2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.2古典概型試題理北師大版

1、第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.2 古典概型試題 理 北師大版基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)U知識梳理-1.基本事件的特點(1) 任何兩個基本事件是互斥的;(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.(1) 試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果;(2) 每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相 _3如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個1m基本事件的概率都是 孑 如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A) = -4 古典概型的概率公式p

2、A事件A包含的可能結(jié)果數(shù)P(A)=試驗的所有可能結(jié)果數(shù)-【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“x”)(1) “在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(X)(2) 擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.(X)(3) 從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500 土 5 g 的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型.(X)(4) 有 3 個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能1性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為；(V)3(5) 從 1,2,3,4,5中任取

3、出兩個不同的數(shù)，其和為5 的概率是 02(V)(6) 在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A,且集合A中的元素個數(shù)為-所有的2基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個數(shù)為m則事件A的概率為-.(V)m3概率為 10 = 5.5.(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為答案56解析擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共 6X6- 36(種)可能的結(jié)果，其中點數(shù)相冋的結(jié)果共有6 個,65所以點數(shù)不同的概率P= 1-=.6X66考點自測1.從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)，則取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2 的概率是（1A.21B.31C.41D.6答案 B解析基本事件的總數(shù)為 6,構(gòu)

4、成“取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2,所以所求概率P=2 16=3,故選 B.2 . （2016 北京）從甲、乙等 5 名學(xué)生中隨機(jī)選出 2 人，則甲被選中的概率為（A.5B.58C.25答案 B解析 從甲、乙等 5 名學(xué)生中隨機(jī)選 2 人共有 10 種情況，甲被選中有 4 種情況，則甲被選中42的概率為不1053. （2015 課標(biāo)全國I）如果3 個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這 3 個數(shù)為一組勾股數(shù), 從 1,2,3,4,5中任取 3 個不同的數(shù)，則這 3 個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為答案解析1B.-5C.11D.1020從 1,2,3,4,5

5、 中任取3 個不同的數(shù)共有 C1 * 3 * 5= 10（個）不同的結(jié)果，其中勾股數(shù)只有一組,4題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一 基本事件與古典概型的判斷例 1 (1)有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x,y)表示結(jié)果，其中x表示第 1 顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第 2 顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)試寫出：1試驗的基本事件；2事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于 3”包含的基本事件；3事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.(2)袋中有大小相同的 5 個白球，3 個黑球和 3 個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從 中摸出一個球.1有多

6、少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？2若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解(1)這個試驗的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3) ,(1,4)(2,1),(2,2),(2,3) ,(2,4)(3,1),(3,2),(3,3) ,(3,4)(4,1),(4,2),(4,3) ,(4,4)2事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1.3), (1,4) ,(2,2) , (2,3) , (2,4),(3,1) , (3,2) , (3,3),(3.4), (4,1) ,(

7、4,2) , (4,3) , (4,4).3事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1),(2,2) ,(3,3) , (4,4).(2)由于共有 11 個球，且每個球有不同的編號，故共有 11 種不同的摸法.5又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.由于 11 個球共有 3 種顏色，因此共有 3 個基本事件，分別記為 A：“摸到白球”，B： “摸 到黑球”，C:“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為石，而白球有 5 個，5故一次摸球摸到白球的可能性為訐顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為

8、劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.思維升華一個試驗是否為古典概型， 在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點一一有限 性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.心喋匚 1%：下列試驗中，古典概型的個數(shù)為（）1向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；2向正方形ABC吶，任意拋擲一點P,點P恰與點C重合；3從 1,2,3,4 四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2 的概率；4在線段0,5上任取一點，求此點小于 2 的概率.A. 0 B . 1 C . 2 D . 3答案 B解析 中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件, 所以不是古典概型；的基本事件都不是有限個，不是古典概

9、型；符合古典概型的特點，是古典概型.題型二古典概型的求法例 2 （1）（2015 廣東）袋中共有 15 個除了顏色外完全相同的球，其中有10 個白球，5 個紅球.從袋中任取 2 個球，則所取的 2 個球中恰有 1 個白球，1 個紅球的概率為（）（2015 江蘇）袋中有形狀、大小都相同的4 只球，其中 1 只白球，1 只紅球，2 只黃球，從中一次隨機(jī)摸出 2 只球，則這 2 只球顏色不同的概率為 _ .我國古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為1151

10、0A.21 B. 21 C.1121 D .6中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為 _751答案B(2)6(3)他解析從袋中任取 2 個球共有 C25= 105(種)取法，其中恰好 1 個白球 1 個紅球共有 CcCi=(2)基本事件共有 C4= 6(種),設(shè)取出兩只球顏色不同為事件A,A包含的基本事件有 CC+ CC = 5(種).5故P(A) = 6.(3)五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列的所有基本事件數(shù)為A= 120,滿足事件A“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”的基本事件可以按如下方法進(jìn)行考慮：從左至右，當(dāng)?shù)谝粋€位置的屬性確定后，例如：金，第二個位置(除去金本身)只能排土或水

