浙江省溫州市瑞安中學(xué)2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷(含解析)

1、 2015-2016 學(xué)年浙江省溫州市瑞安中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有 一項符合題目要求. 1.設(shè)集合 A=x| - 2W x 0，則集合 AQB 等于（ ） A. 2. A. 3. x| - 2W xw- 1B. x| - 2W xv- 1C . x| - 1 x 3D. x|1 v x 3 下列函數(shù)中，其圖象既是軸對稱圖形又在區(qū)間（ 0, +R）上單調(diào)遞增的是（ y=B. y= - x2+1C. y=2xD. y=lg|x+1| i 已知某三棱錐的三視圖（單位： cm）如圖所示，那么該三棱錐的體積等于

2、（ 正（主視圖 側(cè)（左觀區(qū) A. 3cm D. 9cm 1 4. A. C. 5. A. B. C. D. 3 俯視團 cm3B. 2cm3C. 2 已知 a, b 為實數(shù)，則a+bw2”是awl 且 bw 1的（ 充分不必要條件 B.必要不充分條件 充要條件 D.既不充分也不必要條件 下列命題中錯誤的是（ 如果平面 如果平面 如果平面 如果平面 6. ） a丄平面3 ,過a內(nèi)任意一點作交線的垂線，那么此垂線必垂直于 a丄平面3，那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面 3 a不垂直于平面 3，那么平面 a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 3 a丄平面 丫，平面3丄平面 Y , a A 3 =l，那么 I

3、丄丫 為得到函數(shù).：L. 丫，平面3丄平面丫 , 的圖象，只需將函數(shù) y=sin2x的圖象（ A. 向左平移個長度單位 0 B.向右平移二-個長度單位 6 C. 向左平移丄個長度單位 D.向右平移個長度單位 2 2 _ 7已知雙曲線 |一 與圓：.-|廠一-.交于 a bz A B、_C_D 四點，若四邊形 ABCD 是正方形，則雙曲線的離心率是（ ） A.亠、.汀 B .匸込C . 1 - D . -J &設(shè) a0, y0, x+2y=1，則工；丄的最小值為 1 y Cj 14. “斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列 an中，a1=1, a2=1, an+2=an+

4、1+an (n N)貝 9 a8= ；若 a2018=m+1，則數(shù)列an的前 2016 項和 是 _ .(用 m 表示). 15. _ 已知函數(shù) f (x) =x2+bx+2 , g (x) =f (f (x),若 f (x)與 g (x)有相同的值域，則 實數(shù) b 的取值范圍是 . 74 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 三、解答題：本大題共 5 小題，共 16.如圖所示，在四邊形 ABCD 中, (1 )求厶 ACD 的面積； 護 -I 17. 已知數(shù)列 a n 是公差不為零的等差數(shù)列, a1=1，且 a2, a4, 成等比數(shù)列. (I)求數(shù)列an的通項公式; (H)設(shè)數(shù)列bn

5、滿足: a1b+a2b2+a3b3+anbn=2n+1, N* ,令 Cn=- 2 n+1 ,n N,求數(shù)列c nCn+1 (2)若 BC=2 一，求 AB 的長. 3 / D=2Z B,且 AD=1, CD=3 cos / B= P 3 的前n項和S. 18. 如圖，已知平面 QBC 與直線 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且 PA=AB=AC (I)求證：PA/平面 QBC (H) PQL 平面 QBC 求二面角 Q- PB- A 的余弦值.4 19. 已知拋物線 C: y2=2px ( p 0),其焦點為 F (1, 0),過 F 作斜率為 k 的直線交拋物線 C 于 A B 兩

6、點，交其準線于 P 點. (I)求 P 的值； (H)設(shè)|PA|+|PB|=入|PA|?|PB|?|PF| ，若 k , 1，求實數(shù) 入的取值范圍. 4 20. 已知函數(shù) f (x) =x2- 1. (1) 對于任意的 Kxw 2,不等式 4吊氏(x) |+4f (m)w|f ( x - 1) |恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍； (2) 若對任意實數(shù) X1 1 , 2.存在實數(shù) X2 1 , 2，使得 f (xj =|2f (X2)- ax?|成立, 求實數(shù) a 的取值范圍.5 2015-2016 學(xué)年浙江省溫州市瑞安中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小

