函數(shù)定義域值域求法全十一種

1、高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。例1求函數(shù)y'X22X15的定義域。|x3|8解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得x3或x5。由解得x5或x11和求交集得x3且x11或x>5。故所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|x3且x11x|x5°例2求函數(shù)y忑菽j1的定義域。16x2解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得2kx2k,kZ由解得4x4由和求公共部分，得故函數(shù)的定義域?yàn)?4,(0,評(píng)注：和怎樣求公共部分？你會(huì)嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式

2、的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個(gè)抽象函數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。(1)已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2)其解法是：已知f(x)的定義域是a,b求fg(x)的定義域是解ag(x)b,即為所求的定義域。例3已知f(x)的定義域?yàn)?,2,求f(x21)的定義域。解：令2x212,得1x23,即0x23,因此0|x|V3,從而3x73,故函數(shù)的定義域是x|Mx百。(2)已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a,b,求f(x)定義域的方法是：由axb,求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4已知f(2x1

3、)的定義域?yàn)?,2,求f(x)的定義域。解：因?yàn)?x2,22x4,32x15。即函數(shù)f(x)的定義域是x | 3 x 5、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對(duì)于已知定義域?yàn)镽,求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。例5已知函數(shù)yx'mx6mxm8的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽,表明mx26mx8m0,使一切xCR都成立，由x2項(xiàng)的系數(shù)是m,所以應(yīng)分m=0或m0進(jìn)行討論。解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽;當(dāng)m0時(shí)，mx26mxm80是二次不等式，其對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知0m1。評(píng)注：不少學(xué)生容易忽略m=0的情況，希

4、望通過此例解決問題。例6已知函數(shù)f(x)2kx7一的定義域是R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。kx4kx3解：要使函數(shù)有意義，則必須kx24kx3*0包成立，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,即kx24kx30無實(shí)數(shù)3當(dāng)kw0時(shí)，16k243k0包成立，解得0k一；4當(dāng)k=0時(shí)，方程左邊=3金0包成立。綜上k的取值范圍是0k3。4四、實(shí)際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制，這點(diǎn)要加倍注意，并形成意識(shí)。例7將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。1 一-解：設(shè)矩形一邊為x,則另一邊長為-(a2x)于是可得矩形面積。221xaxo2由

5、問題的實(shí)際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足a0x。2故所求函數(shù)的解析式為yx2-ax,定義域?yàn)?0,a)。22例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積，如圖。因?yàn)镃D=AB=2x ,所以CDx ,所以ADL AB CD2L 2x xcL2xx2x2根據(jù)實(shí)際問題的意義知故函數(shù)的解析式為y(2.x2Lx,定義域(0,彳)。五、參數(shù)型對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時(shí)，必須對(duì)分母分類討論。例9已知f(x)的定義域?yàn)?,1,求函數(shù)F(x)f(xa)f(xa)的定

6、義域。解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?,1,即0x1。故函數(shù)F(x)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集：0xa1rrax1a,即0xa1ax1a即兩個(gè)區(qū)間a,1a與a,1+a的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知1(1)當(dāng)2a0時(shí)，F(xiàn)(x)的定義域?yàn)閤|ax1a；一1一(2)當(dāng)0a一時(shí)，F(xiàn)(x)的止義域?yàn)閤|ax1a;2,11,(3)當(dāng)a2或a12時(shí)，上述兩區(qū)間的父集為空集，止匕時(shí)F(x)不能構(gòu)成函數(shù)。六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問，必須先求定義域。例10求函數(shù)ylog2(x22x

7、3)的單調(diào)區(qū)問。解：由x22x30,即x22x30,解得1x3。即函數(shù)y的定義域?yàn)?一1,3)。函數(shù)ylog2(x22x3)是由函數(shù)ylogzt,tx22x3復(fù)合而成的。tx22x3(x1)24,對(duì)稱軸x=1,由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間(，1上是增函數(shù)；在區(qū)間1,)上是減函數(shù)，而y10g2t在其定義域上單調(diào)增；(1,3)(,1(1,1,(1,3)1,)1,3),所以函數(shù)y10g2(x22x3)在區(qū)間(1,1上是增函數(shù)，在區(qū)間1,3)上是減函數(shù)。函域求巢種1.直接觀察法對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過W察得到。1 y例1.求函數(shù)x的值域。解：二二010.x顯然函數(shù)的值域是：(，0)(0

8、，)例2.求函數(shù)y3"星的值域。解：.Jx0故函數(shù)OW：，32 M己方法配方法是求二次函數(shù)伯域最基本的方法之一。2例3.求函數(shù)yx2x5，x1，2的值域。2解：將函數(shù)配方得：y(x04x1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，ymin4,當(dāng)x1時(shí)，ymax8故函數(shù)的伯域是：4,83.判別式法1xx2y-例4.求函數(shù)1x的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程(1)當(dāng)y1時(shí),xR13y-解得：2211,3(2)當(dāng)y=1時(shí)，x0,而2213故函數(shù)的值域?yàn)?，2例5.求函數(shù)yx"x(2x)的值域。22解：兩邊平方整理得：2x2(y1)xy0(1):xR解得：1、2y1.2但此時(shí)

9、的函數(shù)的定義域由x(2x)0,得0x222由0,僅保證關(guān)于x的方程：2x2(y1)xy0在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)問0,2止，即不能確保方程(1)有實(shí)根，由0求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)13的值域?yàn)?,2?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。.0x2ymin0,y1J2代入方程(1)2.224.2x10,2解得：22224.2一，x1，即當(dāng)2時(shí)，原函數(shù)的值0,1a注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。4.反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x4例6.求

