第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

1、第四章第四章 不定積分不定積分第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念定義定義 設(shè)設(shè) 是定義在空間是定義在空間 上的函數(shù)上的函數(shù), ,)(xfI若存在函若存在函數(shù)數(shù) 對(duì)任何對(duì)任何 均有均有)(xFIx )()(xfxF dxxfxdF)()( 或或則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為為 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的原函數(shù)原函數(shù). .)(xF)(xfI不定積分的概念不定積分的概念定義定義若存在原函數(shù)若存在原函數(shù), ,為為積分符號(hào)積分符號(hào), ,由定義知由定義知, ,則則在某區(qū)間在某區(qū)間 上的函數(shù)上的函數(shù)I),(xf稱稱 為可積函數(shù)為可積函數(shù), ,)(xf并將并將 的全體原函數(shù)記為的

2、全體原函數(shù)記為)(xf則則dxxf )(稱它是函數(shù)稱它是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分, ,)(xfI其中其中 稱稱 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù), ,)(xf稱為稱為積分變量積分變量. .x若若 為為 的的原函數(shù)原函數(shù), ,)(xF)(xf( 稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù))Cdxxf )(CxF )(基本積分表基本積分表(1)(3)(6)(2)(5)Ckxkdx k( 是常數(shù)是常數(shù))Cxdxx 11 )1( Cxxdx |lnCxdxx arcsin112Cxxdx sincos(4)Cxdxx arctan112(7)Cxxdx cossin基本積分表基本積分表(7)Cxxdx co

3、ssin(9)(10)(11)(12)(13)Cxxdxxdx cotcscsin22Cxxdx tansec2Cxx cotcsc2Cedxexx .lnCaadxaxx (8)Cxxdxxdx tanseccos22例例1 問(wèn)問(wèn))( dxxfdxd與與 dxxf)(是否相等是否相等? ?例例2 求下列不定積分求下列不定積分 ;)1(3dxx ;1)2(2dxx .11)3(2dxx例例3 已知曲線已知曲線)(xfy 在任一點(diǎn)在任一點(diǎn)處的切線斜率處的切線斜率x為為,2x且曲線通過(guò)點(diǎn)且曲線通過(guò)點(diǎn)),2 , 1(求此曲線的方程求此曲線的方程. .不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 兩函數(shù)代數(shù)

4、和的不定積分兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分, ,分分的代數(shù)和的代數(shù)和. .即即等于它們各自積等于它們各自積 dxxgxf)()( dxxgdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)2 求不定積分時(shí)求不定積分時(shí), ,即即非零常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面非零常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面. .dxxfkdxxkf )()();0( k例例5 計(jì)算不定積分計(jì)算不定積分 .1232dxx 例例6 求不定積分求不定積分 .2dxexx求不定積分求不定積分例例7.)1(122 dxxxxx例例8 求不定積分求不定積分.1142dxxx 例例9求不定積分求不定積分.124 dxxx例例10 求下列不定積分求下列不定積分: :;tan)1(2 xdx.2sin)2(2 dxx例例12 求滿足下列條件的求滿足下列條件的).(xF,2