中值定理在不等式證明中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、 編號(hào)：201231130120本科畢業(yè)論文題目:中值定理在不等式證明中的應(yīng)用系 院：數(shù)學(xué)科學(xué)系姓 名: 王長(zhǎng)普學(xué) 號(hào)：0831130120專(zhuān) 業(yè)：小學(xué)教育（數(shù)學(xué)方向)年 級(jí)：2008級(jí)指導(dǎo)教師：鐘 銘職 稱(chēng)：副教授完成日期：2012年5月摘 要本文主要寫(xiě)在不等式證明過(guò)程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應(yīng)用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應(yīng)用中，給出了泰勒公式中展開(kāi)點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)、已知區(qū)間的兩端點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)、已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好的運(yùn)用泰勒中值定理證

2、明不等式.并對(duì)柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過(guò)程中的應(yīng)用問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式AbstractThis paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direc

3、t formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme

4、value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value

5、 theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussedKey words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals目 錄摘 要 （I）Abstract （I）1 引言 （1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 （2） 2.1 拉格朗日中值定理（2） 2.2 利用拉格朗日

6、中值定理證明不等式（2） 2.2.1 直接公式法 （2） 2.2.2 變量取值法 （4） 2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 （5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 （7） 3.1 泰勒中值定理（7） 3.2 利用泰勒公式證明不等式（7） 3.2.1 中點(diǎn)取值法 （7） 3.2.2 端點(diǎn)取值法 （9） 3.2.3 極值取值法 （9） 3.2.4 任意點(diǎn)取值法 （11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用（14） 4.1 柯西中值定理（14） 4.2 利用柯西中值定理證明不等式（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用 （16） 5.1 積分中值定理（16） 5.2 利用積分證明不等式（16）結(jié)束

7、語(yǔ) （18）參考文獻(xiàn) （19）致謝 （20）1 引言不等式也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱(chēng)微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見(jiàn)和實(shí)用的方法.人們對(duì)中值定理的研究，從微積分建立之后就開(kāi)始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于

8、理論分析和證明；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài).此外，在極值問(wèn)題中有重要的實(shí)際應(yīng)用.微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對(duì)它的研究時(shí)有出現(xiàn).特別是近十年來(lái)，我國(guó)對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國(guó)內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見(jiàn)的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無(wú)從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而

9、變，對(duì)中值定理的基礎(chǔ)及靈活性要求較高.我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中常常遇到不等式的證明問(wèn)題，不等式是初等數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類(lèi)問(wèn)題單獨(dú)拿出來(lái)進(jìn)行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)研究工作的開(kāi)展.2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日（，1736-1813，法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，文學(xué)家）.拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間()內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 (1)或 . (2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當(dāng)時(shí)的特殊情形.拉格朗日定理中，由于，因而可將表示為 ，.這樣（1）式還可表示為 ，. (3)

10、若令，則有 ，. （4）一般稱(chēng)式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法例2.1 證明不等式成立. 分析 首先要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)； 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間. 運(yùn)用拉格朗日公式來(lái)判斷.證明 設(shè).由拉格朗日公式（2）可得 ， .等式兩邊同取絕對(duì)值，則有 .而 .又因?yàn)?.因此，就得到 . 證畢.評(píng)注 此題如果單純地應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)證明，會(huì)難以得出結(jié)論，而應(yīng)用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡(jiǎn)單知識(shí)，問(wèn)題就游刃而解了.例2.2 證明不等式，（）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用拉格朗日

11、中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設(shè),在上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有（）， .因?yàn)?，可得.例2.33 證明. 證明 設(shè)函數(shù)，則，不難看出在區(qū)間上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，于是存在，使 .由于，所以，上式為 . 因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，所以 .兩邊同時(shí)乘以，則得 ， 即 ， 證畢. 2.2.2 變量取值法例2.4 證明不等式 成立，其中.分析 （1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個(gè)相似函數(shù)，和定義區(qū)間. （2）利用對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將對(duì)數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設(shè)，.由拉格朗日公式（3），則有 . （1）由不等式，可推得 及. 代入（1），即 . 證畢.評(píng)注 解