10、函數(shù)5x6值域。46y5y 3解：由原函數(shù)式可得:xy則其反函數(shù)為：46y5x3x一其定義域?yàn)椋?故所求函數(shù)的值域?yàn)?5.函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。ex1y例7.求函數(shù)ex1的值域。解：由原函數(shù)式可得:exHx,.e 0解得：1 y 1故所求函數(shù)的伯域?yàn)椋?,1)cosxy例8.求函數(shù)sinx3的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinx8sx3y,可化為:sinx(x即)3y),y21sinx(x)1,13y即y21222y解得：44,2.2,故函數(shù)的值域?yàn)?46 .函數(shù)單調(diào)性法x5例9.求函數(shù)y210g3Mx1(2x10)的值域。解

11、：令yi2x5,y2log3xx1則y1，y2在2,10上都是增函數(shù)所以yy1y2在2,10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí),y minlog 3 2 1當(dāng)X=10W,ymax2510g3、933故所求函數(shù)的值域?yàn)?18,33例10求函數(shù)y&1后7的值域。y解：原函數(shù)可化為：令y1Vxi,y2vx1,顯然y1,y2在1，上為尢1界的增函數(shù)所以yy、y2在1，上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，yy12y2有最小值后，原函數(shù)有最大值同顯然y0,故原函數(shù)的值域?yàn)椋?，行】7 .換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法

12、之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮（乍用。例ii求函數(shù)yx、7石的值域。解：令x1t,40）WJxt即儀1)1故可令x 1 cos ,0, y cos 1, 1 cos2sin cos 10,05 4121、23ytt1（t2）-又t0,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t0時(shí)，ymin1當(dāng)t0時(shí)，y故函數(shù)的值域?yàn)?，)2例12求函數(shù)yx2v1(x1)的值域。2解：因1(x1)0故所求函數(shù)的伯域?yàn)?,123xx例13求函數(shù)yx42x21的值域。y解：原函數(shù)可變形為：12x21x21x21x22x則有sin22x2x2cos8時(shí),ymax8時(shí),ymin而此時(shí)tan故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?4求函數(shù)y(sinx1)(

13、cosx1)12域。解：y(sinx1)(cosx1)令sinxcosxsinxcosx則2(t21)sinxcosx.2sin(x/4)12可得:行時(shí),ymax-,2t當(dāng)2時(shí),322.423q2故所求函數(shù)的伯域?yàn)?220例15求函數(shù)yx455x2的值域。解：由5x20,可得|x|秀故可令x,5cos,0,.0當(dāng)"時(shí)，ymax4府當(dāng)日寸ymin455iW求函數(shù)的值4而4洞8 .數(shù)形結(jié)合法其題型函數(shù)解W式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式ft線斜率等等，這類題目方!用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡單，一目了然，賞心悅目。例16求函數(shù)vV(x2)2玖x8)2的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y

14、|x2|x8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A，B(8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)p奮戔段ab上時(shí)，y|x2|x8|AB|10當(dāng)點(diǎn)P奮戔段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，y|x2|x811AB|10故所求函數(shù)的伯域?yàn)椋?0，J.例17求函數(shù)yvx26x13"x4x5的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（3,2），B（2,D的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與X軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin1ABi"2）2（21）2/3,故所求函數(shù)的伯域?yàn)槲?3，例18求函數(shù)y以26x13&24X5的值域。解：將函數(shù)變形為：yJ（x3）2（02）2式x2）

15、2（01）2上式可看成定點(diǎn)A（3,2）到點(diǎn)P（x,0）的距離與定點(diǎn)B（2，1）到點(diǎn)P（x，0）的距離之差。即：y|AP|BP|由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P',則構(gòu)成ABP,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有11Ap'IlBP'l11ABi或32）2（21）2反即：.26y26當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有11Api|BP|1ABi<26繞±所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋海ㄊ?，石6注：由例17,18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A,B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例1

16、7白A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3,2）,（2,1）,在x軸的同側(cè)；例18的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3,2）,（2，1）,在x軸的同側(cè)。9 .不等式法利用基本不等式ab2Jab,abc33''嬴（a，b，cR），求函數(shù)的ft值,其題型特征解W式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有日何要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。12/12y(sinx)(cosx)4例19求函數(shù)sinxcosx的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)tanxcotx,xk即當(dāng)4時(shí)*z)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?，)例20求函數(shù)y2s1nxs1n2x的值域。解.y4sinxsinxcosx22,22

17、,sinx當(dāng)且僅當(dāng)sin2x22sin2x,即當(dāng)3時(shí)，等號(hào)成立。2648.38,3y-y由27可得：998383故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,910 .一映射Saxb若知道一個(gè)變量范圍,y(c0),一,一“原理：因?yàn)閏xd在定義:吸±x與y是對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中,就可以求另一個(gè)變量范圍。13xy例21求函數(shù)2x1的值域。x|x 3x x 1 y由 y 2x 1 得 2y 3或x解：二.定義域?yàn)?I y11y1x-x-故2y32或2y323中3解彳3y2或y233,故函數(shù)的值域?yàn)?2II .多種方法綜合運(yùn)用,x2y例22求函數(shù)x3的值域。解：txx2(t0),則x3t21t110 y -1時(shí)取等號(hào)，所以2y口2(1)當(dāng)t0時(shí)，t,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即x當(dāng)t=0時(shí)，y=Q繞±所述，函數(shù)的值0，2