7、題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有 一項符合題目要求. 1. 設(shè)集合 A=x| - 2 x 0，則集合 AQB 等于（ ） A. x| - 2x- 1B. x| - 2xv- 1C . x| - 1vx 3D. x|1 vx 0=x|x - 1, 又集合 A=x| - 2 xw 3，貝U An B=x| - 1 v x 3, 故選：C. c丿 2. 下列函數(shù)中，其圖象既是軸對稱圖形又在區(qū)間（ 0, +R）上單調(diào)遞增的是（ ） A. y=2B. y= x2+1C. y=2xD. y=lg|x+1| 1 【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的圖象. 【

8、分析】根據(jù)題意，結(jié)合常見的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)， 對選項中的函數(shù)進行判斷即可. 【解答】 解：對于 A 函數(shù) y=的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不滿足題意； 對于 B,函數(shù) y= - x2+1 的圖象是軸對稱圖形，在區(qū)間（0, +8）上是單調(diào)減函數(shù)，不滿足 題意； 對于 C,函數(shù) y=2x的圖象不是軸對稱圖形，.不滿足題意； 對于 D,函數(shù) y=lg|x+1|的圖象是關(guān)于直線 x= - 1 對稱的圖形，且在區(qū)間（0, +8）上是單 調(diào)增函數(shù)，滿足題意. 故選：D. * 3. 已知某三棱錐的三視圖（單位： cm）如圖所示，那么該三棱錐的體積等于（ ） 八 d 3 小 3 小 3 小

9、3 A. p cm B. 2cmC. 3cm D. 9cm 2 【考點】由三視圖求面積、體積. 【分析】該三棱錐高為 3,底面為直角三角形. 6 【解答】 解：由三視圖可知，該三棱錐的底面為直角三角形，兩個側(cè)面和底面兩兩垂直,7 v= x _x 3x 1 x 3=三. 3 2 2 故選 A. 4. 已知 a, b 為實數(shù)，則a+bw2”是awl 且 b 1”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可. 【解答】 解：若 a=- 4, b=1，滿足 a+b

10、w2,但 a1且 b0 在（a, b） 上恒成立，貝U 3x +a0, 2x+b0 或 3x +a 0, 2x+b0,結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得 a, b 的范圍，進而得到答案. 解得，x2=c2 由于四邊形 則有 x2=y2, ABCD 是 正 方形, K4 K4 即為 c2-= 2 b4 y= 一， c c2 0 2 /、 -0在（a, b）上恒成立， 2 2 3x +a0, 2x+b0 或 3x +a 0, 2x+b0 在（a, b）上恒成立，則 2a+b0, 即卩 b 2a0, 此時當 x=0 時，3x +a=a0不成立， 若 2x+b0在（a, b）上恒成立，則 2b+

11、b 0, 即卩 b 0, 若 3x2+aW0 在(a, b)上恒成立，則 3a2+a 0,即-a 0, 解得入1 或入V-, 06 _ 6 3 + 1 0, 12 綜上所述 入的范圍為入|入1 或入 V- 3 故答案為： (0,- 6), 入 | 入 1 或入 V - * O1 11. 已知過點(1, 1)的直線 I與圓 C: x2+y2- 4y+2=0 相切，則圓 C 的半徑為 】，直 線 I的方程為 x - y=0 . 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系. 由題意可得對兩式平方相減即可得出答案. 解：為 AC 的中點，：=2| -I, 亦廠f4屮=36, I、. f、 % 1 .2 丄* r +

12、 ： * -得： 0, H5. 故答案為：5. 13. 已知 x 0, y0, x+2y=1，則-的最小值為 4 . K y 【考點】基本不等式. 【分析】 把圓 C 的方程化為標準方程， 寫出圓心與半徑， 驗證點 直線 CP 的斜率， 【解答】解：圓 化為標準方程是： 所以圓心坐標為 (1, 1)在圓 C 上，求出 從而求出直線 I的斜率和方程. 2 2 C: x +y - 4y+2=0, 2 9 x+ (y - 2 ) =2, C (0, 2),半徑 r=; 又點 P ( 1, 1 )滿足方程 x2+y2 - 4y+2=0, 所以點 P 在圓 C 上, 1-2 又直線 CP 的斜率為心=

13、=-1, 1-0 所以直線 I的斜率為 k=1, 直線 I方程為 y - 1=x - 1,即 x - y=0. 故答案為：.，x- y=0. 12.在 ABC 中，AC=4 M 為 AC 的中點，BM=3 則瓦?環(huán)= 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算. 【分【解、5 13 【分析】x 0, y 0, x+2y=1，則一-；=亠+ = + +2,再根據(jù)基本不等式即可求出. x y K y x y 【解答】 解：x0, y0, x+2y=1，則厶丄=二+丄二=+_1+22 ； . +2=4,當且僅當 x y x y x y y x X=y= 丁時取等號， 故則三丿的最小值為 4, x y 故答案為：

