第五章 二次型 習題答案

1、第五章 二次型本章課后習題全解習 題（P232-P234）1（）用非退化線性替換化下列二次型為標準形，并利用矩陣驗算所得結果：1）；2）；（）把上述二次型進一步化為規(guī)范形，分實系數(shù)、復系數(shù)兩種情形；并寫出所作的非退化線性替換解 （）1）設，此二次型不含有平方項，故作非退化線性替換并配方，得到，再作非退化線性替換 即 于是，原二次型的標準形為，并且，所經(jīng)過的非退化線性替換為即為前面兩個非退化線性替換的復合寫成矩陣形式即為，其中根據(jù)矩陣驗算，得2）設解法1配方法對原二次型進行配方，得，于是，令則原二次型的標準形為，且所作的非退化線性替換為相應的替換矩陣為，驗算，得解法2 矩陣的合同變換法（見本章教

2、材內容全解之標準形的求法）對施行初等變換，得則原二次型的標準形為，所作的非退化線性替換為，即矩陣驗證同解法（）1）根據(jù)（）已求得二次型的標準形為，且非退化線性替換為在實數(shù)域上，再作非退化線性替換 則有可得原二次型的規(guī)范形為在復數(shù)域上，再作非退化線性替換 則有可得原二次型的規(guī)范形為2）根據(jù)（）已求得二次型的標準形為，且非退化線性替換為此時，該非退化線性替換已將原二次型化為實數(shù)域上的規(guī)范形和復數(shù)域上的規(guī)范形特別提醒這個題目使用了化二次型為標準形的兩種常用的方法：配方法和矩陣合同變換法3證明： 與 合同，其中是的一個排列證法 設兩個關于和的元二次型如下：，那么和的矩陣即為題目中的兩個矩陣構造非退化的

3、線性替換則這個線性替換可以將二次型可化成由于經(jīng)過一次非退化的線性替換，新舊的兩個二次型的矩陣是合同的，故題目中的兩個矩陣是合同的證法設 與 對交換兩行，再交換兩列，相當于對左乘和右乘初等矩陣和，而即為將中的和交換位置得到的對角矩陣于是，總可以通過這樣的一系列的對調變換，將的主對角線上的元素變成，這也相當于存在一系列初等矩陣，使得，令，則有，即與合同方法技巧證法利用經(jīng)過非退化線性替換前后兩個二次型的矩陣是合同的這一性質；證法利用了矩陣的合同變換，直接進行了證明 7判斷下列二次型是否正定：1）；2）；3）；解題提示利于教材中的定理7進行判別，即利用二次型的矩陣的順序主子式進行判別解 1）該二次型的

4、矩陣為，由于順序主子式， ，故原二次型為正定二次型2）該二次型的矩陣為，由于的行列式 ，故原二次型非正定3）設二次型的矩陣為，其中由于的任意階順序主子式所對應的矩陣與為同類型的對稱矩陣，且，故原二次型為正定二次型8取什么值時，下列二次型是正定的：1）；2）解 1）該二次型的矩陣為，其各階順序主子式為，當順序主子式全大于零，即時，原二次型是正定的解上面不等式組，可得于是，當時，原二次型是正定的 2）該二次型的矩陣為，其各階順序主子式為，當順序主子式全大于零，即時，原二次型是正定的但此不等式組無解，于是，不存在值使原二次型為正定 方法技巧對于具體的二次型，利用其矩陣的順序主子式判別二次型是否正定是

5、比較常用的10設是實對稱矩陣，證明：當實數(shù)充分大之后，是正定矩陣證明設是一個級實對稱矩陣，是的全部順序主子式顯然也是一個實對稱矩陣，且其順序主子式都是首項系數(shù)為的實系數(shù)多項式由實函數(shù)的理論可知，存在充分大的，使得當時，全大于零于是，當實數(shù)充分大之后，是正定矩陣11證明：如果是正定矩陣，那么也是正定矩陣證法1 由于是正定矩陣，從而是對稱矩陣，則，即也是實對稱矩陣又因為是正定矩陣，故是正定二次型，作非退化線性替換，得到，根據(jù)非退化線性替換不改變二次型的正定性，所以為正定二次型，從而是正定矩陣證法2由于是正定矩陣，從而是對稱矩陣，則，即也是實對稱矩陣又因為是正定矩陣，故與單位矩陣是合同的，即存在可逆矩陣，使得，從而，即也與單位矩陣是合同的于是也是正定矩陣方法技巧證法利用了正定二次型與正定矩陣的對應，以及非退化線性替換不改變矩陣的正定性；證法根據(jù)正定矩陣的等價條件直接進行了證明13如果都是級正定矩陣，證明：也是正定矩陣證