專題八 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

1、專題八 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動帶電粒子在組合場中的運(yùn)動帶電粒子在組合場中的運(yùn)動問題，關(guān)鍵是要按順序?qū)︻}目給出的運(yùn)動過程進(jìn)行分段分析，把復(fù)雜問題分解成一個(gè)一個(gè)簡單、熟悉的問題來求解，對于由幾個(gè)階段共同組成的運(yùn)動還應(yīng)注意銜接處的運(yùn)動狀態(tài).解決帶電粒子在組合場中運(yùn)動問題的思路方法是：【例1】(2015·蘇錫常鎮(zhèn)三模)如圖所示，在xOy平面0<x<L的區(qū)域內(nèi)有一方向豎直向上的勻強(qiáng)電場，x>L的區(qū)域內(nèi)有一方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場.某時(shí)刻，一帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度v0進(jìn)入電場；之后的另一時(shí)刻，一帶負(fù)電的粒子以同樣的初速度從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入電場.正、

2、負(fù)粒子從電場進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與電場和磁場邊界的夾角分別為60°和30°，兩粒子在磁場中分別運(yùn)動半周后恰好在某點(diǎn)相遇.已知兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用都可忽略不計(jì).求：(1) 正、負(fù)粒子的比荷之比.(2) 正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑大小.(3) 兩粒子先后進(jìn)入電場的時(shí)間差.【解析】 (1) 設(shè)粒子進(jìn)磁場方向與邊界夾角為，vy=，vy=t，t=，=13.(2) 磁場中圓周運(yùn)動速度v=，v1=v0，v2=2v0，qvB=m，R=，=，y=·t，兩粒子離開電場位置間的距離d=y1+y2=L.根據(jù)題意作出運(yùn)動軌跡，兩粒子相遇在P點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得2R1=dsin

3、 60°，2R2=dsin 30°，R1=L，R2=d=L.(3) 兩粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間均為半個(gè)周期t1=，t2=.由于兩粒子在電場中運(yùn)動時(shí)間相同，所以進(jìn)電場時(shí)間差即為磁場中相遇前的時(shí)間差t=t1-t2=.【答案】 (1) 13(2) LL(3) 【變式訓(xùn)練1】 (2015·南京、淮安三模)如圖所示，x軸上方有豎直向下的勻強(qiáng)電場，x軸下方有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場.矩形OACD的邊長分別為h和2h. 一個(gè)帶正電的粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，以平行于x軸的某一初速度從A點(diǎn)射出，經(jīng)t0時(shí)間粒子從D點(diǎn)進(jìn)入磁場，再經(jīng)過一段時(shí)間后粒子又一次經(jīng)過A點(diǎn)(重力忽略不計(jì)).(1) 求

4、電場強(qiáng)度大小E.(2) 求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B.(3) 若僅改變粒子初速度的大小，求粒子以最短時(shí)間由A運(yùn)動到C所需的初速度大小vx.【解析】 (1) 由h=a，得a=.Eq=ma，E=. (2) 由vx=，vy=at0=vx，得v=.由R=，得=2h，則B=.(3) 設(shè)速度大小為vx，運(yùn)動軌跡與x軸交點(diǎn)處速度方向與x軸夾角，第一次與x軸相交時(shí)，vy=，合速度為v，交點(diǎn)坐標(biāo)為x2=vxt0，sin=，R=vt0，Rsin=vt0·=2h，與初速度大小無關(guān).運(yùn)動軌跡與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為x1=x2-2Rsin=vxt0-4h，根據(jù)對稱性x1=-h，x2=3h，粒子以最短時(shí)間由A運(yùn)動到C所需速率

5、vx=.【答案】 (1) (2) (3) 【變式訓(xùn)練2】(2015·海安、南外、金陵三校聯(lián)考)如圖所示，L1、L2為兩平行的直線，間距為d.L1下方和L2上方的空間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，且磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以速度v從L1上的M點(diǎn)射入兩線之間的真空區(qū)域，速度方向與L1成=30°角.不計(jì)粒子所受的重力.(1) 粒子從M點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過多長時(shí)間第一次回到直線L1上?(2) 若在直線L1、L2之間的平面內(nèi)，存在與圖示速度方向垂直斜向上、場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場，則粒子經(jīng)過多長時(shí)間第一次到達(dá)直線L2? (3) 若直線L1、L2之間無電場，v滿足什么條