11、屬性，當(dāng)?shù)诙€位置的屬性確定后，其他三個位置的屬性也確定，故共有c5d= 10(種)可能，所以事件A出現(xiàn)的概率10120引申探究1本例(2)中，若將 4 個球改為顏色相同，標(biāo)號分別為1,2,3,4 的四個小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率.解 基本事件數(shù)仍為 6.設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件 A,則A包含的基本事件為(1,2) ,(1,4) ,(2,3),(3,4) ，共 4 種，42所以 R 耳=6=亍2 .本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率. 解 基本事件數(shù)為C4C4=16，顏色相同的事件數(shù)為 dC+dc2= 6，63所求概率為 16=.思維升華求古典

12、概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具 體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇.跟蹤訓(xùn)練倉(1)(2016 全國乙卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4 種顏色的花中任選 2 種花種在一個花壇中，余下的 2 種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()50(種)取法，所以所取的球恰好1 個白球 1 個紅球的概率為50 _ 10105_2181A.3B.答案 C解析 從 4 種顏色的花中任選 2 種種在一個花壇中，余下 2 種種在另一個花壇，有（紅黃）,（白紫） ） ,（白紫），（紅黃）,

13、（紅白），（黃紫）,（黃紫），（紅白）,（紅紫），（黃白） ） ,（黃白），（紅紫）,共 6 種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有 （ （紅黃），（白紫） ） ,4（白紫），（紅黃）,（紅白），（黃紫）,（黃紫），（紅白），共 4 種，故所求概率為F= 6= 23，故選 C.3（2） 一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同隨機(jī)有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.1求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；2求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.解 由題意知，（a,b, c）所有的可能

14、為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c” 為事件A,則事件A包括（1,1,2）, （1,2,3） , （2,1,3），共 3 種.31所以R耳=27= 9

15、.1因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為9.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B包括（1,1,1） , （2,2,2）,(3,3,3)，共 3 種.3所以F(E) = 1 P(B) = 1-27因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例 3 （2015 安徽）某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50 名職工根據(jù)這 50 名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：40,50） , 50,60），80,90） , 90,100.9（1）求頻率分布直方圖中a的值

16、；估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80 的概率；從評分在40,60）的受訪職工中，隨機(jī)抽取2 人，求此 2 人的評分都在40,50）的概率.解 （1）因為（0.004 +a+ 0.018 + 0.022x2+ 0.028）x10= 1，所以a= 0.006.由所給頻率分布直方圖知，50 名受訪職工評分不低于80 的頻率為（0.022 + 0.018）x10=0.4 ,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80 的概率的估計值為 04受訪職工中評分在50,60）的有 50 x0.006x10= 3（人），記為A, A,A;受訪職工中評分在40,50）的有 50 x0.004x10= 2（人），記為

17、B, R,從這 5 名受訪職工中隨機(jī)抽取2 人，所有可能的結(jié)果共有10 種，它們是A, A, A,A3,A,B , A, B, A, A, A,B , A, B , A,B , A, B , B, B 又因為所1 抽取 2人的評分都在40,50）的結(jié)果有 1 種，即B, B,故所求的概率為P=石.思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考 查的熱點概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖 葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，貝吐匕類問題即可解決.跟蹤訓(xùn)練 3 海關(guān)對同時從A,BC三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測

18、，從各地區(qū) 進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽 取 6 件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100（1）求這 6 件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量；（2）若在這 6 件樣品中隨機(jī)抽取 2 件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率.解（1）因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是6 150 + 150+ 100= 50，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是11150 x =1,150 x =3,100 x =2.50505010所以A B, C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.（2）設(shè) 6 件來自A B, C三個

19、地區(qū)的樣品分別為A;B,R,B?；C,G.則從 6 件樣品中抽取的這2 件商品構(gòu)成的所有基本事件為 A, Bi , A,B, A,R,C,A,C2,Bi, B ,B,B3,B,C,B,C2,B,B,B,C,B,C2,Ci, B3,C2 , C,C2,共 1 5 個.每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件 D: “抽取的這 2 件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有B,B,B3, B2,B3 , G,C2,共 4 個所以審題路線圖系列六審細(xì)節(jié)更完善典例（1 2 分）一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1 ,2,3,4.（1 ）從袋中隨機(jī)取兩個球

20、，求取出的球的編號之和不大于4 的概率；（2）先從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為m將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個球,該球的編號為n,求nm2 的概率.（1 ）基本事件為取兩個球J（兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示）把取兩個球的所有結(jié)果列舉出來1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4J兩球編號之和不大于 4（注意：和不大于 4 ,應(yīng)為小于 4 或等于 4）1,2 , 1,3J利用古典概型概率公式求解A,B3,B ,即這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率為415.4P(D)=后,11（2）兩球分兩次取，且有放回J（兩球的編號記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示21

