隨機(jī)信號(hào)分析

1、通信原理第第2章章 確知信號(hào)確知信號(hào)2.1 確知信號(hào)的類型確知信號(hào)的類型2.2 確知信號(hào)的頻域性質(zhì)確知信號(hào)的頻域性質(zhì) 2.3 確知信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)確知信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)第第 二二 章章 確知信號(hào)確知信號(hào)l2.1 確知信號(hào)的類型確知信號(hào)的類型n按照周期性區(qū)分：u周期信號(hào)： T0信號(hào)的周期， T0 0 u非周期信號(hào)n按照能量區(qū)分：u能量信號(hào)：能量有限，u功率信號(hào)：p歸一化功率：p平均功率P為有限正值：n能量信號(hào)的功率趨于0，功率信號(hào)的能量趨于 tTtsts),()(0dttsE)(022/2/2)(1limTTTdttsTP2222/IVRIRVPl2.2 確知信號(hào)的頻域性質(zhì)確知信號(hào)的頻域性質(zhì)n2.2.

2、1 功率信號(hào)的頻譜u周期性功率信號(hào)頻譜（函數(shù)）的定義 式中，f0 1/T0，n為整數(shù)，- n +。 雙邊譜，復(fù)振幅 |Cn| 振幅， n相位) 12 . 2()(1)(2/2/200000TTtnfjndtetsTnfCC)22 .2()(0/2nTntjneCts2/2/0000)(1TTdttsTCnjnneCCu周期性功率信號(hào)頻譜的性質(zhì)p對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的實(shí)信號(hào)，由式(2.21)有正頻率部分和負(fù)頻率部分間存在復(fù)數(shù)共軛關(guān)系，即 Cn的模偶對(duì)稱Cn的相位奇對(duì)稱*2/2/202/2/20000000)(1)(1nTTtnfjTTtnfjnCdtetsTdtetsTCn102345-2-1-3-4

3、-5|Cn|(a) 振幅譜102345-2-1-3-4-5nn(b) 相位譜代入式(2.22)，得到 式中上式表明：1. 實(shí)信號(hào)可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1時(shí))和各次諧波(n = 1, 2, 3, )。2. 實(shí)信號(hào)s(t)的各次諧波的振幅等于3. 實(shí)信號(hào)s(t)的各次諧波的相位等于4. 頻譜函數(shù)Cn又稱為雙邊譜， |Cn|的值是單邊譜的振幅之半。102201000/2/2cos/2sin/2cos)(0nnnnnnnTntjnTntbaCTntbTntaCeCtsnnab /tan122nnba2221nnnbaC稱為單邊譜。p若s(t)是實(shí)偶信號(hào)，則 Cn為實(shí)函數(shù)。 因?yàn)槎?/p>

4、以Cn為實(shí)函數(shù)。 2/2/02/2/02/2/002/2/20000000000)2sin()(1)2cos()(1)2sin()2)cos(1)(1TTTTTTTTtnfjndttnftsTjdttnftsTdttnfjtnftsTdtetsTC0)2sin()(2/2/000TTdttnftsu【例2.1】 試求圖2-2(a)所示周期性方波的頻譜。由式(2.2-1)：0T-TtVs(t)tTtstsTttVts),()()2/(2/, 02/2/,)(TncTVnfTnfVnfjeeTVenfjVTdtVeTCnfjnfjtnfjtnfjnsinsin22110002/22/22/2/20

5、2/2/20000nntnfjtnfjneTncTVeCts0022sin)(Cnu【例2.2】試求圖2-3所示周期性方波的頻譜。由式(2.2-1) ： 因?yàn)榇诵盘?hào)不是偶函數(shù)，其頻譜Cn是復(fù)函數(shù)。 T-Tt0Vs(t)tTtstsTttVts),()(, 00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000u【例2.3】試求圖2-4中周期波形的頻譜。由式(2.2-1)： 由于此波形為偶函數(shù)，故其頻譜為實(shí)函數(shù)。 t1s(t)ttftsttts) 1()(10)sin()(10222/2/2) 14(2)sin()(10ndte

6、tdtetsTCntjTTtnfjnnntjents221412)(n2.2.2 能量信號(hào)的頻譜密度 u頻譜密度的定義： 能量信號(hào)s(t) 的傅里葉變換： uS(f)的逆傅里葉變換為原信號(hào)： uS(f)和Cn的主要區(qū)別：pS(f)是連續(xù)譜，Cn是離散譜； pS(f)的單位是V/Hz，而Cn的單位是V。u注意：在針對(duì)能量信號(hào)討論問(wèn)題時(shí)，也常把頻譜密度簡(jiǎn)稱為頻譜。u實(shí)能量信號(hào)：負(fù)頻譜和正頻譜的模偶對(duì)稱，相位奇對(duì)稱，即復(fù)數(shù)共軛，因dtetsfSftj2)()(dfefStsftj2)()()()(,)()(22fSfSdtetsdtetsftjftju【例2.4】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度。 設(shè) 它