6、件時(shí)，粒子恰好能回到M點(diǎn)?【解析】 (1) 粒子運(yùn)動軌跡如下圖所示，由圖可知粒子在無磁場區(qū)域做勻速直線運(yùn)動的時(shí)間為t1=.粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，圓弧對應(yīng)的圓心角為300°，故偏轉(zhuǎn)的時(shí)間為t2=T=·=，所求時(shí)間為t=t1+t2=+.(2) 粒子在電場中運(yùn)動的軌跡如圖所示，沿場強(qiáng)方向的加速度為a=，位移y=at2，沿速度方向的位移x=vt，由幾何關(guān)系有tan30°=，整理得t2+vt-2d=0，解得t=(負(fù)值舍去).(3) 由下圖幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中的軌道半徑正好等于弦長.要使粒子在L2上方的磁場中經(jīng)過n次偏轉(zhuǎn)能回到M點(diǎn)，粒子在磁場中的軌道半徑必須滿足：R=

7、n·2dcot30°(n=1，2，3，)，根據(jù)qvB=m，聯(lián)立以上兩式得到v=(n=1，2，3，).【答案】 (1) +(2) (3) (n=1，2，3，)帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的分析方法【例2】(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖甲所示，在xOy平面的第象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場E1；第、象限內(nèi)同時(shí)存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場E2和垂直紙面的勻強(qiáng)磁場B，E2=2.5N/C，磁場B隨時(shí)間t周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，B0=0.5T，垂直紙面向外為磁場正方向. 一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電液滴從P點(diǎn)(0.6m，0.8m)處以速度v0=3m/s沿

8、x軸負(fù)方向入射，恰好以指向y軸負(fù)方向的速度v經(jīng)過原點(diǎn)O后進(jìn)入x0的區(qū)域. 已知m=5×10-5kg，q=2×10-4C，t=0時(shí)液滴恰好通過O點(diǎn)，取g=10m/s2. (1) 求電場強(qiáng)度E1和液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度v的大小.(2) 液滴從P點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次經(jīng)過x軸所需的時(shí)間.(3) 若從某時(shí)刻起磁場突然消失，發(fā)現(xiàn)液滴恰好以與y軸正方向成30°角的方向穿過y軸后進(jìn)入x>0的區(qū)域，試確定液滴穿過y軸時(shí)的位置.甲乙【解析】 (1) 液滴在x>0的區(qū)域內(nèi)受豎直向下的重力和水平向右的電場力的作用.液滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動，y=gt2，v=gt，v=4m/s.

9、液滴在水平方向上做勻減速運(yùn)動v0=at，E1q=ma，E1=1.875N/C.(2) 液滴進(jìn)入x<0的區(qū)域后，由于E2q=mg，液滴運(yùn)動軌跡如圖甲所示，其做圓周運(yùn)動的大、小圓半徑分別為r1、r2，運(yùn)動周期分別為T1、T2，則qvB0=，2qvB0=，r1=2m，r2=1m，T1=，T2=，T1= s，T2= s，液滴從P點(diǎn)到第二次穿過x軸經(jīng)過的時(shí)間t總=t+=s.(3) 情形一：若磁場消失時(shí)，液滴在x軸上方，甲乙如圖甲所示，OM1=+r2(1-sin30°)=(2-1) m，OM2=+r2(1-sin30°)=(6-1) m.根據(jù)周期性可得，液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)yn滿

10、足：yn=+r2(1-sin30°)，yn=2(2n-1)-1 m(式中n=1，2，3，).情形二：若磁場消失時(shí)，液滴在x軸下方，如圖乙所示：ON1=-r2(1-sin30°)=(2+1)m，ON2=-r2(1-sin30°)=(6+1)m.根據(jù)周期性可得，液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)yn滿足：yn=-r2(1-sin30°)，yn=2(2n-1)+1m(式中n=1，2，3，).【答案】 (1) 1.875 N/C4 m/s(2) s(3) 見解析【變式訓(xùn)練3】(2014·重慶)如圖所示，在無限長的豎直邊界NS和MT間充滿勻強(qiáng)電場，且該區(qū)域上、下部分的

11、磁場方向分別為垂直于NSTM平面向外和向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，KL為上下磁場的水平分界線，在NS和MT的邊界上，距KL高h(yuǎn)處分別有P、Q兩點(diǎn)，NS和MT間距為1.8h.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)垂直于NS邊界射入該區(qū)域，在兩邊界之間做圓周運(yùn)動，重力加速度為g.(1) 求電場強(qiáng)度的大小和方向.(2) 要使粒子不從NS邊界飛出，求粒子入射速度的最小值.(3) 若粒子能經(jīng)過Q點(diǎn)從MT邊界飛出，求粒子入射速度的所有可能值.【解析】 (1) 設(shè)電場強(qiáng)度大小為E，由題意可知mg=qE，得E=，方向豎直向上.(2) 如圖甲所示，設(shè)粒子不從NS邊飛出的入射速度最小值為vmin，對應(yīng)

