且 0< <2，則解方程組 Ax=b的SOR方法收斂。定理3:若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則當(dāng) 0<1時，SOR方法收斂。第七章數(shù)值積分和數(shù)值微分1數(shù)值積分及代數(shù)精度Q(f)=nA if (Xi), xi (i=0,1,n)(7 1)是互異的,Ai(i=0,1，,n)與 f(x)無關(guān)的。i

27、 0誤差：bnEn(f) =f (x)dx A if (Xi )ai 0定義：如果求積公式(7 1)對所有次數(shù)不超過k次的多項式f(x)能精確成立(即E (f) =0)，而至少存在一個k+1次多項式g(x)是不成立，即E(g) 0,則稱該公式具有k次代數(shù)精度。定理7 1:求積公式(71)有k次代數(shù)精度的充要條件是對f(x)=1,x，xk:都精確成立，而對f(x)= x k+1不成立。定理7 2:求積公式(7 1)的代數(shù)精確度不超過2n+1。2. 等距節(jié)點的Newton-Cotes公式Aib (X X0)(X X1) (xa (Xi X°)(Xi X1) (XiXi 1)(X Xi 1

28、) (X Xn) dxXi 1)(Xi Xi 1) (Xi Xn)(i=0,1,n)誤差：En(f)f(x)dx Aif(Xi)i 0bf3(X X0)(X X1) (X Xn)dXa (n 1)!性質(zhì)1:有n+1個節(jié)點的插值型求積公式(73)的代數(shù)精度至少有 n次。n性質(zhì)2 :有n+1個節(jié)點的插值型求積公式(7 3)的求積系數(shù)滿足：Abai 0bb a梯形公式(n=1 )： f(x)dx f(a)f(b)a2bb aa bSimpson 公式(n=2):f (x)dx f (a)4 f () f (b)a 6 2bb aCotes 公式(n=4):f (x)dx7f(x°)32f(xJ 12f(X2) 32f(X3)7f(xJa90n