7、的傅里葉變換為 矩形脈沖的帶寬等于其脈沖持續(xù)時(shí)間的倒數(shù)，在這里它等于(1/) Hz。2/02/1)(tttga)()sin()(21)(2/2/2fSaffeefjdtefGfjfjftja1(b) Ga(f)t0(a) ga(t)Ga(f)ga(t)f1/2/-2/-1/0圖2-5 單位門函數(shù) 單位門函數(shù)u【例2.5】試求單位沖激函數(shù)(函數(shù))的頻譜密度。p函數(shù)的定義： p函數(shù)的頻譜密度：p函數(shù)的物理意義： 一個(gè)高度為無(wú)窮大、寬度為無(wú)窮小、面積為1的脈沖。00)(1)(ttdtt1)(1)()(2dttdtetfftjp函數(shù)的性質(zhì)1： 函數(shù)可以用抽樣函數(shù)的極限表示：因?yàn)椋梢宰C明式中k越大、振

8、幅越大、波形零點(diǎn) 的間隔越小、波形振蕩的衰減越 快，但積分等于1。 和右式比較：可見(jiàn)即抽樣函數(shù)的極限就是函數(shù)。1)(sindtktckttt)(sinlim)(ktcktk1)( dtt)(sinlim)(ktcktkp函數(shù)的性質(zhì)2：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)(t)的頻譜密度1)(1)()(2dttdtetfftjf(f)10t(t)0p函數(shù)的性質(zhì)3：【證】因?yàn)?物理意義：可以看作是用函數(shù)在 t = t0時(shí)刻對(duì)f(t)抽樣。由于單位沖激函數(shù)是偶函數(shù)，即有(t) = (-t)，所以式(2.2-30)可以改寫(xiě)成：dttttftf)()()(00)()()()()(0000tfdttttfdttttfdttttf

9、tf)()()(00p函數(shù)的性質(zhì)4： 函數(shù)也可以看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。單位階躍函數(shù)的定義：即u(t) = (t)p用函數(shù)可以表示功率信號(hào)的頻譜密度，見(jiàn)下例。10t圖2-8 單位階躍函數(shù)0, 1,0,0)(tttu當(dāng)當(dāng)f0f00(b) 頻譜密度p【例2.6】試求無(wú)限長(zhǎng)余弦波的頻譜密度。 設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為s(t)=cos2f0t，則其頻譜密度S(f)計(jì)算可得進(jìn)一步化簡(jiǎn)引用了沖激函數(shù)就能把頻譜密度的概念推廣到功率信號(hào)上。)(sin)(sin2lim)()(sin)()(sin2lim2coslim)(0000002/2/20ffcffcffffffffdtteffSftj)()(21)(0

10、0fffffSt(a) 波形n2.2.3 能量信號(hào)的能量譜密度u定義：由巴塞伐爾(Parseval)定理 將|S(f)|2定義為能量譜密度。 上式可改寫(xiě)為式中 G(f) = |S(f)|2 能量譜密度u由于信號(hào)s(t)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，所以|S(f)|是一個(gè)偶函數(shù), 因此上式可以改寫(xiě)成dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGEu【例2.7】試求例2.4中矩形脈沖的能量譜密度 在例2.4中，已經(jīng)求出其頻譜密度：故由公式，可得出)()()(fSafGfSa2222)()()()(fSafSafSfGn2.2.4 功率信號(hào)的功率譜密度u定義：首先將信號(hào)s(t)截短為sT(t)，-T/

11、2 t T/2 sT(t)是一個(gè)能量信號(hào)，可以用傅里葉變換求出其能量譜密度 |ST(t)|2，由巴塞伐爾定理有 將 -定義為信號(hào)的功率譜密度P(f) 即dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1limfSTTT2)(1lim)(fSTfPTTu周期信號(hào)的功率譜密度：令T 等于信號(hào)的周期T0 ，于是有由周期函數(shù)的巴塞伐爾(Parseval)定理:式中 |Cn|2 第n次諧波的功率 利用函數(shù)可將上式表示為式中上式中的被積因子就是此信號(hào)的功率譜密度P(f)，即 2/2/202/2/200)(1)(1limTTTTTdttsTdttsTPnnTTCdttsTP22/2/2000)(1dfn

12、fffCP)()(02其他處0)(0nffCfCnnnfffCfP)()()(02u【例2.8】試求例2.1中周期性信號(hào)的功率譜密度。 例中信號(hào)的頻譜已求出代入公式： 得出TnSaTVCnnnnfffcTVnfffCfP)(sin)()()(022020T-TtVs(t)nnfffCfP)()()(02l2.3 確知信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)n2.3.1 能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)u定義：u性質(zhì)：p自相關(guān)函數(shù)R()和時(shí)間t 無(wú)關(guān)，只和時(shí)間差 有關(guān)。p當(dāng) = 0時(shí)，R(0)等于信號(hào)的能量：pR()是 的偶函數(shù) p自相關(guān)函數(shù)R()和其能量譜密度|S(f)|2是一對(duì)傅里葉變換： dttstsR)()()(EdttsR)()0(2)()( RRdeRfSfj22)()(dfefSRfj22)()(n2.3.2 功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)u定義：u性質(zhì)：p當(dāng) = 0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號(hào)的平均功率：p功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是偶函數(shù)。 u周期性功率信號(hào)：p自相關(guān)函數(shù)定義： pR()和功率譜密度P(f)之間是傅里葉變換關(guān)系： 2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTRPdttsTRTTT2/2/2)(1lim)0