12、的粒子在上、下區(qū)域的運(yùn)動半徑分別為r1和r2，兩圓心的連線與NS的夾角為.由r=，有r1=，r2=r1.由(r1+r2)sin =r2，r1+r1cos =h，解得vmin=(9-6).甲乙(3) 如圖乙所示，設(shè)粒子入射速度為v，粒子在上、下兩區(qū)域的運(yùn)動半徑分別為r1和r2，粒子第一次通過KL時(shí)距離K點(diǎn)為x.由題意知3nx=1.8h(n=1，2，3，).xr2=.x=.得r1=，解得n<3.5.即n=1時(shí)，v=；n=2時(shí)，v=；n=3時(shí)，v=.【答案】 (1) 方向豎直向上(2) (3) 可能的速度有三個(gè)為、帶電粒子在周期性變化的電磁場中運(yùn)動的問題解決這類問題首先要注意交變電場和交變磁場

13、的特點(diǎn)，弄清在各個(gè)過程中受到哪些力的作用，帶電粒子在周期性變化的電場或磁場中處于何種狀態(tài)、做什么運(yùn)動，確定帶電粒子的運(yùn)動過程，然后選擇物理原理和規(guī)律按運(yùn)動過程列式求解.解題步驟如下：【例3】(2014·海安中學(xué))如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的磁場和電場，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示(規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向、沿y軸正方向的電場強(qiáng)度為正).在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射初速度大小為v0，方向沿y軸正方向的帶負(fù)電粒子.已知v0、t0、B0，粒子的比荷為，不計(jì)粒子的重力.求：(1) 當(dāng)t=t0時(shí)，求粒子的位置坐標(biāo).(2) 若t=5t0時(shí)粒子回到原點(diǎn)，求05t0

14、時(shí)間內(nèi)粒子距x軸的最大距離.(3) 若粒子能夠回到原點(diǎn)，求滿足條件的所有E0值.思維軌跡：【解析】 (1) 由粒子的比荷=，則粒子做圓周運(yùn)動的周期T=2t0.則在0t0內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角=.由牛頓第二定律qv0B=m，得r1=，位置坐標(biāo).(2) 粒子在t=5t0時(shí)回到原點(diǎn)，軌跡如圖所示，r2=2r1，r1=，r2=，得v2=2v0.又=，r2=.粒子在t02t0時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動， 2t03t0時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則在5t0時(shí)間內(nèi)粒子距x軸的最大距離hm=t0+r2=v0t0.(3) 如圖所示，設(shè)帶電粒子在x軸上方做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r1，在x軸下方做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r2，由幾何關(guān)系可

15、知，要使粒子經(jīng)過原點(diǎn)，則必須滿足n(2r2-2r1)=2r1(n=1，2，3，).r1=，r2'=，聯(lián)立以上方程解得v=v0.又由于v=v0+，得E0=(n=1，2，3，).【答案】 (1) (2) v0t0(3) E0=(n=1，2，3，)【變式訓(xùn)練4】(2015·揚(yáng)泰南三模)在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)碾妶龊痛艌鰧?shí)現(xiàn)對帶電粒子運(yùn)動的控制.如圖甲所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間做周期性變化的圖象如圖乙所示，周期為7t0，y軸正方向?yàn)镋的正方向，垂直紙面向外為B的正方向.在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒

16、子，當(dāng)B0=時(shí)，粒子沿某軌道做周期性運(yùn)動，圖中E0、t0已知，不計(jì)粒子的重力.(1) 求t0時(shí)刻粒子位置的縱坐標(biāo)y1及3t0時(shí)刻粒子的速度大小v.(2) 改變B0的大小，仍要使粒子做周期性運(yùn)動，求B0的可能取值.(3) 在(2)的情況下，求粒子速度沿y軸負(fù)方向時(shí)橫坐標(biāo)x的可能值.甲乙【解析】 (1) 0t0時(shí)間內(nèi)，粒子做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)加速度為a，則qE0=ma，y1=a，解得y1=.粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，則T=，由于B0=，則有t0=T.在t02t0時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動了四分之一周期；在2t03t0時(shí)間內(nèi)，粒子在+x方向做勻速直線運(yùn)動，在-y方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)

