《高等數(shù)學(xué)A》課程簡(jiǎn)介

1、高等數(shù)學(xué)A課程簡(jiǎn)介課程編號(hào)： 050110111 英文名稱：Advanced Mathematics學(xué) 分：11 學(xué) 時(shí)：180授課對(duì)象：全院工科各專業(yè)課程目標(biāo)：高等數(shù)學(xué)是高等工科院校的一門極其重要的基礎(chǔ)理論課。通過本課程的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生獲得微積分，空間解析幾何，級(jí)數(shù)和常微分方程的基本知識(shí)，基本理論和基本運(yùn)算技能，逐步增加學(xué)生自學(xué)能力，比較熟練的運(yùn)算能力，抽象思維和空間想象能力。同時(shí)強(qiáng)調(diào)分析問題和解決問題的實(shí)際能力。使學(xué)生在得到思維訓(xùn)練和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。課程內(nèi)容：函數(shù)的概念、函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)性；一元函數(shù)微分學(xué)，主要是一元函數(shù)導(dǎo)

2、數(shù)和微分的求法及其應(yīng)用；一元函數(shù)積分學(xué)，包括不定積分的求法、定積分的求法及其應(yīng)用，這里給出了一種全新的函數(shù)形式：積分上限函數(shù)；向量代數(shù)和空間解析幾何，這一部分是為多元函數(shù)微積分學(xué)的學(xué)習(xí)所作的必要準(zhǔn)備；多元函數(shù)微分學(xué)，包括多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其在幾何和求函數(shù)的最值上的應(yīng)用；多元函數(shù)積分學(xué)，包括二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分及其應(yīng)用；無窮級(jí)數(shù)，包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用；常微分方程，主要是一些一階微分方程、可降階的高階微分方程和二階常系數(shù)微分方程的解法及其應(yīng)用。 所有這些內(nèi)容都是理工類大學(xué)生必備的數(shù)學(xué)知識(shí)，是順利學(xué)習(xí)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)和專業(yè)知識(shí)的保障。預(yù)修課程

3、：無教 材：高等數(shù)學(xué)上、下冊(cè)，第四版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社出版，1996。 高等數(shù)學(xué)A課程教學(xué)大綱（Advanced Mathematics）一、基本信息課程編號(hào)：050110111課程類別：公共基礎(chǔ)課必修課 適用層次：本科適用專業(yè)：全院工科各專業(yè)開課學(xué)期：第一、二學(xué)期總 學(xué) 分：11總 學(xué) 時(shí)：180學(xué)時(shí)考核方式：考試二、課程教育目標(biāo)高等數(shù)學(xué)是高等工科院校的一門極其重要的基礎(chǔ)理論課。通過本課程的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生獲得微積分，空間解析幾何，級(jí)數(shù)和常微分方程的基本知識(shí)，基本理論和基本運(yùn)算技能，逐步增加學(xué)生自學(xué)能力，比較熟練的運(yùn)算能力，抽象思維和空間想象能力。同時(shí)強(qiáng)調(diào)分析問題和解決問

4、題的實(shí)際能力。使學(xué)生在得到思維訓(xùn)練和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三、教學(xué)內(nèi)容與要求1. 理論課教學(xué)內(nèi)容（一） 函數(shù)、極限、連續(xù)性1.理解函數(shù)的概念，理解分段函數(shù)、參數(shù)式方程確定的函數(shù)，熟練地使用函數(shù)記號(hào)。2. 了解函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性和有界性。3.了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的圖形。5.能將簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來。6.了解極限的eN、e的定義。理解極限思想。7.了解極限的基本性質(zhì)，理解函數(shù)左、右極限概念。8.掌握極限四則運(yùn)算法則。9.理解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則（單調(diào)有界準(zhǔn)則和兩邊夾準(zhǔn)則），掌握利用兩個(gè)重要極限