14、4. 14. “斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列 an中，ai=1, a2=1, an+2=an+i+an (n N*)貝 9 a8= 21 ;若 a20i8=m2+1，則數(shù)列a n的前 2016 項和是 ml .(用 m 表示). 【考點】數(shù)列的求和. 【分析】 由 ai=1, a2=1, an+2=an+i +an (n N), a3=1+仁 2,冋理可得：a4, a5, a6, a7, a8 * 由于 ai=1, a2=1, an+an+i=an+2(n N),可得 ai+a2=a3, a2+a3=a4, as+a4=a5,，a20i6+a20i7=a20i8.以 上

15、累加求和即可得出 【解答】 解：Ta i=1, a2=1, an+2=an+i+an (n N) , a 3=1+ 仁 2, 同理可得：a4=3, a5=5, a6=8,貝U a7=13, a8, =21. * a i=1 , a2=1, an+an+i=an+2 (n N), a i+a2=a3 , a2+a3=a4 , a3+a4=a5 , , a2015+a2016=a2017 a2016+a2017=a2018. 以上累加得， ai+&+a2+a3+a3+a4+2a20i6+a20i7=a3+a4+a20i8 , 2 2 a i+a2+a3+a4+a20i6=a20i8 - a

16、2=m+1 1=m , 故答案分別為：21 ; m2 15. 已知函數(shù) f (x) =x2+bx+2 , g (x) =f (f (x),若 f (x)與 g (x)有相同的值域，貝 U 實數(shù) b 的取值范圍是 b4或 bw- 2 . 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】 首先這個函數(shù) f (x)的圖象是一個開口向上的拋物線，也就是說它的值域就是大 于等于它的最小值.F (x) =f (f (x)它的圖象只能是函數(shù) f (x)上的一段，而要這兩個 函數(shù)的值域相同，則函數(shù) F (x)必須要能夠取到最小值，這樣問題就簡單了，就只需要 f (x)的最小值小于-4. 2 【解答】解：由于 f (x) =

17、x2+bx+2, x R.則當 x=-f 時，f (x) min=2-, 2 4 又由函數(shù) F(x) =ff (x)與 f ( x)在 x R 時有相同的值域， 14 則函數(shù) F (x)必須要能夠取到最小值，即 2-w-,一， 4 得到 b4或 bw- 2 所以 b 的取值范圍為 b4或 bw- 2.15 故答案為：b4 或 bw- 2. 三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (1 )求厶 ACD 的面積； (2)若 BC=2，求 AB 的長. 【分析】(1)利用已知條件求出 D 角的正弦函數(shù)值，然后求厶 ACD 的面積; (2)利用余弦定理求

18、出 AC,通過 BC=2 _ 【解答】 解：(1)因為/ D=2Z B, cos / B= 2 1 所以 cosD=cos2B=2cos B-仁-. 3 因為/ D( 0, n ), 所以 sinD=. 3 因為 AD=1, CD=3 XAJx _ 所以 ACD 的面積 S=_：,. ；.|.= =- 乙 01 (2)在厶 ACD 中，AC=AD+DC-2AD?DC?cosD=12 所以 AC=2/ 因為 BC=2 , -， 缶 AR 魅 所以-： . - / !=匚 所以 AB=4 17. 已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列， a1=1,且 a2, a4, a8成等比數(shù)列. (I)求數(shù)列an

19、的通項公式； 的前 n項和 Sn. 16如圖所示，在四邊形 ABCD 中，/ D=2Z B,且 AD=1, CD=3 cos/ B= V ，利用正弦定理求解 AB 的長. 4 * A (H)設(shè)數(shù)列bn滿足: a1b+a2b2+a3b3+anbn=2n+1, n N,令 Cn= ,n N ,求數(shù)列c nCn+1 16 【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的性質(zhì). 【分析】(I )禾 9 用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出； (II )禾U用遞推式可得氣一二(n2),再利用“裂項求和”即可得出. n n 【解答】 解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d, a 1=1,且 a2, a4