21、2基本事件的總數(shù)可用列舉法表示(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)J(注意細(xì)節(jié)，m是第一個球的編號，n是第 2 個球的編nm+ 2 的情況較多，計算復(fù)雜J(將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題)計算n2 的概率nm 2 的所有情況為(1,3) , (1,4) , (2,4)1注意細(xì)節(jié),R=屠是nmVr2 的概率，需轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率規(guī)范解答解(1)從袋中隨機(jī)取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1,2 , 1,3 , 1,4,2,3 , 2,4 , 3

22、,4,共 6 個.從袋中取出的球的編號之和不大于4 的事件有1,2 , 1,3,2 1共 2 個因此所求事件的概率P= =-.4 分63(2)先從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為m,放回后，再從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為n,其一切可能的結(jié)果有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1),(3,2), (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4),共 16 個 6 分又滿足條件nm 2 的事件為(1,3) , (1,4) , (2,4),共 3 個，所以滿足條

23、件nm2 的事件的概率為R=2.1分16故滿足條件nm 2 的事件的概率為313八1-P=1-亦=二喬12分n0,所以f(x)在 R 上遞增，若f(x)在1,2上有零點，f1=1+a-bw0,則需經(jīng)驗證有(1,2) , (1,4) , (1,8) , (2,4) , (2,8) , (2,12),f /= 8 + 2a-b0,(3,4), (3,8) , (3,12) , (4,8) , (4,12)，共 11 對滿足條件，而總的情況有 16 種,1611故所求概率為.5 .有編號分別為 1,2,3,4,5 的 5 個紅球和 5 個黑球，從中隨機(jī)取出 4 個，則取出球的編號互同的結(jié)果，由于是隨

24、機(jī)取出的，所以每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的設(shè)事件A為“取出球8亓故選 D.的行與列的取法共有C C= 6（種），所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1314.7從正六邊形的 6 個頂點中隨機(jī)選擇 4 個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于（)1A.亦1 1 1B. 8 C. 6D.5答案D解析如圖所示，從正六邊形ABCDE的 6 個頂點中隨機(jī)選 4 個頂點，可以看作隨機(jī)選 2 個頂點，剩下的4個頂點構(gòu)成四邊形，有A B,A、C, A D,A、EA、F,BC, B、D, B E,B、F,C D, C E,C F,DE,D F,E F,共 15 種若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點即不相同的

25、概率為（)5218A.：B 匚C. - D.217321答案D解析從編號分別為1,2,3,4,5 的 5 個紅球和5 個黑球中隨機(jī)取出4 個，有 Cw = 210（種）不的編號互不相同”，貝U事件A包含了 C5CCC=80（個）基本事件，所以P（A）=802106 .如圖，三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i=1,2,3j= 1,2,3），從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是ana12a13xa21a22a231a32a33.y4B.713D弔答案 D解析 從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有C9= 84（種），因為取出的三個數(shù)分別位于不)17可，有A D,B E,C F,共 3

26、種，故其概率為8._若A B為互斥事件，RA) = 0.4 ,P(A+B) = 0.7，貝 UP(B) =_ .答案 0.3解析因為A、B為互斥事件，所以RA+B) =RA) +P(B),故P(B =RA+E) P(A) = 0.7 0.4 = 0.3.9.(2016 成都模擬)如右圖的莖葉圖是甲、 乙兩人在4 次模擬測試中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為 _.答案 0.3解析依題意，記題中的被污損數(shù)字為X,若甲的平均成績不超過乙的平均成績，則有(8 + 9+ 2 + 1) (5 + 3+x+ 5) 7,即此時x的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成績不超

27、過乙的平均成績的概率3P=礦0310.10 件產(chǎn)品中有 7 件正品，3 件次品，從中任取 4 件，則恰好取到 1 件次品的概率是 _1答案 2解析 從 10 件產(chǎn)品中取 4 件，共有 C0種取法，取到 1 件次品的取法為CC7種，由古典概型概率計算公式得RCC33X351P=莎210 2.11 .設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m n,令平面向量a= (m n) ,b= (1 , 3).(1) 求事件“a丄b”發(fā)生的概率；(2) 求事件a| |b| ”發(fā)生的概率.解(1)由題意知，me 1,2,3,4,5,6,n 1,234,5,6，故(m n)所有可能的取法共36種.因為a丄b,所以m 3n

28、= 0,即卩 m= 3n,有(3,1) , (6,2)，共 2 種，2 1所以事件a丄b發(fā)生的概率為= =7；.3618182 2由 |a| |b|，得m+nw10,19112.袋中裝有黑球和白球共 7 個，從中任取 2 個球都是白球的概率為-,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋 中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球 時即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的.(1) 求袋中原有白球的個數(shù)；(2) 求取球 2 次即終止的概率；(3) 求甲取到白球的概率.解(1)設(shè)袋中原有n個白球，從袋中任取 2 個球都是白球的結(jié)果數(shù)為止，從袋中任取 2 個球的所有可能的結(jié)果數(shù)為C21由題意知從袋中任取 2 球都是白球的概率P=C?=-則n(n 1) = 6,解得n= 3(舍去n= 2)，即袋中原有 3 個白球.(2)設(shè)事件A為“取球 2 次即終止”.取球 2 次即終止，