5、，求極限。11.了解無窮小，無窮大的概念，理解無窮小的性質(zhì)以及它與極限的關(guān)系，掌握利用無窮小性質(zhì)求某些極限，掌握無窮小的比較。12.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握間斷點(diǎn)的分類及判定。13.了解初等函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的連續(xù)性。14.了解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（界值定理，最大、最小值定理）（可不證）。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是極限的求法、連續(xù)性及其應(yīng)用。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是極限的概念和連續(xù)性的概念。（二） 一元函數(shù)微分學(xué)1 理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，能用導(dǎo)數(shù)求一些物理量，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求平面曲線的切線與法線，了解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。2 掌握導(dǎo)數(shù)和

6、微分的運(yùn)算法。牢記導(dǎo)數(shù)的基本公式，能熟練計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和某些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。3 掌握隱函數(shù)，參數(shù)式方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。4 理解羅爾中值定理，拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并會(huì)應(yīng)用它們求證一些簡(jiǎn)單的中值問題。5 掌握利用羅必達(dá)法則求極限。6 理解函數(shù)極值的概念。7 掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，判定函數(shù)的增減性、凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)、漸近線，解決應(yīng)用中的簡(jiǎn)單的最大值和最小值問題。8 理解弧微分和曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。9 了解微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)（包括高階導(dǎo)數(shù)）、微分的求法；簡(jiǎn)單的中值問題的證明；利用導(dǎo)數(shù)

7、討論函數(shù)性態(tài)，并利用之證明不等式等問題；利用羅必達(dá)法則求極限。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是中值定理的理解和中值問題的證明；利用函數(shù)性態(tài)證明不等式和討論方程的根。（三） 一元函數(shù)積分學(xué)1.理解定積分和不定積分的概念及基本性質(zhì)。2.牢記不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法，掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及無理函數(shù)的積分。3. 理解定積分的概念，理解積分（變）上限的函數(shù)及其求導(dǎo)，掌握利用牛頓萊布尼茲公式求定積分，掌握奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、和某些三角函數(shù)的積分性質(zhì)。4.了解廣義積分的概念，并會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的廣義積分。5. 掌握利用定積分來表達(dá)和計(jì)算一些幾何量和物理量，如面積、體積、弧

8、長(zhǎng)、功、液體壓力，了解引力和平均值的表達(dá)。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是不定積分和定積分的求法；積分上限函數(shù)的求導(dǎo)；利用定積分計(jì)算面積、體積、功、液體壓力等。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是積分上限函數(shù)的概念及其求導(dǎo)。（四）矢量代數(shù)與空間解析幾何1 理解矢量的概念。2 掌握矢量的計(jì)算（加、減、數(shù)乘、矢量積、數(shù)量積），兩個(gè)矢量的夾角的求法，兩矢量的垂直和平行條件。3 掌握單位矢量，方向余弦，矢量的坐標(biāo)表示，并能熟練地利用坐標(biāo)進(jìn)行矢量的運(yùn)算。4 了解投影定理、矢量的分解、掌握矢量的模和方向數(shù)。5 掌握平面方程（點(diǎn)法式、一般式、截矩式），直線方程（參數(shù)式、對(duì)稱式、一般式），并能由已知條件求平面的方程和直線方程。6 掌握平行與

9、垂直條件（平面與平面、平面與直線、直線與直線）。會(huì)求交點(diǎn)（平面與直線、直線與直線）。7 理解曲面方程的概念，能根據(jù)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程作出它的圖形。8 理解空間作為兩個(gè)曲線的交線的一般方程、空間曲線的參數(shù)式方程，掌握空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。9 理解以坐標(biāo)軸為軸的旋轉(zhuǎn)面及母線垂直于坐標(biāo)軸的柱面。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是矢量的計(jì)算（加、減、數(shù)乘、矢量積、數(shù)量積）； 平面、空間直線的方程；一些特殊幾何體（球面、橢球面、柱面、拋物面、雙曲面等）的認(rèn)知；空間曲線、曲面、立體在坐標(biāo)面上的投影。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容空間曲線、曲面、立體在坐標(biāo)面上的投影。（五）多元函數(shù)微分學(xué)1 了解點(diǎn)集、鄰域、區(qū)域、多元函數(shù)、點(diǎn)函數(shù)等概

