數(shù)值計(jì)算課后習(xí)題答案

1、 習(xí) 題 一 解 答1取3.14，3.15，作為的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對(duì)誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對(duì)誤差的一般方法是先求出絕對(duì)誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對(duì)誤差再求絕對(duì)誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來(lái)求，即先由絕對(duì)誤差確定近似數(shù)的絕對(duì)誤差不超過(guò)那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對(duì)誤差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.141

2、59265=0.314159265×10，3.140.314×10，m=1。而3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.5×102所以，3.14作為的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（2）絕對(duì)誤差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，3.150.315×10，m=1。而3.153.141592653.150.008407所以3.150.0084070.05=0.5×101所以，3.

3、15作為的近似值有2個(gè)有效數(shù)字。（3）絕對(duì)誤差:相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（4）絕對(duì)誤差:相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有7個(gè)有效數(shù)字。指出：實(shí)際上，本題所求得只能是絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，而不是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。為簡(jiǎn)單計(jì)，本題相對(duì)誤差沒(méi)有化為百分?jǐn)?shù)。在求出絕對(duì)誤差后，按定義求有效數(shù)字是基本功，必須掌握。絕對(duì)不允許有了定理后就不會(huì)根據(jù)定義討論。因此，本類(lèi)問(wèn)題的解答應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟練掌握的。實(shí)際上，

4、根據(jù)基本概念分析討論問(wèn)題始終是最重要的方法，由于不同的作者會(huì)提出不同的定理系統(tǒng)，因此，掌握根據(jù)最本元的定義討論問(wèn)題的方法是非常重要的。 祖沖之（公元429年公元500年）是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽(yáng)郡遒縣（今河北淶水縣）。在世界上最早計(jì)算出的真值在3.1415926（朒數(shù)）和3.1415927（盈數(shù)）之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給出的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家?jiàn)W托重新發(fā)現(xiàn)，比祖沖之晚了一千多

5、年，數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確數(shù)是未知的。常出現(xiàn)德錯(cuò)誤是，第一，不進(jìn)行具體計(jì)算，結(jié)果不可靠；第二，兩個(gè)分?jǐn)?shù)近似值（尤其第二個(gè)）取的數(shù)位不夠，結(jié)果有效數(shù)位計(jì)算錯(cuò)誤；第三，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù)，就有無(wú)窮多有效數(shù)字。2、用四舍五入原則寫(xiě)出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。3467854，7000009，00001324580，0600300分析：本題實(shí)際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義，相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡(jiǎn)單，直接寫(xiě)出就可以，不需要也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學(xué)計(jì)數(shù)法形式）解：346

6、785434679，700000970000，00001324580000013246，0600300060030。指出：注意0。只要求寫(xiě)出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對(duì)誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對(duì)誤差限，再求相對(duì)誤差限，最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對(duì)誤差限分別是由絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系，相對(duì)誤差限分別是有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫(xiě)出絕對(duì)誤差，

7、用定義求出相對(duì)誤差。4.計(jì)算的近似值，使其相對(duì)誤差不超過(guò)0.1。解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于0.1，則 ，而，顯然，此時(shí)， ，即，也即所以，n=4。此時(shí)，。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對(duì)，試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)及其相對(duì)誤差。解：其相對(duì)誤差分別是。6、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：精確計(jì)算得：第一種算法按從小到大計(jì)算,但出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)量級(jí)相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個(gè)相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。*在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中

8、，取三個(gè)數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計(jì)算更精確。精確計(jì)算得：顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算試比較所得結(jié)果。解：從左到右計(jì)算得從右到左計(jì)算得從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。8、對(duì)于有效數(shù)，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限分析：求和差的相對(duì)誤差限采取先求出和差的絕對(duì)誤差限再求相對(duì)誤差限的方法。求積商的相對(duì)誤差限采取先求每一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差限再求和的方法。解：因?yàn)槎际怯行?shù)，所以則指出:如果簡(jiǎn)單地用有效數(shù)字與

9、誤差的關(guān)系計(jì)算,則不夠精確。注意是相對(duì)誤差限的討論。符號(hào)要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差。9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法時(shí)就采用泰勒展開(kāi)的方法。解：(1)；(2) ；(3)或(4)(5)指出：采用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法一般不可行。近似計(jì)算中的誤差并不是無(wú)窮小量，利用無(wú)窮小量等價(jià)代換，兩個(gè)量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價(jià)無(wú)窮小代換，可能只會(huì)得到精度水平比較低的結(jié)論。例如試與上例比較。有時(shí)候這種方法可以使用，例如因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在這個(gè)計(jì)算中

10、，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問(wèn)題不很突出。而利用一階的泰勒展開(kāi)，當(dāng)時(shí)，就有，因此和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開(kāi)的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會(huì)有方法上出錯(cuò)的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無(wú)論是等價(jià)無(wú)窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個(gè)確定的可能極小的小數(shù)而不是無(wú)窮?。ㄚ呌诹愕淖兞浚虼私朴?jì)算是不能采用極限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡(jiǎn)，比如化繁分式為簡(jiǎn)分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。所以，是錯(cuò)誤的。極小的數(shù)做除數(shù)，實(shí)際上是型的不定型，要轉(zhuǎn)

