平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用

1、平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用對平面任意的兩個向量a,b(b O),a/b的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使a b由該定理可以得到平面三點(diǎn)共線定理:點(diǎn)共線定理：在平面中A B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對于該平面任意一點(diǎn)的 0,存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：OP xoA yoB且x y 1。特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，x 0,y0當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外時，xy 0筆者在經(jīng)過多年高三復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用平面向量中三點(diǎn) 共線定理與它的兩個推廣形式解決高考題，模擬題往往會使會問題的解決過程變得 十分簡單！本文將通過研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點(diǎn) 共線定理與它的兩個推廣形式的妙用，

2、供同行交流。例1 ( 06年高考題理科第7題)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，0Ba200oC且A B、C三點(diǎn)共線，(設(shè)直線不過點(diǎn)0),則S200=(A. 100B. 101C. 200D. 201解:由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知：a1+a200=1,二S200 200(aa20°) 100,故選Ao2點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與等差數(shù)列求和問題巧妙地結(jié)合在一起，是一道經(jīng) 典的咼考題。例2已知P是 ABC的邊BC上的任一點(diǎn)，且滿足APxAByAC,x.y的最小值是 解：T點(diǎn)P落在 haP xx y 1BC上B,P,C三點(diǎn)共線且 x>0,y>0x>0,y>0

3、141(-)1 (-xyx4)(x y乂 0，竺0由基本不等式可知:x y4x5 丫x4xyy4y4x2：y4xxy xy4，取等號時yy) 1 -xy 4xx y2 . 2y 4x y 2x x 0, y 0 y 2x1 2x y 1 X 3"-，符合所以1X4-的最小值為9點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起,較綜合考查了學(xué)生基本功例3 （省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖aN 1 NC，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若 aP mAB3值為（A. 911B.511C.-D.11211解: B,P,N84m 111點(diǎn)共線，又' APm -，故

4、選C11mAB AC11圖22,在厶ABC中， 汗，則實(shí)數(shù)訕勺y例4 （07年高考題理科）如圖3,在厶ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB AC于不同的兩點(diǎn)M N,若=m AM ， AC = nAN，貝U m+ n 的值圖3圖4證明：因?yàn)?是£OAB的重心，oG 2例5 （省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖 5所示：點(diǎn)G是厶OAB的重心，P、Q分別 是邊OA、OB上的動點(diǎn)，且 P、G、Q三點(diǎn)共線.1 1設(shè)OP xOA，OQ yOB，證明：1-是定值；x y 'OA Ob) 1(OA Ob)xOA OA 押:oQ yoBoG 1(OA OB) 1(1oP33

5、xoG3x又;PGQ三點(diǎn)共線，£6所示,在平例6 (市東山中學(xué)2013屆高三第二次模擬考試)1AD ,CE與BF相交于G點(diǎn),4如圖行四邊形ABCD中, #13AB a，aD b，貝卩 aGL_tJra2 - 7CJra2 - 7BJrb1 -Jra3 - 7Jrb2 - 7 Jra4 - 7解：“ E,G,C三點(diǎn)共線,AG xAE (1 x)ACag x ia(i x)(a314b，彳a t-b1- 3 刈,1.又(F,G,B aG aB (i aG a (1三點(diǎn)共線，)aF由平面三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得:aF 1 aD 1 b,，144分析：本題是以平面幾何為背景，

6、為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián)F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面三點(diǎn)共線定理求解。由兩式可得:1"67371 x4點(diǎn)評：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線(F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上)，M由平面三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù) x使得利用平面三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定 理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡化解題過程的效果。例6的變式一：如圖7所示，在三角形 ABC中,AM : AB=1: 3,AN : AC=1： 4,BN與CM 相交于點(diǎn)P,且AB a , Ac b，試用a、b表示AP存在唯一的一對實(shí)數(shù)圖y7使解：N,

7、 P, B三點(diǎn)共線，由平面三點(diǎn)共線定理可得:,x y 1, AN： AC=1： 4, ANIac lb44AP xAb -AC xa又 'C,P,M三點(diǎn)共線,由平面三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得TAC1/ AM： AB=1 : 3 AM31lbJra6b 4 ,33,2.得 Ap xAB13x由兩式可得：3x11:x y 1, y 空1 x21111 11411例6的變式二：如圖8所示：直線I過ABCD勺兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)0,與AD = nAN，貝U m+ n=解：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)1AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長線交于點(diǎn)又知AB

