SISIRSIS模型

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院： 專 業(yè)： 姓 名： 學(xué)號(hào)：_ _ 實(shí)驗(yàn)時(shí)間：_ _ 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： 一、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵骯.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數(shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問(wèn)題的描述各種傳染病給人類帶來(lái)的巨大的災(zāi)難，長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種3模型。分別對(duì)3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一（SI模型）：（1）模型假設(shè)1.在疾病傳播期內(nèi)所考察

2、地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康人和病人，時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s（t）和i（t）。2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a，a成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，可使其患病。（2）建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使as（t）個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為Ni（t），所以每天共有aNs（t）i（t）個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為： Ndi/dt=aNsi又因?yàn)閟（t）+i（t）=1再記時(shí)刻t=0時(shí)病人的比例為i0則建立好的模型為：i(0)=i0（3）模型求解 （代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果）syms a i t i0 % a：日接觸率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：病

3、人比例在t=0時(shí)的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t'); y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y) SI模型的it曲線 SI 模型的di/dti 曲線（4）結(jié)果分析由上圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i=0.5時(shí)，取到最大值，即在t->inf時(shí)，所有人都將患病。上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立SIS

4、 模型模型二（SIS模型）（1） 模型假設(shè)假設(shè)條件1.2與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u，成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。（2）模型建立 病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 且 i（t）+s(t)=1；則有： di/dt=ai(1-i)-ui 在此定義k=a/b，可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。則建立好的模型為：i(0)=i0;（2） 模型求解 （代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果）>> syms a i u t i0 % a：日接觸率，i：病人比例，u：日治愈率，i0：病人比例在

5、t=0時(shí)的值>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t') % 求用u表示的it解析式>> syms k % k：接觸數(shù) >> k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t') % 求用k表示的it解析式% 給k、a、i0指定特殊值，作出相關(guān)圖像>> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02); %k>1的情況，以k=2

6、為例>> ezplot(y,0,100) >>pause %作it圖，分析隨時(shí)間t的增加, i的變化>> gtext('1/k') >>legend('k>1 本例中k=2')>>figure>> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-1/2;>> plot(i,y) %作di/dti的圖像>> gtext('1-1/k,在此圖中為0.5')>> legend

7、('k=2')>> y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02); %k<1 的情況，以k=0.8為例>> ezplot(y,0,100) %作it圖，分析隨時(shí)間t增加，i的變化>> legend('k<1 本例中k=0.8') >>figure>> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);>> plot(i,y) %作di/dti 的圖像>> legend(&

8、#39;k=0.8')>> gtext('k<=1時(shí)的情況)SIS 模型的di/dti曲線 （k>1） SIS模型的it曲線（k>1）SIS 模型的di/dti曲線 （k<1） SIS模型的it曲線（k<1）（4）結(jié)果分析 不難看出，接觸數(shù)k=1是一個(gè)閾值，當(dāng)k>1時(shí)，i（t）的增減性取決于i0的大小，但其極限值i()=1-1/k隨k的增加而增加；當(dāng)k<=1時(shí)，病人比例i（t）越來(lái)越小，最終趨于0，這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過(guò)原來(lái)病人數(shù)的緣故。模型三SIR模型（1）模型假設(shè)1. 總?cè)藬?shù)N不變，人群

9、分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱SIR模型。時(shí)刻三類人在總?cè)藬?shù)N中占得比例分別記作和。2. 病人的日接觸率為，日治愈率為（與SI模型相同），傳染期接觸數(shù)為。（2）模型建立由假設(shè)1顯然有 （1）對(duì)于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有 （2）再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0>0)和i0(i0>0)（不妨設(shè)移出者的初始值r0=0），則SIR模型的方程可以寫作 （3）(3)模型求解我們無(wú)法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算：設(shè)，用MATLAB軟件編程：function y=ill（t，x）a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'

10、;ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.001

11、70.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398的圖形 is圖形（相軌線）（4）結(jié)果分析的圖形見(jiàn)左圖， 的圖形見(jiàn)右圖，稱為相軌線，隨著的增加，沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。由上圖結(jié)合表1可知，由初值增長(zhǎng)至約時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，則單調(diào)減少。進(jìn)行相軌線分析，可得：平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域?yàn)樵诜匠蹋?）中消去，并注意到的定義，可得， （4） 容易求出它的解為 （5） 在定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1. 不論初始條件如何，病人終將消失，即 （6）其證明如下，首先，由（3），而故存在；由（2

12、），而，故存在，再由（1），對(duì)于充分大的有，這將導(dǎo)致，與存在相矛盾。2. 最終未被感染的健康者的比例是，在（5）式中令得到，是方程 （7）在內(nèi)的根。在圖形上，是相軌線與軸在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3. 若，則先增加，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值 （8）然后減小且趨近于0，則單調(diào)減小至。4. 若，則單調(diào)減少至0，單調(diào)減少至。如果僅當(dāng)病人比例有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么是一個(gè)閾值，當(dāng)（即）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)，即提高閾值，使得（即），傳染病就不會(huì)蔓延（健康者比例的初始值是一定的，通?？烧J(rèn)為接近1）。并且，即使，從（7），（8）式可以看出，減少時(shí)，增加（通過(guò)作圖分析），降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越?。会t(yī)療水平越高，日治愈率越大，于是越小，所以