20、, a8成等比數(shù)列. 一)廠二，即 I .-I： i I !, 解得 d=0 (舍)或 d=1, 數(shù)列an的通項公式為 an=ai+ (n- 1) d=n,即 an=n. (11 )由：一卜- 、： J，；.、, I r, ： ：； - (n2), 兩式相減得 !i ，即 r 二二(n2), n n n . i i - m -:. ！ ii- 1 - ；,. n 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 2 (n+2) 18. 如圖，已知平面 QBC 與直線 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且 PA=AB=AC (I)求證：PA/平面 QBC (H) PQL 平面 QBC 求二面角

21、Q- PB- A 的余弦值. 【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定. 【分析】(I)利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明； (H)方法一：利用三角形的中位線定理及二面角的平面角的定義即可求出. 方法二：通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量所成的夾角來求兩平面的二面角的平 面角. 【解答】 解：(I )證明：過點 Q 作 QDL BC 于點 D, 平面 QBC_平面 ABC - QDL平面 ABC 17 又TPAL 平面 ABC18 QD/ PA 又T QD?平面 QBC PA?平面 QBC PA/平面 QBC (n)方法一： PQL 平面 QBC / PQBM

22、PQC=90，又 T PB=PC PQ=PQ PQB2A PQC. BQ=CQ 點 D 是 BC 的中點，連接 AD 貝 U ADL BC, ADL 平面 QBC - PQ/ AD ADLQD 四邊形 PADC 是矩形. 設(shè) PA=2a, l. ，PB=2F “.a , 1! 過 Q 作 QRL PB 于點 R, QR點口_ 一 QR= 一 = , 2V2a 2 取 PB 中點 M 連接 AM 取 PA 的中點 N 連接 RN T PRPI ,；二匸,F 二 1 F 上, MA/ RN T PA=AB AML PB RNL PB. / QRN 為二面角 Q- PB- A 的平面角. 連接 QN

23、 則 QN=1：.一.宀=.又 l 7 3 2 1 2 _ o 2 cos / QRN=八 yy、/， 即二面角 Q- PB- A 的余弦值為 二 3 (n)方法二：T PQL 平面 QBC / PQBM PQC=90 ,又 T PB=PC PQ=PQ PQB2A PQC BQ=CQ 點 D 是 BC 的中點，連 AD,貝 U ADL BC ADL 平面 QBC - PQ/ AD ADLQD 四邊形 PADQ 是矩形. 分別以 AG AB AP 為 x、y、z 軸建立空間直角坐標系 不妨設(shè) PA=2 則 Q (1 , 1 , 2), B (0 , 2 , 0) , P (0 , 設(shè)平面 QPB

24、 的法向量為/.二. VI 3 0 xyz . 0 , 2), 19 T = ( 1, 1 , 0), - ( 0, 2, - 2).x+y=0 2y - 2z-0 令 x=1 ,貝 H y=z= - 1. 又T平面 PAB 的法向量為.丄 U： x 7 20 又二面角 Q- PB- A 是鈍角 19. 已知拋物線 C: y2=2px ( p 0),其焦點為 F (1, 0),過 F 作斜率為 k 的直線交拋物線 C 于 A B 兩點，交其準線于 P 點. (I)求 P 的值； (H)設(shè) |PA|+|PB|=入 |PA|?|PB|?|PF| ，若 k , , 1，求實數(shù) 入的取值范圍. 設(shè)二面

25、角 Q- PB- A 為 0，則 |cos 0 |= i：:On；7. 21 x 7 22 【考點】拋物線的簡單性質(zhì). 【分析】(I)運用拋物線的焦點坐標，計算即可得到所求方程； (H)由題可知：直線 AB 的方程為 y=k( x - 1) (kz 0)，準線 I的方程為 x= - 1，設(shè) A (Xi, yi), B( X2, y2),聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理，運用不等式的 性質(zhì)，即可得到所求范圍. 解得 .， 2(1+k2) 因為 k , 1,所以 入 , . 4 4 17 20. 已知函數(shù) f (x) =x2- 1. (1) 對于任意的 Kxw 2,不等式 4吊氏(x) |+4f (m)w|f ( x - 1) |恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍； (2) 若對任意實數(shù) X1 1 , 2.存在實數(shù) X2 1 , 2,使得 f (xj =|2f (X2)- ax?|成立， 求實數(shù) a 的取值范圍. 【考點】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì). _ 2 【分析】(1)由題意可得 4 卅(|x 2- 1|+1| w 4+|x 2 - 2x| ,由 1w x I , 由 1w