高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的初中知識(shí)技能(7 分式方程和無理方程的解法)

1、第七講 分式方程和無理方程的解法初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法并且只要求掌握(1)不超過三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會(huì)驗(yàn)根；(2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會(huì)用”平方”或”換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根一、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程【例1】解方程 分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程解：原方程可化為：方程兩邊各項(xiàng)都乘以：即，整理得：解得：或檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根所以，原方

2、程的解是說明：(1) 去分母解分式方程的步驟： 把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母； 去括號(hào)，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)； 解一元二次方程； 驗(yàn)根(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，但代入原方程計(jì)算量較大而分式方程可能產(chǎn)生的增根，就是使分式方程的分母為0的根因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡(jiǎn)公分母為0若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解2用換元法化分式方程為一元二次方程【例2】解方程 分析：本題若直接去分母，會(huì)得到一個(gè)四次方程，解方程很困難但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)，即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程最后在已知的值的情況

3、下，用去分母的方法解方程解：設(shè)，則原方程可化為： 解得或(1)當(dāng)時(shí)，去分母，得；(2)當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以，都是原方程的解說明：用換元法解分式方程常見的錯(cuò)誤是只求出的值，而沒有求到原方程的解，即的值【例3】解方程 分析：注意觀察方程特點(diǎn)，可以看到分式與互為倒數(shù)因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個(gè)較為簡(jiǎn)單的分式方程解：設(shè)，則原方程可化為：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0所以，原方程的解是，說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想二、可化為一元二次方程的無理方程根號(hào)下含

4、有未知數(shù)的方程，叫做無理方程1平方法解無理方程【例4】解方程 分析：移項(xiàng)、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解 解：移項(xiàng)得：兩邊平方得：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：解得：或檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根 把代入原方程，左邊 = 右邊，所以是原方程的根所以，原方程的解是說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項(xiàng)均移到方程的右邊；兩邊同時(shí)平方，得到一個(gè)整式方程；解整式方程；驗(yàn)根【例5】解方程 分析：直接平方將很困難可以把一個(gè)根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程 解：原方程可化為： 兩邊平方得：整理得：兩邊平方得：整

5、理得：，解得：或檢驗(yàn)：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根 把代入原方程，左邊右邊，所以是增根所以，原方程的解是說明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無理方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式；兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程；一下步驟同例4的說明2換元法解無理方程【例6】解方程 分析：本題若直接平方，會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，難度較大注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理 解：設(shè)，則 原方程可化為：，即，解得：或(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程無解檢驗(yàn)：把分別代入原方程，都適合所以，原方程的解是說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想練 習(xí) A 組1解下列方程：(1) (2)(3) (4) 2用換元法解方程：3解下列方程：(1) (2) (3) 4解下列方程：(1) (2) 5用換元法解下列方程：(1) (2) B 組1解下列方程：(1) (2) (3) (4) 2用換元法解下列方程：(1) (2) (3) 3