三章微分中值定理ppt課件

1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理本章主要內容本章主要內容3.1 微分中值定理微分中值定理3.2 羅必達法則羅必達法則 3.3 函數單調性的判別法函數單調性的判別法 3.4 函數的極值函數的極值 3.5 函數的最大值和最小值函數的最大值和最小值 3.6 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點 3.7 函數圖象的描繪函數圖象的描繪 學習目標學習目標熟悉微分中值定理熟悉微分中值定理熟練掌握羅必達法則，并能夠解決相應的問題熟練掌握羅必達法則，并能夠解決相應的問題了解函數單調性的判別方法了解函數單調性的判別方法了解函數的極值、最值、凹凸點、拐點了解函數的極值、最值、凹凸點、拐點了解函數圖象的描繪了解函數

2、圖象的描繪3.1 3.1 微分中值定理微分中值定理一、本章簡介一、本章簡介1、主要內容：本章在已有知識的基礎上，來介紹高等數、主要內容：本章在已有知識的基礎上，來介紹高等數學中的幾個重要的概念學中的幾個重要的概念中值定理，進而豐富了高等數學的中值定理，進而豐富了高等數學的知識，同時介紹了關于導數的應用。知識，同時介紹了關于導數的應用。2、 學習目標：了解中值定理的有關規(guī)定，以及由中值學習目標：了解中值定理的有關規(guī)定，以及由中值定理得到的一些結論，同時掌握導數相關的應用。定理得到的一些結論，同時掌握導數相關的應用。（2） 在開區(qū)間在開區(qū)間 ),(ba（3）0)(f如果函數如果函數)(xfy 滿足

3、條件滿足條件: (1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)；上連續(xù)； 內可導；內可導； 則在則在 ),(ba內到少存在一點內到少存在一點 0)(f二、羅爾二、羅爾Rolle定理定理),(ba內到少存在一點內到少存在一點 0)(f),(ba內到少存在一點內到少存在一點 0)(f)()(bfaf例例1 驗證函數驗證函數 22xry)0( r在區(qū)間在區(qū)間 ,rr上是上是 否滿足否滿足Rolle定理，若滿足則定理，若滿足則 求出定理中的求出定理中的 解解 設設 22)(xrxf,顯然顯然, )( xf在在 ,rr上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ),(rr內可導，且內可導，且 0)()(rfrf，滿足，滿足Rolle定

4、理的三定理的三 應用舉例應用舉例),(rr內找到內找到 ，使，使 0)( f由由 22)( xrxxf令令 0)( xf,解得解得 0 x),(0rr取取 0,有有 0)0( )( ff個條件。按照個條件。按照Rolle定理的結論，一定能在定理的結論，一定能在三、拉格朗日三、拉格朗日LagrangeLagrange定理定理 )(xfy (1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 滿足條件：滿足條件： 若函數若函數 ,ba上連續(xù)；上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ),(ba內可導；內可導； 則在區(qū)間則在區(qū)間 ),(ba，使得，使得 abafbff)()()( 此公式叫做微分中值公式或此公式叫做微分中值公式或Lag

5、range公式公式 內至少有一點內至少有一點例例2 驗證函數驗證函數 32f xxx在區(qū)間在區(qū)間 0,1上滿足拉上滿足拉 格朗日定理格朗日定理 的條件，并求的條件，并求 的值的值 解：解： 本題主要應用本題主要應用 拉格朗日定理，主要先考慮到兩個條件拉格朗日定理，主要先考慮到兩個條件,根據根據條件來驗證。條件來驗證。,ba上連續(xù)；上連續(xù)； (2)在開區(qū)間在開區(qū)間 ),(ba內可導，且內可導，且 0)( xg則在區(qū)間則在區(qū)間 ),(ba內至少存在一點內至少存在一點 ，使得，使得 )()()()()()(agbgafbfgf3.2 3.2 羅必達法則羅必達法則 在閉區(qū)間在閉區(qū)間四、柯西四、柯西Ca

6、uchyCauchy定理定理若函數若函數 )(xf)(xg皆滿足條件皆滿足條件: (2) 與與 )(xg在點在點 0 x)(xf的某一空心鄰域內可導，且的某一空心鄰域內可導，且 (3)Axgxfxx)()(lim0那么那么 Axgxfxgxfxxxx)( )( lim)()(lim00)(xf與與 )(xg滿足條件：滿足條件： (1) 0)(lim0 xfxx0)(lim0 xgxx若函數若函數0)xg x(0) g羅必達法則（羅必達法則（） 五、羅必達五、羅必達LHospitalLHospital法則介紹法則介紹未定式未定式 00型的極限求法型的極限求法 例例1 求求 20)1ln(limx