11、化為非不定型。10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證有較高的精度？解：根據(jù)，先查表求出再計(jì)算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用求方程的兩個(gè)根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為因?yàn)?，則如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個(gè)根，則因?yàn)閮蓚€(gè)相近的數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理，在求出后這樣計(jì)算：這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計(jì)算積分，近似值的穩(wěn)定算法。解：當(dāng)n0時(shí)，。()。對(duì)In運(yùn)用分部積分法()得由此得到帶初值的遞推關(guān)系式由遞推公式In1nIn1 解得，這是逆向的遞推公式，對(duì)In的值作估計(jì)，有 另有

12、 (取e的指數(shù)為最小值0，將ex取作 e0 1作為常數(shù)即可簡(jiǎn)化公式）。則 。 那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取 可以看出，n越大，這個(gè)近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長(zhǎng)度就越短，近似值和精確值就越接近)此時(shí)，en1=In1*In1=(In*In) en，e0= en，計(jì)算是穩(wěn)定的。實(shí)際上，如果我們要求I9，可以先求出I20，這樣求出的I9的誤差是比I20的誤差小得多的，而I20的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這樣求出的I9比直接計(jì)算出來(lái)的精確得多。習(xí) 題 二 解 答1用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間3，4內(nèi)的根，精確到10

13、-3，即誤差不超過(guò)。分析：精確到10-3與誤差不超過(guò)10-3不同。解：因?yàn)閒(3)-100，f(4)=90，所以，方程在區(qū)間3，4上有根。由有2n-11000，又為21010241000，所以n11，即只需要二分11次即可。列表討論如下：nanbnxnf(xn)的符號(hào)1343.50023.50043.75033.5003.7503.62543.6253.7503.68853.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.6293.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632

14、x*x11=3.632。指出：（1）注意精確度的不同表述。精確到10-3和誤差不超過(guò)10-3是不同的。（2）在計(jì)算過(guò)程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計(jì)算結(jié)果相同。如果計(jì)算過(guò)程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表：nanbnxnf(xn)的符號(hào)1343.500023.500043.750033.50003.75003.625043.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.629093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.

15、63103.63203.6315（3）用秦九韶算法計(jì)算f(xn)比較簡(jiǎn)單。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根區(qū)間。解：令，則當(dāng)時(shí)，有。函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下：x(-,)2(2,+)y+00+y15因?yàn)椋苑匠淘趨^(qū)間上無(wú)根；因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號(hào)，所以方程在該區(qū)間上無(wú)根；因?yàn)?，函?shù)在(2,+)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個(gè)根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在區(qū)間(3,4)有一個(gè)根。所以，該方程有一個(gè)根，隔根區(qū)間是(3.4)。2證明在0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于的根，需要迭代多少次？分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，

16、就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間有至少一個(gè)零點(diǎn)。解：令，因?yàn)椋瑒t，由零點(diǎn)定理，函數(shù)f(x)在0,1區(qū)間有一個(gè)根。 由有2n-110000，又為2101024，2138192<10000，21416384>10000所以n15，即需要二分15次。指出：要證明的是有一個(gè)解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。3試用迭代公式，求方程的根，要求精確到。分析：精確到即誤差不超過(guò)解：令列表進(jìn)行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.3

17、70090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881151.36881指出：精確到可以從兩個(gè)方面判定。第一，計(jì)算過(guò)程中取小數(shù)到位，最后兩個(gè)計(jì)算結(jié)果相同，終止計(jì)算。第二，計(jì)算過(guò)程中取小數(shù)到，當(dāng)終止計(jì)算。本題采用第一種方法。4將一元非線性方程寫(xiě)成收斂的迭代公式，并求其在附近的根，要求精確到。解：改寫(xiě)為，則，設(shè)有在處，因?yàn)樗缘ㄔ诘泥徲騼?nèi)收斂。列表迭代如下：005107120693069此時(shí)。5為求方程在附近的一個(gè)根

18、，設(shè)將方程改為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近似值。解：（1）因?yàn)?，所以迭代函?shù)為，則，滿足局部收斂性條件，所以迭代公式具有局部收斂性。（2）因?yàn)?所以迭代函數(shù)為,則,滿足局部收斂性條件,所以迭代公式具有收斂性。（3）因?yàn)?，所以迭代函?shù)為，則，不滿足收斂性條件，所以迭代公式不具有收斂性。用迭代公式列表計(jì)算如下：015114442148031457414715146261468714648146791465101466111465所以，方程的近似根為。6設(shè)，應(yīng)如何取C才能使迭代公式具有局部收斂性？解：設(shè)C為常數(shù)，因?yàn)椋?，要?/p>

19、迭代公式具有局部收斂性，需，此時(shí)即有，也即。即只要C去滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公式具有局部收斂性。指出：下面的討論是不合適的：因?yàn)椋?，所以，所以，由此確定方程的準(zhǔn)確值。要明確的是，方程的準(zhǔn)確值時(shí)不知道并難以獲得的，因此才需要迭代法。用解析法確定公式解在討論在邏輯上是不通的。同時(shí)，這里強(qiáng)調(diào)的是一類(lèi)方程的迭代解法的收斂性，也不應(yīng)局限在具體的求解，關(guān)鍵是確定C的范圍。7用牛頓法求方程在初始值鄰近的一個(gè)正根，要求。解: 因?yàn)樗杂?，相?yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因?yàn)?符合計(jì)算的精度要求,所以。8用牛頓法解方程，導(dǎo)出計(jì)算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的一種簡(jiǎn)單的迭代公式。用此公式求