GCT線性代數(shù)輔導(dǎo)講義

1、 GCT線性代數(shù)輔導(dǎo)第一講行列式一. 行列式的定義l 一階行列式定義為l 二階行列式定義為 l 在階行列式中，劃去元素所在的第行第列，剩余元素構(gòu)成階行列式，稱為元素的余子式，記作l 令，稱為的代數(shù)余子式l 階行列式定義為二. 行列式的性質(zhì)1.行列式中行列互換，其值不變2.行列式中兩行對換，其值變號3.行列式中如果某行元素有公因子，可以將公因子提到行列式外4.行列式中如果有一行每個元素都由兩個數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和由以上四條性質(zhì)，還能推出下面幾條性質(zhì)5.行列式中如果有兩行元素對應(yīng)相等，則行列式的值為6.行列式中如果有兩行元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為7.行列式中如果有一行元素全

2、為，則行列式的值為8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不變?nèi)?階行列式展開性質(zhì)等于它的任意一行的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和，即l 按列展開定理l 階行列式的某一行的各元素與另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零即l 按列展開的性質(zhì)四.特殊行列式l ; l 上（下）三角行列式和上面的對角行列式的結(jié)果相同.五.計算行列式l 消零降階法.l 消為特殊行列式（上（下）三角行列式或和對角行列式）.典型習(xí)題1. =（ ）。 （）2. 設(shè)的代數(shù)余子式，則=（ ） （-2）3中的系數(shù)是（ ） （2）4=（ ） （）5設(shè)，則=（ ） （1）6（ ） （）7，則（ ）， （0）8，則（ ）( )

3、(或)9.設(shè)則 (8M)10. 的根的個數(shù)是（ ） （1）11.解方程 ( )12. 設(shè)是方程 的三個根, 則行列式的值為( ) (0)第二講 矩 陣一.矩陣概念和運算1.矩陣的定義和相等.2.加法,數(shù)乘,乘法, 轉(zhuǎn)置,方陣的冪乘的定義及性質(zhì).l 尤其是矩陣乘法不滿足交換律和消去律.滿足結(jié)合律,左(右)乘分配律等.l 若是階方陣,則l 特殊方陣 3.逆矩陣l 定義： l 可逆l 公式： l 可逆矩陣的運算性質(zhì)4. 伴隨矩陣l 定義：l 基本關(guān)系式：l 與逆矩陣的關(guān)系：l 行列式：l 秩：5矩陣方程l 設(shè)是階方陣，是矩陣，若可逆，則矩陣方程有解，其解為l 設(shè)是階方陣，是矩陣，若可逆，則矩陣方程有

4、解，其解為二.初等變換l 矩陣的初等行（列）變換：（） 交換兩行（列）；（） 用一個非零常數(shù)乘某一行（列）；（） 某行（列）的倍加到另一行（列）上 l (初等行變換)三.矩陣的秩1.定義l 在矩陣中，任取行列，位于這行列交叉處的個元素按其原來的次序組成一個階行列式，稱為矩陣的一個階子式l 若矩陣中有一個階子式不為零，而所有階子式全為零，則稱矩陣的秩為。矩陣的秩記作l 顯然有 中有一個階子式不為零；中所有階子式全為零對于階方陣，對于階方陣，若，則稱是滿秩方陣2. 重要定理對矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩3. 矩陣的秩的求法l 階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形：（） 所有零行都在矩陣的底部；

5、（） 非零行的第一個元素稱為主元，每個主元在前一行主元的右方；l (初等變換)階梯形,則 中主元的個數(shù)4. 矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)：（）.（）（） （4）若，則，其中為矩陣的列數(shù)（5）若可逆，則若可逆，則典型習(xí)題 都是階陣,則下列結(jié)論不正確的是( )A . B. C. D. (A) 2.，且，求， (-108, 32/3)3, 則( ) 4.設(shè)則中第3行第2列的元素是 A. B. C. 1 D. (B)5. ，則（ ） ( ) 6. 都是階陣,.則下列結(jié)論正確的是( ) A. B.或 C. D. (B)7.設(shè)都是階陣,滿足.則 A. B. C. D. (A)設(shè) .則下列結(jié)論不正確的是(

6、) A可逆. B. .不可逆. C.可逆 D.可逆 (B) 9. 設(shè)，則 ()10.設(shè),則(A)1或2 (A)1或3 (A)2或3 (A)3或4 (A)11， 則（ ）。 (1)12設(shè)，（ ）時 。 (-3)13設(shè) 則（ ）。 (1)14.設(shè)則 A. B. C. D. (D)15. 設(shè),三階矩陣,且滿足,則A. B. C. D. (A)第三講 向 量一. 向量組 線性相關(guān)與線性無關(guān)1.向量組的線性組合與線性表示l 設(shè)是維向量，是數(shù)，則 稱為向量的一個線性組合l 若,稱可由線性表出 線性相關(guān)與線性無關(guān)定義 設(shè)是維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得，則稱線性相關(guān)否則稱線性無關(guān)定理 若線性無關(guān)，而線性相