7、xx解解 20)1ln(limxxx)1 (21lim211lim00 xxxxxx型根據法則型根據法則l，有，有 3200s in1c o slimlim;3xxxxxxx，所以是，所以是 00解解 當當 0 x 時時, sin0 xx且且 30 x 很明顯，當很明顯，當 0 x 時，上式右端的極限是時，上式右端的極限是 00型再用法則型再用法則l，得，得 2001 cossin1limlim.366xxxxxx未定式未定式 型的極限求法型的極限求法例例230sinlim.xxxx那么那么 （3 3） Axgxfxx)( )( lim0（2 2） )(xf與與 )(xg在點在點 0 x的某一

8、空心鄰域內可導，且的某一空心鄰域內可導，且 0)( xg)(lim0 xgxx（1 1）)(lim0 xfxxAxgxfxgxfxxxx)( )( lim)()(lim00若函數若函數 )(xf與與 )(xg滿足條件：滿足條件： 羅必達法則（羅必達法則（）知識介紹及應用舉例）知識介紹及應用舉例下面來介紹未定式下面來介紹未定式 型的極限型的極限 xxxlncotlnlim0解解 xxxlncotlnlim0 xxxx1)csc(tanlim2012sin2limcossinlim00 xxxxxxx例例3例例4 求求 nxxxlnlim01lim1lim1nxnxnxnxxnxxxlnlim解解

9、型的極限求法舉例型的極限求法舉例 例例5 求求 xxxxxsintanlim0解解 xxxxxsintanlim03復雜的未定式復雜的未定式 00 xxxxxxcos1tanlimcos11seclim20202cos2limsinsectan2lim3020 xxxxxx型的極限求法舉例型的極限求法舉例 3復雜的未定式復雜的未定式 00型的極限求法舉例型的極限求法舉例 3復雜的未定式復雜的未定式 00例例 6 6 求求 30cos1limxxx解解 30cos1limxxx203sinlimxxx xxx6coslim0其它類型的未定式極限的求法其它類型的未定式極限的求法 0型未定式求極限型

10、未定式求極限 為為 設設 0)(limxf)(limxg那么那么 )()(limxgxf0型未定式，可將其變型為型未定式，可將其變型為 )(1)(lim)()(limxgxfxgxf00型型 即可用羅必達法則求極限了。即可用羅必達法則求極限了。為為 設設 0)(limxf)(limxg那么那么 )()(limxgxf0型未定式，可將其變型為型未定式，可將其變型為 求求 例例7 7 xxxlnlim00型型 解解 xxxxxx1lnlimlnlim000lim11lim020 xxxxx 我們在以前章節(jié)中討論了函數單調性的概念，現在利用導數我們在以前章節(jié)中討論了函數單調性的概念，現在利用導數來研

11、究函數的單調性我們來介紹函數單調性的判別方法，導數的來研究函數的單調性我們來介紹函數單調性的判別方法，導數的符號來判定函數的單調性符號來判定函數的單調性 函數單調性的判定定理介紹函數單調性的判定定理介紹 定理定理3.4 3.4 設函數設函數 )(xfy在區(qū)間在區(qū)間 ),(ba內可導，內可導， 若在區(qū)間若在區(qū)間 ),(ba內內, 0)( xf，那么函數，那么函數 )(xf在在 ),(ba內單調增加；內單調增加； 3.3 3.3 函數單調性的判別法函數單調性的判別法（2 2若在區(qū)間若在區(qū)間 ),(ba內，內， 0)( xf，那么函數，那么函數 )(xf在在 ),(ba內單調減少。內單調減少。 例例

12、1 1 判定函數判定函數 xxysin的單調性。的單調性。 解解 函數函數 xxysin的定義域為的定義域為 ),(。且。且 xycos1令令 0y，解得駐點，解得駐點 kx2除這些孤立的駐點外，除這些孤立的駐點外， 0y因而，函數因而，函數 xxysin函數單調性的判定定理應用舉例函數單調性的判定定理應用舉例 在在 ),(單調增加。單調增加。 例例2 2 討論函數討論函數 xxxf3)(3的單調性。的單調性。 解解 函數函數 xxxf3)(3在其定義域在其定義域 ),(內連續(xù)，且內連續(xù)，且 ) 1)(1(3332xxxy令令 0y，得駐點，得駐點 11x12x,函數沒有導數不存在的點函數沒有