12、此題關(guān)健在于觀察要證明的不等式中把對(duì)數(shù)式拆開(kāi)成，再利用拉格朗日的公式來(lái)輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式，對(duì)一切，成立.分析 此題首先利用對(duì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令，.則有 ，. （1）當(dāng)時(shí)，由不等式 ，可推得及 . （2）當(dāng)時(shí)，由不等式，可知 .由于， 可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立. 評(píng)注 證明此種不等式的關(guān)健是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)來(lái)證明不等式.例2.5 證明若，則.證明 令，則在R上連續(xù)、可導(dǎo)，且.情形一 當(dāng)時(shí)，由拉格朗日定理知使 .整理有.因?yàn)椋杂?情形二 當(dāng)

13、時(shí)，由拉格朗日中值定理知，使 .整理有.因?yàn)榇藭r(shí)，三邊同時(shí)乘以，所以成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“”的取值，不僅可使證明過(guò)程簡(jiǎn)單，有時(shí)甚至是解題的關(guān)鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法例2.64 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又不為形如的函數(shù)證明至少存在一點(diǎn)，使.證明 做輔導(dǎo)函數(shù) ，則為形如的函數(shù)因?yàn)椴粸樾稳绲暮瘮?shù)，所以至少存在一點(diǎn)，使 .情形一 ，此時(shí) . 即 .因?yàn)椋杂芍兄刀ɡ碇?，?， 從而有 .情形二 ，此時(shí)，即 .因?yàn)?，所以由拉格朗日中值定理，使?，從而有 . 綜上所述，在內(nèi)至少有一點(diǎn)使原式成立. 證畢. 許多證明題都不能直接應(yīng)用定理進(jìn)行證明利用拉格朗日中值定

14、理證明問(wèn)題時(shí)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關(guān)鍵.3 泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用3.1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函數(shù)在含有的開(kāi)區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)，有 其中是與之間的某個(gè)值，上式稱(chēng)為按的冪展開(kāi)的階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開(kāi)點(diǎn)的不同情況來(lái)證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點(diǎn)取值法 選區(qū)間中點(diǎn)展開(kāi)是較常見(jiàn)的一種情況，然后在泰勒公式中取為適當(dāng)?shù)闹?，通過(guò)兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式.下面以實(shí)例說(shuō)明.例3.15 設(shè)在區(qū)間內(nèi)，> 0，試證：對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)不同點(diǎn)和，有.證明 將分別在及處展開(kāi)，得 ，其中是與之間

15、的某個(gè)值.上式中分別取及， ； .上面兩式相加，得 .因?yàn)?，所以，?.注 (1)若題中條件“”改為“”，而其余條件不變，則結(jié)論改為 .(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：對(duì)內(nèi)任意個(gè)不同點(diǎn)及，且，有 .例3.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a，b上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，證明其中.證明 將在處展開(kāi)，得 .其中是 與之間的某個(gè)值.因?yàn)?，所以?，上式在作定積分，然后取絕對(duì)值 .即 . 3.2.2 端點(diǎn)取值法當(dāng)條件中出現(xiàn)，而欲證式中出現(xiàn)廠，展開(kāi)點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)然后在泰勒公式中取為適當(dāng)?shù)闹担ザ嘤嗟捻?xiàng)，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)在區(qū)間a，b上二階可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 證明 將分別在及處

16、展開(kāi)，得 ； .上面兩式中取， ； .上面兩式相減，并由，得 . 記 .其中，.于是，有 . 3.2.3 極值取值法當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng)，展開(kāi)點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn). 例3.46 設(shè)函數(shù))在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在極值及點(diǎn)，使，試證：至少存在一點(diǎn)，使. 證明 將在處展開(kāi)，得 ，其中， 介于與之間.上式取，并由，得，其中介于與之間.兩邊同乘以，得，（1）當(dāng)時(shí)，上式取，得.即. （2）當(dāng)時(shí)，上式取，同理可得.由(1)及(2)得，存在，使得.再由的連續(xù)性，得.注 (1)當(dāng)題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時(shí)，結(jié)論可改為在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得成立(2)當(dāng)題中條件添加時(shí)，結(jié)論可改