17、動，設(shè)t=3t0時(shí)+x方向的速度為vx，-y方向的速度為vy，則vx=at0， vy=at0，v=，解得v=，方向與+x和-y方向的夾角均成45°.(2) 在3t04t0時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動了四分之一周期；4t05t0時(shí)間粒子在-x方向做勻速直線運(yùn)動，在-y方向做勻減速直線運(yùn)動，t=5t0時(shí)在y方向速度為零；5t06t0做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動了四分之一周期，6t0粒子運(yùn)動到y(tǒng)軸，速度沿+y方向.改變B0的大小，仍要使粒子做周期性運(yùn)動，則應(yīng)滿足t0=T(n=0，1，2，3，)，解得B0=(n=0，1，2，3，).(3) 在t=t0時(shí)粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動速度為v1

18、，則v1=at0，qvB0=.粒子的運(yùn)動軌跡如圖，速度沿y軸負(fù)方向時(shí)可能的位置有M、N、P點(diǎn)，M、N點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)x1=2r，解得x1=(n=1，2，3，).P點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)x2=r+v1t0+r'，由于qvB0=，解得x2=(n=0，1，2，3，).【答案】 (1) (2) (n=0，1，2，3，)(3) 見解析帶電粒子在復(fù)合場中的實(shí)際應(yīng)用無論是速度選擇器、回旋加速器，還是質(zhì)譜儀、電磁流量計(jì)，其實(shí)質(zhì)都是帶電粒子在電磁場中的應(yīng)用實(shí)例，解決這類問題思路主要有：(1) 力和運(yùn)動的關(guān)系.根據(jù)帶電體所受的力，運(yùn)用牛頓第二定律并結(jié)合運(yùn)動學(xué)規(guī)律求解.(2) 功能關(guān)系.根據(jù)場力以及其他外力對帶電粒子

19、做功引起的能量變化或全過程中的功能關(guān)系解決問題.這條線索不但適用于均勻場，也適用于非均勻場.【例4】(2015·江蘇)一臺質(zhì)譜儀的工作原理如圖所示，電荷量均為+q、質(zhì)量不同的離子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為零.這些離子經(jīng)加速后通過狹縫O沿著與磁場垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，最后打在底片上. 已知放置底片的區(qū)域MN=L，且OM=L.某次測量發(fā)現(xiàn)MN中左側(cè)區(qū)域MQ損壞，檢測不到離子，但右側(cè)區(qū)域QN仍能正常檢測到離子. 在適當(dāng)調(diào)節(jié)加速電壓后，原本打在MQ的離子即可在QN檢測到.(1) 求原本打在MN中點(diǎn)P的離子質(zhì)量m.(2) 為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，求加

20、速電壓U的調(diào)節(jié)范圍.(3) 為了在QN區(qū)域?qū)⒃敬蛟贛Q區(qū)域的所有離子檢測完整，求需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù).(取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699)【解析】 (1) 離子在電場中加速qU0=mv2，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動qvB=m，解得r=.代入r0=L，解得m=.(2) 由(1)知，U=，離子打在Q點(diǎn)，r=L，U=，離子打在N點(diǎn)，r=L，U=，則電壓的范圍為U.(3) 由(1)可知，r.由題意知，第1次調(diào)節(jié)電壓到U1，使原本Q點(diǎn)的離子打在N點(diǎn)=，此時(shí)，原本半徑為r1的打在Q1的離子打在Q上，=，解得r1=L.第2次調(diào)節(jié)電壓到U2，原本打在Q1的離子打在N點(diǎn)，原本半徑為r2

21、的打在Q2的離子打在Q上，則=，解得r2=L.同理，第n次調(diào)節(jié)電壓，有rn=L，檢測完整，有rn，解得n-12.8，最少次數(shù)為3次.【答案】 (1) (2) U(3) 3次【變式訓(xùn)練5】(2015·重慶)如圖為某種離子加速器的設(shè)計(jì)方案.兩個(gè)半圓形金屬盒內(nèi)存在相同的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場.其中MN和M'N'是間距為h的兩平行極板，其上分別有正對的兩個(gè)小孔O和O'，O'N'=ON=d，P為靶點(diǎn)，O'P=kd(k為大于1的整數(shù)).極板間存在方向向上的勻強(qiáng)電場，兩極板間電壓為U.質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子從O點(diǎn)由靜止開始加速，經(jīng)O'