13、導數不存在的點.點點 1x2x把函數的定把函數的定 義域分成義域分成 ) 1,() 1, 1(), 1 (三個子區(qū)間，通過列表略），我們可以知道三個子區(qū)間，通過列表略），我們可以知道)(xf在區(qū)間在區(qū)間 ) 1,(和和 ), 1 (內單調增加內單調增加;在區(qū)間在區(qū)間 ) 1, 1(內單調減少。內單調減少。 例例3 3 討論函數討論函數 xexfx1)(的單調性。的單調性。 解解 (1)(1)求導，并找出駐點和不可導點求導，并找出駐點和不可導點 駐點為駐點為 不可導點為不可導點為0 x1x(2)(2)根據以上兩點分成三個子區(qū)間根據以上兩點分成三個子區(qū)間) 1,()0, 1(),0()(xf在區(qū)間

14、在區(qū)間 ) 1,(和和 )0, 1(內單調減少；內單調減少； 在區(qū)間在區(qū)間 ), 0 (內單內單 調增加。調增加。 （3 3根據三個子區(qū)間，討論增減性得：根據三個子區(qū)間，討論增減性得：引入引入 請看圖請看圖3-43-4，可以看到，函數，可以看到，函數 yfx在點在點 14,c c處的函數處的函數 值值 14,fcfc比它們左右鄰近各點的函數值大比它們左右鄰近各點的函數值大, , 而在點而在點 3.4 3.4 函數的極值函數的極值25,c c處的函數處的函數 25,fcfc比它們左右鄰近各點比它們左右鄰近各點 的函數值的函數值 都小這些點都是特殊的點都小這些點都是特殊的點, ,他們是鄰近點中數值

15、較大或較小的點他們是鄰近點中數值較大或較小的點. . 下面我們來下面我們來 介紹一下函數極值的有關定義介紹一下函數極值的有關定義 函數極值的定義函數極值的定義 設函數設函數 f x在在 0 x的某個鄰域內有定義的某個鄰域內有定義 (1)(1)如果對于該鄰域內的任意點如果對于該鄰域內的任意點 x, ,都有都有 0f xf x, ,則稱則稱 0f x為函數為函數 fx的極大值，并且稱點的極大值，并且稱點 0 x是是 f x的極大值點；的極大值點； (2)(2)如果對于該鄰域內的任意點如果對于該鄰域內的任意點 x, ,都有都有 0f xf x, ,則稱則稱 0f x為函數為函數 f x的極小值的極小

16、值, ,并且稱點并且稱點 0 x是是 f x的極小值點的極小值點 函數的極大值與極小值統稱為函數的極值。使函數取得極值函數的極大值與極小值統稱為函數的極值。使函數取得極值 的點稱為函數的極值點的點稱為函數的極值點 函數極值的相關定理函數極值的相關定理 定理定理l(l(必要條件必要條件) ) 設函數設函數 f x在點在點 0 x可導，且在點可導，且在點 0 x取得極值，則函數在點取得極值，則函數在點 0 x的導數的導數 00fx 定理定理2第一充分條件第一充分條件) 設函數設函數 f x在點在點 0 x處連續(xù)，在點處連續(xù)，在點 0 x的某個去心鄰域的某個去心鄰域 內可導內可導 (1)(1)如果在

17、如果在 0 x的鄰域內的鄰域內, ,當當 x00；當；當 X X 0 x時，時， fx00，則函，則函 數數 f x在點在點 0 x取得極大值取得極大值 0f x(2)(2)如果在如果在 0 x的鄰域內，的鄰域內， 當當x x 0 x時，時， fx0 X 0 x時時, , fx0,0,則函則函 數數 在點在點 取得極大值取得極大值 (3)如果在 0 x的去心鄰域內的去心鄰域內, , fx不改變符號不改變符號, ,那么那么 0f x不是函數不是函數 f x的極值的極值 )(xf0 x0f x函數極值求法舉例函數極值求法舉例 例例1 1 求函數求函數 32) 1() 1()(xxxf的極值。的極值