10、念。2 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念，及在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（不證），二元函數(shù)的幾何意義。3 理解偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、梯度、全微分等概念，了解二元函數(shù)偏導(dǎo)的幾何意義，了解全微分存在的充分、必要條件。4 掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)求高階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、梯度，了解混合偏導(dǎo)數(shù)換序的條件（不證），理解全導(dǎo)數(shù)。5 掌握簡(jiǎn)單的曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線的求法。6 理解多元函數(shù)極值概念，掌握求極值、求簡(jiǎn)單的最大、最小值問題和利用用拉格朗日乘法求條件極值。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括高階偏導(dǎo)數(shù)）、全微分的求法；利用用拉格朗日乘法求條件極值。本部分的難點(diǎn)是含抽象函數(shù)的復(fù)

11、合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)求法；隱含數(shù)組的求導(dǎo)；梯度的概念；最大、最小值問題的應(yīng)用。（六）多元函數(shù)積分法1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)和二重積分存在定理（不證）。2. 掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）和三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。3. 理解兩類曲線積分的概念，了解其性質(zhì)，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法。4. 掌握并會(huì)運(yùn)用格林公式及平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。5. 理解兩類曲面積分的概念，掌握運(yùn)用高斯公式，了解通量與散度，掌握兩類曲面積分的計(jì)算，了解斯托克斯公式（不證）和環(huán)流量與旋度。6. 能應(yīng)用重積分、曲線積分及曲面積分解決一些簡(jiǎn)單的幾何與物理問

12、題。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是二重積分、三重積分的計(jì)算；運(yùn)用格林公式及平面曲線積分與路徑無關(guān)計(jì)算曲線積分；運(yùn)用高斯公式計(jì)算曲面積分。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是三重積分的計(jì)算；兩類曲面積分的概念的理解及其計(jì)算；斯托克斯公式的理解及其應(yīng)用。（七）無窮級(jí)數(shù)1 理解無窮級(jí)數(shù)以及它的收斂、發(fā)散、和等概念，理解級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。2 掌握利用幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)（含調(diào)和級(jí)數(shù)）與正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較來劃定它的斂散性。3 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法（包括極限形式）和根值判別法。4 掌握利用萊布尼茲準(zhǔn)則判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性，理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂概念，并會(huì)判定。5 理解冪級(jí)數(shù)概念和阿貝爾定理，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂

13、半徑及收斂區(qū)間的求法。6 了解冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（四則運(yùn)算、連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分）。了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法。掌握函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的方法。7 了解三角級(jí)數(shù)概念和三角函數(shù)系及其正交性。8 掌握傅立葉系數(shù)公式及函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，了解函數(shù)展為傅立葉級(jí)數(shù)的充分條件（不證）。9 掌握奇、偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)、函數(shù)展成和函數(shù)在任意區(qū)間上展開的傅立葉級(jí)數(shù)。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別；冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)域、和函數(shù)的求法和函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)；函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別；冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法；阿貝爾和狄利克雷特收斂定理的理解。（八）常微分方程1

14、理解微分方程、通解、初始條件和特解等基本概念。2 掌握識(shí)別和求解下列一階微分方程的方法：變量可分離方程、齊次方程，一階線性方程、貝努力方程以及全微分方程（在講過多元函數(shù)后學(xué)習(xí)）。3 掌握變量代換求解方程的思想。4 掌握幾種特殊的高階方程的降階法。5 理解齊次線性方程和非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)。6 掌握二階常系數(shù)齊次線性方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線性方程的解法。7 掌握非齊次項(xiàng)為型和型的二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法。8 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問題。本部分的重點(diǎn)內(nèi)容是變量可分離方程、齊次方程，一階線性方程、貝努力方程的求解；幾種特殊的高階方程的降階法；二階常系數(shù)線性方程的解法。本部分的難點(diǎn)內(nèi)容是幾種特殊的高階方程的降階法；非齊次項(xiàng)為型的二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法。四. 各個(gè)章節(jié)學(xué)時(shí)分配章節(jié)主 要 內(nèi) 容各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配備 注理論課實(shí)驗(yàn)課習(xí)題課討論課小計(jì)1函數(shù)、極限、連續(xù)1422182一元函數(shù)微分學(xué)2462323一元函數(shù)積分學(xué)22