17、為：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立.3.2.4 任意點(diǎn)取值法當(dāng)題中結(jié)論考察的關(guān)系時(shí)，展開(kāi)點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，然后在泰勒公式中取為適當(dāng)?shù)闹?，并?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式.例3.57 函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且A， B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，試證：，其中. 證明 將在處展開(kāi)，其中介于與之間.上式中分別取及，；.上面兩式相減，得 .即.故 .即，再由的任意性，故有 ，其中.例3.6 函數(shù)在區(qū)問(wèn)上二階可導(dǎo)，且，試證.證明 將在處展開(kāi)， ，其中車(chē)于與之間.上式中分別取及， ；.上邊兩式相加，得 .上式兩端在上對(duì)作積分， .于是有 ， .即.注 從不等式的特點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用實(shí)際范例給出了泰勒公式中展開(kāi)

18、點(diǎn)選取的幾種情況：區(qū)間的中點(diǎn)，已知區(qū)間的兩端點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)，已知區(qū)間的任意點(diǎn).同時(shí)對(duì)各種情況的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)作了說(shuō)明，以便更好地運(yùn)用泰勒中值定理證明不等式.4 柯西中值定理在不等式證明中的應(yīng)用4.1 柯西中值定理柯西中值定理 設(shè)函數(shù)，滿足 （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； （3）對(duì)任一有， 則存在， 使得/=/.4.2 利用柯西中值定理證明不等式例4.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可微，證明：在內(nèi)，.證明 引入輔助函數(shù)在應(yīng)用柯西中值定理，得因?yàn)槔?.28 證明不等式證明 令則上式轉(zhuǎn)化為由于上應(yīng)用柯西中值定理，得于是又轉(zhuǎn)化為.因?yàn)槎?dāng)所以即 例4.39 若，求證：證明 證明實(shí)際上只需證，

19、設(shè)上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以 .即 .其中用到是單調(diào)增加函數(shù).5 積分中值定理證明不等式5.1積分中值定理 定理5.1(積分第一中值定理) 若在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)使得 定理5.2(推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則在至少存在一點(diǎn)，使得.5.2 利用積分中值定理證明不等式 例5.111 證明. 證明 估計(jì)積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值，又若，則.本題中令 .因?yàn)? 所以.例5.2 證明. 證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值.，令，得駐點(diǎn). 比較，知為在上的最小值，而為在上的最大值.由積分中值定理得，即.注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積

20、分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí)，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號(hào)，若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時(shí)，可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便.結(jié)束語(yǔ) 中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要意義.偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)“數(shù)學(xué)的生命力在于聯(lián)系” 數(shù)學(xué)中存在著概念之間的親緣關(guān)系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系， 存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學(xué)中各種各樣的聯(lián)系

21、乃是指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要思想實(shí)際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認(rèn)識(shí)和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的真正任務(wù)就在于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務(wù)的解決不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展 中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對(duì)于原來(lái)的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明.今后應(yīng)當(dāng)注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應(yīng)用中值定理解決不等式的證明.參考文獻(xiàn)1 高尚華.華中師范大學(xué)第三版.數(shù)學(xué)分析(上)M.北京:高等教育出版社，2001，(06).2 董煥河、張玉峰.高等數(shù)學(xué)與思想方法M.陜西:西安出版社

22、，2000，(09).3 高崚峰.應(yīng)用微分中值定理時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的三種方法J.四川:成都紡織高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào).2007，(07):18-19.4 張?zhí)?、黃星、朱建國(guó).微分中值定理應(yīng)用的新研究J.江蘇:南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2007，(8):12-14.5 張?jiān)?、宋列俠.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)30講M. 清華大學(xué)出版社，1994，(6).6AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex FunctionJ.Journal of Kaifeng University， Vol.17，No.2，Jun.2003:132-136.7 鐘朝艷.Cauchy中值定理與Taylor定理得新證明J.云南:曲靖師專(zhuān)學(xué)報(bào).1998，(9):9.8 荊天.柯西中值定理的證明及應(yīng)用J.北京:科技信息(學(xué)術(shù)版).2008，(06):14.9 葛健牙、張躍平、沈利紅.再探柯西中值定理J.浙江:金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2007，(06):23.10劉劍秋、徐綏、