7、關(guān), 則可由線性表出,，且表示法惟一判斷 l 設(shè)是維向量,線性相關(guān)< 存在某個向量可被其余個向量線性表出l 個維向量線性相關(guān)l 個維向量必線性相關(guān)l 增加向量組向量的個數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.減少向量組向量的個數(shù),不改變向量組的線性無關(guān)性.l 增加向量組向量的維數(shù),不改變向量組的線性無關(guān)性.減少向量組向量的維數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.l 含有零向量的向量組必線性相關(guān).l 含有兩個相同向量的向量組必線性相關(guān).二.向量組的秩和極大線性無關(guān)組1.定義 設(shè)向量組是向量組的一個部分組滿足）線性無關(guān)；）向量組的每一個向量都可以由向量組線性表出，則稱部分組是向量組的一個極大線性無關(guān)組且向量組

8、的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩2.求法l 任何矩陣都可以通過矩陣的行初等變換化作階梯形l 求極大線性無關(guān)組的步驟： 將向量依次按列寫成矩陣； 對矩陣施行行初等變換，化作階梯形； 階梯形中主元所在列標(biāo)對應(yīng)到原向量構(gòu)成一個極大線性無關(guān)組； 例如 (行初等變換)主元所在列是第列，第列，第列，因此的一個極大線性無關(guān)組是且3三向量組的秩與矩陣的秩l 設(shè)是矩陣，將矩陣的每個行看作行向量，矩陣的個行向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩l 將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的個列向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩l 矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的秩（三秩相等）典型習(xí)題1下列向

9、量組中線性相關(guān)性的向量組是（ ） A. B. C. D. , , , （D）2設(shè)向量組線性無關(guān)，下列向量組無關(guān)的是（ ）A B. C D. （A）3. 設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則 A. 3 B. 2 C.-2 D.-3 （D）4.設(shè)向量組線性無關(guān)，則是向量組線性無關(guān)的A. 充分必要條件 B. 充分條件，但非必要是條件C.必要條件，但非充分是條件 D. 既非充分條件，也非必要是條件（C）5. ( )時, 向量組 線性無關(guān). A B。 C. D. 且 (D)6.設(shè),則它們的一個極大線性無關(guān)組是( ) A.B. C. D. (D)7. , , . 則 A. 向量組 線性無關(guān). B. 向量

10、組 線性相關(guān). C.僅當(dāng)向量組線性無關(guān)時, 向量組 線性無關(guān). D. 僅當(dāng) 向量組線性相關(guān)時, 向量組 線性相關(guān). (B)8.設(shè)A,B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有 A. A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)。 (A)B. A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)。C. A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)。D. A的行向量組線向相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān)。9.設(shè)向量組線性無關(guān),向量組線性相關(guān)。則 A.必能被線性表出. B.必不能被線性表出. C. 必能被線性表出. D. 必不能被線性表出. (C).設(shè)是單維位向量，若，則（）（）11設(shè)向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，設(shè)

11、向量組 線性無關(guān)。則( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (C) 12. .設(shè), ,且.則( ). A.2 B.4 C.-2 D.-4 (B)第四講 線性方程組解的理論一 齊次線性方程組設(shè)元齊次線性方程組, 系數(shù)矩陣令，則線性方程組可寫成矩陣方程的形式：若令，則齊次線性方程組又可以寫成向量方程的形式： 齊次線性方程組有非零解的判定條件l 設(shè)，齊次線性方程組有非零解只有零解.即系數(shù)矩陣列滿秩l 設(shè)是階方陣，齊次線性方程組有非零解只有零解l 設(shè)，當(dāng)時，齊次線性方程組必有非零解 齊次線性方程組的解的性質(zhì)若，是齊次線性方程組的解，則和仍是的解若是齊次線性方程組的解，則的任意常數(shù)倍仍是的解 齊次線性方

12、程組的解的結(jié)構(gòu)l 的一個基礎(chǔ)解系其要點為：(1) 都是的解，(2)它們是線性無關(guān)的, (3)的任何一個解都可以由它們線性表出因此基礎(chǔ)解系往往不是惟一的l 若元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則基礎(chǔ)解系中含有個線性無關(guān)的解向量(這一點和上面的(3)等價,即).l 若是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則齊次線性方程組的通解（一般解）是其中是任意常數(shù)4. 解齊次線性方程組的基本方法解元齊次線性方程組的基本步驟：(1) 對系數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；(2) 假設(shè)有個非零行，則基礎(chǔ)解系中有個解向量 選非主元所在列的變量為自由未知量；(3) 將自由變量依次設(shè)為單位向量，求得所需的線性無關(guān)的解向量

