一線三等角問題探究

1、一線三等角問題探究動點動中取靜板演：四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點M在BC邊上運動，直角邊分別與射線BA、射線CD交于E、F，在運動過程中，哪些關系保持不變？證明：矩形ABCDB=C=90°2+3=90°EMF=90°2+1=90°1=3EBMMCF類比上述做法，用60°角和45°角分別在等邊三角形和等腰直角三角三角形的BC邊上運動，得到哪些結論？并證明練習1 （2010沈陽）在等邊ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且ADE=60°，BD=3，CE=2，則ABC的邊長為（ ）A 9 B 12 C 15 D

2、 182 如圖所示，四邊形OABC是一張在直角坐標系中的矩形紙片，點A在X軸上，點C在Y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處，已知折痕CE=，且tanADE=(1)判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由（2）求直線CE與X軸交點P的坐標3 （2010南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點（不與BC重合）.連接DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CE=x,BF=y,(1)求y關于x的函數(shù)關系式（2）若m=8，求x為何值時，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？答案：（1）如圖正方形ABCD的

3、邊長為4，點p是BC邊上一動點（點p不與點B、C重合），連接AP,過點P作PQAP交DC于點Q，設BP的長為x，CQ的長為y,求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍（2011南充）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，BCE沿BE折疊為BFE，點F落在AD上求證：ABFDFE若sinDFE= ，求tanEBC的值（東城一模）24. 等邊ABC邊長為6，P為BC邊上一點，MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點E、F.（1）如圖1，當點P為BC的三等分點，且PEAB時，判斷EPF的形狀；（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持PEAB，設BP=x，四邊形AEPF

4、面積的y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖3，若點P在BC邊上運動，且MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.圖1 圖2 圖324. （本小題滿分7分）（1）EPF為等邊三角形. -1分（2）設BP=x，則CP6x. 由題意可 BEP的面積為.CFP的面積為.ABC的面積為.設四邊形AEPF的面積為y. =.自變量x的取值范圍為3x6. -4分（3）可證EBPPCF. .設BP=x，則 . 解得 . PE的長為4或. -7分（延慶一模ABDCE第25題圖1）25. 在中，點在所在的直線上運動，作（按逆時針方向）（1）如圖1，若點在線段上運動，交于求證：；當是

5、等腰三角形時，求的長（2）如圖2，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由；CDBAECABDE第25題圖2第25題圖3如圖3，若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由25. 證明：在中，B=C=45°又 ADE=45°1分ADB+EBC=EBC+DEC=135°2分ADB=DEC 當是等腰三角形時,分以下三種情況討論 第一種情況：DE=AEDE=AEADE=DAE=45°3分 AED=90°

6、;, 此時，E為AC的中點，AE=AC=1.第二種情況：AD=AE（D與B重合）AE=2 第三種情況 ：AD=AE如果AD=DE，由于， ABDDCE,BD=CE,AB=DC,設BD=CE= 在中， BC=, DC=2 ,解得，=2 ， AE= 4 24分 綜上所述：AE的值是1，2，4 2(2)存在。5分當D在BC的延長線上，且CD=CA時，是等腰三角形.證明：ADE=45°=ACB=DCE, ADC+EDC=EDC+DEC=135°, ADC=DEC,又CD=CA ， CAD=CDA , CAD=CED ,DA=DE,6分 是等腰三角形.不存在.因為 ACD=45

7、76;E , ADE=45°7分ADEE不可能是等腰三角形。 （朝陽一模）23如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AB=8，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E與點A、D不重合），且FEC=ACB，設DE=x，CF=y. （1）求AC和AD的長； （2）求y與x的函數(shù)關系式； （3）當EFC為等腰三角形時，求x的值.23.解：（1）ADBC，B=90°， ACB=CAD. tanACB =tanCAD=. .AB=8， BC=6.則AC=10. 1分 過點C作CHAD于點H，CH=AB=8,則AH=6.CA=CD,AD=2AH=12.

8、 .2分（2）CA=CD, CAD=D.FEC=ACB，ACB=CAD，F(xiàn)EC=D.AEC=1+FEC=2+D，1=2.AEFDCE. 3分，即. .4分（3）若EFC為等腰三角形.當EC=EF時，此時AEFDCE，AE=CD.由12-x=10，得x=2. .5分當FC=FE時，有FCE=FEC=CAE，CE=AE=12-x. 在RtCHE中，由，解得. 6分當CE=CF時，有CFE=CEF=CAE，此時點F與點A重合，故點E與點D也重合，不合題意，舍去. 7分綜上，當EFC為等腰三角形時，x=2或. 例1. 已知：如圖，在正方形ABCD中,E為BC上任意一點（與B、C不重合）AEF=90&#

9、176;.觀察圖形：（1）ABE 與ECF 是否相似？并證明你的結論。（2）若E為BC的中點，連結AF,圖中有哪些相似三角形？ABCEDFBCEFDA （圖1）練習：CBPQAD1.矩形ABCD中，把AD沿DQ對折，使A與BC邊上的點P重合，若AD=10, AB= 8,求PQ的長。例2如圖,在梯形中，點分別在線段上（點與點不重合），且，設，求與的函數(shù)表達式；當為何值時，有最大值，最大值是多少？作業(yè)：1已知如圖，B是AC上一點，ADAB,ECBC,DBE=90°.求證：ABDCEB. 2.已知：等邊ABC中，D為BC上一點，B= C=EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4, EBC DAD求AF的長。F3如圖，梯形中，點 分別在線段上，且，若，求長4.已知在等腰三角形中，是的中點， 是上的動點（不與、重合），連結，過點作射線，使，射線交射線于點，交射線于點.（1）求證：；（2）設.用含的代數(shù)式表示；求關于的函數(shù)解析式，并寫出自變量