2018版高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式導(dǎo)學(xué)案新人教A版

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換并能靈活地將公式變形運(yùn)用西問題導(dǎo)學(xué)- 知識(shí)點(diǎn)一二倍角公式的推導(dǎo)思考 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用a的三角函數(shù)表示 2a的三角函數(shù)的公式根據(jù)前面學(xué)過的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，你能推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式嗎？ 答案 sin 2a =sin(a+ a)=sinacosa +cosasina=2sinacosa ；cos 2a =COs(a + a)=cosacosa Sinasina2 . 2=cosa s

2、ina ；2ta natan 2a =tan(a + a)=2.1tana思考 2 根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin 2a+ cos2a= 1 ,你能否只用 sina或 cosa表示 cos 2a?2 2 2 2 2cos 2a =cosa Sina =COSa (1COSa)=2COSa 1；2 2 2 2 2或 cos 2a =cosa sina =(1sina)sina =12sina.知識(shí)點(diǎn)二二倍角公式的變形1.公式的逆用答案2sin 10 cos 104 sin 30 cos 10。一 cos 30 sin 10 2sin 10 cos 10 4sin 20 2sinacosa=

3、sin 2a ,sin1 .acosa= 2$in 2a ,222ta nacosa-sina=(X2.二倍角公式的重要變形一一升幕公式和降幕公式升幕公式2 . 21 + cos 2a =2cosa ,1 cos 2a =2sina ,1 + cosc 2a a= 2cos,1 cosa =2sin2a2降幕公式21 + cos 2a.2cosa =,sina1 cos 2a2題型探究類型一給角求值例 1 求下列各式的值:(1)cos 72 cos 36(2) 3|COS2151 tan275tan 75 1sin 10Icos 102sin I6 cos I6 cos 722sin I6 2

4、sin 72 cos 72 sin 144 1=4sin 36 =4sin 36 =4.122| |cos 15= 12|(2cos 151一 1) = 一 | cos 3021 tan 75tan 75 2。1 tan 751=2 2 , I.1VIcos 10 Isin 10 sin 10 cos 10 = sin 10 cos 10 22cos 102Isin 103=4sin 20 .反思與感悟 對(duì)于給角求值問題，一般有兩類:644825254若tana324，貝ycosa+ 2sin 2a等于(A.B.(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行

5、轉(zhuǎn) 化，一般可以化為特殊角形式.跟蹤訓(xùn)練 1 求下列各式的值:(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式， 在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)2n(1)cos -cos4n6nCOS；sin 503 cos50 解(1)原式=2n2n4n2sin -cos -cos -cos 72sin4nsin -cos6n-7s8n6ncos772n2si n 4sin2n7nnsin cos sin2n2n4si n 2n88si n (2)原式=COs 50sin 50+3s in 50cos 501尹2sin 50cos 502sin 8

6、 01 s in 1002sin 801si n80=4.類型給值求值答案卄1(1)若 sina cosa= 3,則sin 2a解析(sin(X 、2 . 2a)=sina +cos2.a 2sinaCOsaoin 5012 cos 50+=1sin 2asin 20 00 0 - - 9 95 1+2sinacosa1即 1+sin 2a =9,8sin 2a=_9.反思與感悟(1)條件求值問題常有兩種解題途徑：對(duì)題設(shè)條件變形， 把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；對(duì)結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論sin 2aC.1 16D.25答

7、案 A2解析 COSa+ 2sin 2a2COSa+ 4sinaCOSa_ 1 + 4tana2；2= - 2cosa+ sina1 + tana把 tana=專代入，得2cosa+ 2sin 231+4X446425一 25,16故選 A.引申探究在本例(1)中，若改為 sina+ cosa3，求 sin 2解由題意，得(sin、21a +COsa)9(2) 一個(gè)重要結(jié)論：(sin0 cos2 ,0)=1sin 20.跟蹤訓(xùn)練 2已知 tana=2.(1)求 tan+t 的值;求二a:2: - -sina +sinacosa cos 2a 1sin 2的值.tana+tan亍 2 + 1n1

8、2X11tanatan7sin2a +sin6acosa cos 2a 172sinaCOSa2 2sina+ sinacosa 2cosa2ta na2X22-=- =1.tana +tana 24+22類型三利用倍角公式化簡(jiǎn)2cos2a 12cos2a 1sin2 coscos 2acos 2a =1.cos 2acosa sina2cosa+sinasina +cosa反思與感悟(1)對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有下面的要求:1能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使三角函數(shù)式中的項(xiàng)數(shù)盡量少；盡 量使分母不含有三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)(2)化簡(jiǎn)的方法：1弦切互化，異名化同名，異角

9、化同角2降幕或升幕_23一個(gè)重要結(jié)論：(sin0 cos0) = 1 sin 20. 跟蹤訓(xùn)練 3 化簡(jiǎn)下列各式：(1)4 V a V專，貝U1 sin 2a=_例 3 化簡(jiǎn)2tan2cos2a 17t + a4解 方法一 原式=sin2 cosc22cosa1nJ 2- sinn4+ a(2)a為第三象限角，則cosasina2cossin-2 2a方法原式=cos 2acos 2acosa sinacosa +sincos 2a22cosasin=1.1tana1+tan8答案（1）sina- COSa（2）0解析（1）T a（4,） ,. sina COSa , 1sin 2a =12s