13、為一個基礎(chǔ)解系二 非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組記系數(shù)矩陣為,常數(shù)項向量為，則非齊次線性方程組可寫作l 方程組的增廣矩陣記作l 對應(yīng)的齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組 非齊次線性方程組有解的判定l 非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩即l 若元非齊次線性方程組有解，即當(dāng)時，方程組有惟一解；時，方程組有無窮多解l 當(dāng)系數(shù)矩陣時，非齊次線性方程組有唯一解 非齊次線性方程組解的性質(zhì)l 設(shè)是非齊次線性方程組的兩個解，則是導(dǎo)出組的一個解l 非齊次線性方程組的任一解與導(dǎo)出組的解的和是非齊次線性方程組的解 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的通解（一般解）是非

14、齊次線性方程組的一個特解+導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的線性組合即 設(shè)非齊次線性方程組，若，是的一個特解， 是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則的通解（一般解）是, 其中是任意常數(shù)典型習(xí)題1.只有零解的充分必要條件是A A的列向量組線性相關(guān) B A的列向量組線性無關(guān) C A的行向量組線性相關(guān) D A的行向量組線性無關(guān) （）2. 是對應(yīng)的齊次方程組.則若只有零解,則有唯一解.若有非零解,則有無窮多解.若有無窮多解,則有非零解.若無解,則 只有零解. (C). 的行向量線性無關(guān)，則錯誤的是只有零解.必有無窮多解.有惟一解.總有無窮多解 （）4設(shè),其每行之和都為零,且.則的通解是( ).（5. 已知三階矩陣的秩，是方程組的三

15、個解向量,則常數(shù) A. B. C. D. 3 (D)6. 已知三階非零矩陣的每一列都是方程組 的解,則. （）.設(shè), ,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是(A) (B) (C) (D) （）. 方程組,它的基礎(chǔ)解系是( ). ()10. 設(shè),是的三個解向量,且 則的通解是( ). ()11. 設(shè) 為齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系,則 A. B. C. D. (A)12.設(shè)是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系,則的另一個基礎(chǔ)解系是A.與等秩的向量組. B. C. D. (C)13.可逆的充分必要條件是 A. 有解. B. 有非零解. C.時 D. (C)14.設(shè)且可逆，則方程組 A.有唯一解 B.有無窮多解 C.無解

16、 D.不能確定 （C）第五講 特征值與特征向量一 特征值和特征向量的定義，性質(zhì)與計算定義設(shè)，是的特征值，是的屬于特征值的特征向量性質(zhì)6. 若都是的屬于特征值的特征向量， 則也是的屬于特征值的特征向量7. 若是的屬于特征值的特征向量, 是非零常數(shù)，則也是的屬于特征值的特征向量求法8. 的特征多項式：9. 由屬于的特征向量（求基礎(chǔ)解系）10. 11. 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的二 相似矩陣概念定義 設(shè)，若存在可逆矩陣，滿足 ，則稱相似于.記作2. 性質(zhì) 相似矩陣有相同的秩，相同的跡，相同的行列式，相同的特征值3.階方陣的相似對角化的條件l 階方陣可對角化是有個線性無關(guān)的特征向量l 階方陣

17、可對角化的每個特征值的重數(shù)等于它對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù) 即若 (其中) 則階方陣可對角化l 方陣有個不同的特征值,可對角化1. 方陣的相似對角化的步驟(1) 解的特征多項式：求出的個特征值.(其中可能有相重的特征值) (2)解齊次方程組: (), 求出的每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量即求的基礎(chǔ)解系. (3)若共有個線性無關(guān)的特征向量則令,有 . 注意與的對應(yīng)關(guān)系.典型習(xí)題1.是的特征向量,則. (-3,0)2設(shè) ,則對應(yīng)于特征值2的一個特征向量是( ) A. B. C. D. (D)3. 設(shè)階矩陣中任一行的個元素之和都為則必有一個特征值為( ). () 4設(shè)階矩陣的特征值為，是的屬于特征值的特征向量，則的特征值為（ ），屬于特征值的特征向量是（ ）. (不變)5. 若可逆，則 的特征值為（ ），屬于特征值的特征向量是（ ）. (不變)6. 設(shè)，的特征值為。則（ ）. (60)7. 三階矩陣滿足，則=（ ）. (-1)8. 設(shè)，若的特征值和的特征值相等，則其中A.B. C. D