18、。 解解 函數函數 )(xf的定義域為的定義域為 ),() 15 () 1)(1() 1() 1( 3) 1)(1( 2)( 2223xxxxxxxxf令令 0)( xf，解得，解得 11x512x13x，函數沒，函數沒 有導數不存在的點。有導數不存在的點。 三個駐點將函數的定義域分成三個駐點將函數的定義域分成 ) 1,(51,11,51), 1 (四個子區(qū)間，四個子區(qū)間， 由列表、分析略可知，函數的極大值為由列表、分析略可知，函數的極大值為 ，極小值為，極小值為 0) 1 (f31253456例例2 2 求函數求函數 3232)(xxxf的極值。的極值。 解解 函數函數 )(xf的定義域為的

19、定義域為 ),(3333113211323232)( xxxxxf令令 0)( xf，解得，解得 1x而當而當 0 x時，時， )( xf不存在。不存在。 駐點駐點 1x和尖點和尖點 0 x將將 )(xf的定義域分成的定義域分成 )0,() 1,0(), 1 (三個子區(qū)間，三個子區(qū)間， 經列表討論得函數的極大值為經列表討論得函數的極大值為 0)0(f31)1(f極小值為極小值為 另外另外, ,對于函數極值求解方面還可以通過求函數的二階導數的方法對于函數極值求解方面還可以通過求函數的二階導數的方法 即第二充分條件即第二充分條件, ,見見 下面下面 定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )

20、設函數設函數 f x在點在點 0 x處具有二階導數且處具有二階導數且 fx=0， )( xf不為不為0 (1)(1)假如假如 )( xf00，則函數，則函數 f x在在 0 x處取得極小值處取得極小值 (2)(2)假如假如 )( xf000，則曲線，則曲線y= y= f x在在(a,b)(a,b)內是凹；內是凹； (2)(2)如果在如果在 (a,b)內， 00，則曲線，則曲線y= y= f x在在(a,b)(a,b)內是凸；內是凸； )( xf舉例說明舉例說明例例l l 判定曲線判定曲線 3yx的凹凸性的凹凸性 解解 函數的定義域為函數的定義域為 (-(-，+)+)，因為，因為 23,6yxy

21、x當當 x00時，時， y000時時 y00所以，所以， 是凹的是凹的見見( (圖圖317)317) 從圖從圖317317可以看到，點可以看到，點(0(0，0)0)是曲線是曲線由凸變到凹的由凸變到凹的 分界點分界點 我們把這種連續(xù)曲線我們把這種連續(xù)曲線 上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點叫作曲線的拐點叫作曲線的拐點 由拐點的定義知，假如由拐點的定義知，假如 0fx=0=0，且，且 fx在點在點 0 x的左右附近異號，則點（的左右附近異號，則點（ 0 x ， 0f x) )就是曲線就是曲線 yfx上的一個拐點；假如上的一個拐點；假如 fx在點在點 0 x的左右的左右

22、 附近附近同號同號 則點（ 0 x， ) )不是曲線不是曲線 yfx的拐點的拐點 0f x例例2 2 判斷曲線判斷曲線 xxy12的凹向和拐點。的凹向和拐點。 解解 函數的定義域為函數的定義域為 ),0()0,(，點，點 0 x為曲線為曲線 xxy12的間斷點。的間斷點。 212xxy333)1(222xxxy令令 0y解得解得 1x點點 0 x和和 1x把定義域分成把定義域分成 )0,() 1,0(), 1 (三個子區(qū)間，列表討論略可得三個子區(qū)間，列表討論略可得 函數在區(qū)間函數在區(qū)間 )0,(和和 ), 1 (內上凹，在區(qū)間內上凹，在區(qū)間 ) 1,0(內下凹，拐點為內下凹，拐點為 )0, 1 (3.7 3.7 函數圖象的描繪函數圖象的描繪曲線的水平漸近線和鉛直漸近線曲線的水平漸近線和鉛直漸近線 一般地，如果當自變量一般地，如果當自變量 x(x(或或x+x+，或，或x-)x-)時，函數時，函數f(x)f(x)的極限的極限 為為A A，即，即limxfxA 則直線則直線y=Ay=A叫作曲線叫作曲線y=f(x)y=f(x)的水平漸近線的水平漸近線 如果當自變量如果當自變量 0 xx時，函數時，函數f(x)f(x)的極限為無窮大的極限為無窮大 即即 0limxxfx