10、inaCOSa=：；.：sina 2sinacosa +cosaT a為第三象限角， COsa V0, sina V0,1+COs 2a1COs 2aCOsasina11qsin1A41 D 2答案1 A.- B.2答案2nsin匸-COs2n .2n inCOs/sinE rCOsntan 7.5（XCOs- 2 .a =sin（XCOsa2COSaCOsa,2sinsinaa=0.當(dāng)堂訓(xùn)練1B8解析原式=82.sin4n礦COs解析原式=isinCOsaSina931tan27.510tan 7.5 = 11 tan27.5 = 21=2tan 15答案a豐0, 2COSa+ 1 = 0

11、即 COS羽r-sina = -,tana=一飛；3,4.設(shè) sin 2a = sina7t2，7t的值是 .解析2ta n 7.51 tan27.5解析/ sin 2a =sinsina(2cosa +1)=0,/ sin sin f-x= cos4J7tn廠盲+x / sin12原式=2X石5.已知 sin/t an 2a11規(guī)律與方法1.對(duì)于“二倍角”應(yīng)該有廣義上的理解，如:128a是 4a的二倍；6a是 3a的二倍；4a是 2a的二倍;八a r a ,八a2 a*倍； 3 是的一倍； 戸= 2n+1（n N ）.2.二倍角余弦公式的運(yùn)用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用

12、廣泛1+cos 2a =2cos2 3 4 5a21+cos 2acosa =2-；20= 3，貝 U cos 2045“0） , cosx= 5,貝 Utan 2x等于（）3a是-a的二倍；2是4的二.二倍角的常用形式:13課時(shí)作業(yè)、選擇題12A* -和空169答案答案2cos0 sin02 2cos0 +sin0答案 D21cos 2a =2sinasin21cos 2aa= 21.已知a是第三象限角，cos5a= 13，貝Usin 2a等于（解析a是第三象限角，且COSa13得 sin1213，所以 sin 2a =2sinacosa =2X右=罟，故選，2.若 tan等于（4A. B.

13、515 C.14D.55解析tan3,則 cos 220= cos20 sin03.已知x （77A.24 B.刃C.2424D.-2412B.石D空1691tan2041+tan2059Sooov9-9so。-呂.9T TC CX XI IS S8 8 + + L LLOCOs。 。拓sICQICQ1 1( (. .8 8SOOIcoIcoso。亙I IH H8 8c cx xllu u一S 寸娯宦S SI Ix xu ue e& &- -J JX XC CX XI IXN U2丄H Hx xC CX XI IU UE EllX XS S8 8曲15BVC.答案 A21解析由

14、題意得(sina+cosa) = 3,7A.25C.-5答案 D2=2cossinT罟.6.已知a為第二象限角，sina+ cosaL-33，則 cos 2a等于（）-1+sin 2a =3,sin 2a =3.T a為第二象限角,cosa -sina0,cosa0,且 |cosa|sin22-cos 2a =cosasina0,12 cos21sin22a故選 A.卄In7.右 cos i 43，則 sin 2a5等于（32iB.57 D.25解析因?yàn)閟in 2a41916又因?yàn)?cos二、填空題28.2sin 22. 5所以 sin 2a97=2X251L25,故選D.179.sin 6s

15、in 42sin 66sin 78答案 解析 原式=sin 6 cos 48 cos 24 cos 12sin 6cos 6cos 12cos 24cos 48 cos 6sin 96=cos 6=_16cos 6 =16cos 6 =16110.設(shè)a是第二象限角，P(x, 4)為其終邊上的一點(diǎn)，且 cosa=x,則 tan 2a=5答案1a+tan解析原式=cos 45 =2T.答案7解析xxcosa 2-2 -W+ 425，x2= 9,x=3.又a是第二象限角，.x34.cosa =二，sina5=5，3,二tan4tan 242X 33161亍0 00 0- -3 3- -7 7- -9

16、 972242111.已知 tanx= 2，則 tan 2(12.若 tan1tana310，則 sin i2a+n +2cosn2cosa =4得 tana =3 或 tana=3.由 tan解析18nn丄c4,，tana =3.=也x- x+耳寸 10屮0三、解答題1+cos 2a +sin 2a1413.已知角在第一象限且 cosa51+2cos 2a求 -冗的值.解/ cosa在第一象限， / sin cos22a =cosasin25sin 2a=2sinacosa2425,7t原式=nsina +27t1+2 cos 2acos+sin 2asin；COsasina，cossin 2a2cosn2/COSa=sin 2acos+cos 2asin4n+ 2cos4-4cos* 2a=+ x2sin2acosa+(2C0S2a 1)+2s ina22=出二=0.10 223 那么這個(gè)三角形頂角的正弦值為.312cosaCOSa +2cosa 19則cosB= 3, sin所以 sinA= sin(180 2B) = sin 2B15.已知na2n，化簡(jiǎn):