8、= mAM，2丁 AB = mAM，AD又、M ,0,N三點(diǎn)共線,AO 1(mAM nAN) m AM - aN2 2 2由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可得: 定理的推廣: 推廣1：如圖9所示：已知平面一條直線 AB,兩個不同的點(diǎn)0與P.點(diǎn)0,P位于直線AB異側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù) x,y 使得：OP xoA yOB 且 x y 1。推廣2:如圖10所示：已知平面一條直線 AB,兩個不同的點(diǎn)O與P.點(diǎn)O,P位于直線 AB同側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：圖10(t R),若點(diǎn)P落在& ABC例7已知點(diǎn)P為gABC所在平面一點(diǎn)，且AP AB tAC的部，如圖11,則

9、實(shí)數(shù)t的取值圍是（）3A. (0,3)4B-(卅C. (0,1)2D.%)解：點(diǎn)P落在1 ABC的部A,P兩點(diǎn)在直線BC的同一側(cè),圖1123，所以選D由推論2知：1 t 13例8 （06年高考題文科） 如圖12： OM/ AB點(diǎn)P由射線OM線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域（不含邊界）OP xOA yOB，則實(shí)數(shù)對（x,y）可以是（.且MA圖12B.(i,l)C. (泊D.解：由題目的條件知:點(diǎn)0與點(diǎn)P在直線AB的同側(cè),所以x所以A,D兩選項(xiàng)不符合對于選項(xiàng)B、C,都有 x y 1,但當(dāng)x2時,如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知:IIP在直線0M±，OM/ AB可

10、知:唯一的實(shí)數(shù) t,使得 OP tAB t（OB Oa） tOA tOB，如果點(diǎn)AB，由平面向理共線定理可知：存在:OP xOA yOB t x,t yt f,y2又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB OM之間，所以-y3115對選項(xiàng)C同理可知：當(dāng)x -時，一 y-，故y44455，故B選不符合。333符合，所以選C4例9 （06年高考題理科）如圖13,0M/ AB，點(diǎn)P 在由射線0M線段0B及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域（不含邊界）運(yùn)動，且OP xOA yOB1,當(dāng)x -時，y的取值圍1解：當(dāng)x 2時,圖133 如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知：y -2 如果點(diǎn)P在直線0M上，OM

11、 AB可知：0| AB，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得oP tAB t(OB OA) tOA tOB，: OP xOAyOBt x,t y1113t丄丄，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB 0M之間，所以42、已知P是 ABC的邊BC上的任一點(diǎn)，且滿足 AP xAB yAC,x.y R，則- -x y y 3，所以實(shí)數(shù)y2 222的取值圍是：(匕，鼻)2 2B JTa14-aA 13 -A 0 練3則，點(diǎn)P在邊AB上,設(shè)lbJra2 - 3B若點(diǎn)a x, y)滿足OC = a OA +)D . x+2y-5=01、平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),巳-1,3),卩0

12、B，其中a ,卩 R且a +卩=1,則X, y所滿足的關(guān)系式為(2 2A. 3x+2y-11=0B . (x-1) +(y-2) =5 C . 2x-y=03、在平行四邊形 ABCD中, 0是對角線AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接 DE交AC于點(diǎn)f。已知 aB ° a, AD ° b,則 OF °()A.1MbB. 1 (a-b)4C.丄(a-b)61a-1b4、(2014屆東江中學(xué)高三年級理科第三次段考)在平行四邊形ABCDK E、F分別是BCCD的中點(diǎn)，DE交AF于H,記XBBC分別為a、b,則XH=()24A. 5a-5b B .2 45a+5b24

13、24C. - -a+ b D.55在平行四邊形 ABCD中，AC與BD交于點(diǎn) 延長線與CD交于點(diǎn)F .若AC a , BD b ,5、(2008 年卷)O, E是線段OD的中點(diǎn),AE的A.1bB. 2a2311 ,12,C.- abD. ab2433則)& 在平行四邊形 ABCD中, ,CE與BF相交于點(diǎn)G,記b，貝"AG =(7、在 ABO中，已知OC 141OB,2，且AD與BC相交于點(diǎn)M,設(shè)貝-r-bL»raoM（結(jié)果用a與b表示）21233142A. _ a-b BabC.abD. ab777777778、如圖所示：A,B,C是圓O上的三個點(diǎn)，CO勺延長線與線段 AB交于圓一點(diǎn)D,若oC則有：（A.0 x y 1 B.x y1 A.x y1 A. 1 x y 0變式：如圖