一類平面三次系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)論文：一類平面三次系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)

1、J論文發(fā)表專家一中國學(xué)木論文網(wǎng)一類平面三次系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)論文：一類平面三次系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)內(nèi)容摘要：本文運(yùn)用定性分析和分支的方法，研究了一 類 系統(tǒng)在 條件下的全部奇點(diǎn)的性態(tài)，然后利用 分岔的理 論證明了極限環(huán)的存在唯一性。關(guān)鍵詞：分支極限環(huán)全局結(jié)構(gòu)1、引言陳文登于 1994 年在文獻(xiàn)1中對(duì)如下的系統(tǒng)：（1）在時(shí)進(jìn)行了定性分析，得出系統(tǒng)（1）存在周期解的充分條件.本文主要研究當(dāng)時(shí)即考慮了如下微分系統(tǒng)（2）其中.容易驗(yàn)證,系統(tǒng)（2）在有限平面內(nèi)有且只有一個(gè)奇點(diǎn).下面來具體判定系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn) 的類型.定理 1:若,貝 U 為一階穩(wěn)定（不穩(wěn)定）焦點(diǎn)量；若，則 為中心.證明：當(dāng) 時(shí)，屬于中心焦點(diǎn)型的判

2、定問題.利用形式級(jí) 數(shù)法容易求得其一階焦點(diǎn)量。.當(dāng) 時(shí)，為一階穩(wěn)定（不穩(wěn)定）焦點(diǎn)量；當(dāng) 時(shí)，由于 所 以由對(duì)稱性原理知，此時(shí) 為中心.定理 2:當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為退化結(jié)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為J論文發(fā)表專素一中國學(xué)木論文網(wǎng)vww.591 68,net正規(guī)結(jié)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為不穩(wěn)定（穩(wěn)定）的奇點(diǎn).證明：因?yàn)樵谌矫鎯?nèi)為解析函數(shù)，由文獻(xiàn)2的定理4.1 和定理 4.2 知,本定理成立.2、基本引理引理 1：（i） 若，則系統(tǒng)（4）有奇點(diǎn)；若,則系統(tǒng)（4）有兩個(gè)奇點(diǎn)；若,則系統(tǒng)（4）只有唯 的奇點(diǎn)；（ii） 若,則系統(tǒng)（4）只有唯一的奇點(diǎn)；（iii） 若,則系統(tǒng)（4）有奇點(diǎn)；若,則系統(tǒng)（4）有兩個(gè)奇點(diǎn)；若,則系統(tǒng)（

3、4）只有唯 的奇點(diǎn).引理 2：為退化奇點(diǎn).證明：利用 方法來判定 的奇點(diǎn)類型.對(duì)于系統(tǒng)（2）,由于在點(diǎn)的行列式為零,令，得由于所以均為特殊方向.故當(dāng) 由變到時(shí)，有正變到負(fù)，根據(jù)3的定理 4.9 知, 角域是第 ii 型法域.當(dāng) 由 變到 時(shí)，有正變到負(fù)，根據(jù)3 的定理 4.9知,角域 是第 ii 型法域.由（4）的第一個(gè)方程知，對(duì)一切常點(diǎn).在法域內(nèi)僅有一條正半軌進(jìn)入奇點(diǎn)，在法域內(nèi)僅有一條負(fù)半軌進(jìn)入奇點(diǎn).由系統(tǒng)（4）的第二個(gè)方程易見 為軌線，所以負(fù)向和正向進(jìn)入奇點(diǎn)點(diǎn)的軌線就分別是J3、主要定理定理 1:若，則系統(tǒng)沒有極限環(huán).證明：若，則為中心若或不同時(shí)為零，令，則系統(tǒng) 化為于是,所以定理成立.定理 2：若 則系統(tǒng)(2)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)，且當(dāng) 時(shí), 收縮趨于原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，擴(kuò)張,使其在軸上投影之長趨于；時(shí)，是穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn).證明： 時(shí)，是不穩(wěn)定粗焦點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是一階穩(wěn)定細(xì)焦 點(diǎn)，由 hopf分叉理論，對(duì)于充分小的 系統(tǒng)(2)在附近至少存 在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，且時(shí)，趨于原點(diǎn).由4中定理 2.5 知，系統(tǒng)的極限環(huán) 是唯一的.且對(duì) 于系統(tǒng)(2),于是故系統(tǒng)(2)構(gòu)成關(guān)于參數(shù) 的旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)；是順時(shí)針的 正向穩(wěn)定極限環(huán)，由旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)理論，當(dāng) 增大時(shí)，單調(diào)擴(kuò) 大由于是穩(wěn)定極限環(huán)，故而