一次函數(shù)典型應(yīng)用題

1、中考中與不等式結(jié)合函數(shù)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)類型題近幾年來，各地的中考題中越來越多地出現(xiàn)了與函數(shù)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)型考試題，這種類型的試題，由于條件多，題目長，很多考生無法下手，打不開思路，在考場上出現(xiàn)了僵局，在這里，我特舉幾例，也許對你有所幫助。例1 已知雅美服裝廠現(xiàn)有A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)M，N兩種型號(hào)的時(shí)裝共80套。已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝需要A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利潤45元；做一套N型號(hào)的時(shí)裝需要A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利潤50元。若設(shè)生產(chǎn)N種型號(hào)的時(shí)裝套數(shù)為，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號(hào)的時(shí)裝所獲總利潤為元。（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量

2、的取值范圍；（2）雅美服裝廠在生產(chǎn)這批服裝中，當(dāng)N型號(hào)的時(shí)裝為多少套時(shí)，所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 解：由題意得： 解得：4044與的函數(shù)關(guān)系式為：，自變量的取值范圍是：4044在函數(shù)中，隨的增大而增大 當(dāng)44時(shí)，所獲利潤最大，最大利潤是：3820（元）例2 某市電話的月租費(fèi)是20元，可打60次免費(fèi)電話（每次3分鐘），超過60次后，超過部分每次0.13元。（1）寫出每月電話費(fèi)（元）與通話次數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出月通話50次、100次的電話費(fèi)；（3）如果某月的電話費(fèi)是27.8元，求該月通話的次數(shù)。解；（1）由題意得：與之間的函數(shù)關(guān)系式為：（2）當(dāng)50時(shí)，由于60，所以20（元）

3、當(dāng)100時(shí)，由于60，所以25.2（元）（3）27.820 60 解得：120（次）例3 荊門火車貨運(yùn)站現(xiàn)有甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸，安排用一列貨車將這批貨物運(yùn)往廣州，這列貨車可掛A、B兩種不同規(guī)格的貨廂50節(jié)，已知用一節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬元，用一節(jié)B型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.8萬元。（1）設(shè)運(yùn)輸這批貨物的總運(yùn)費(fèi)為（萬元），用A型貨廂的節(jié)數(shù)為（節(jié)），試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，可裝滿一節(jié)A型貨廂，甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨廂，按此要求安排A、B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，有哪幾種運(yùn)輸方案？請你設(shè)計(jì)出來。（3）利用函數(shù)的性質(zhì)說明，在這些

4、方案中，哪種方案總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少萬元？解：（1）由題意得：與之間的函數(shù)關(guān)系式為：（2）由題意得： 解得：2830 是正整數(shù) 28或29或30 有三種運(yùn)輸方案：用A型貨廂28節(jié)，B型貨廂22節(jié)；用A型貨廂29節(jié)，B型貨廂21節(jié)；用A型貨廂30節(jié)，B型貨廂20節(jié)。（3）在函數(shù)中 隨的增大而減小 當(dāng)30時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，此時(shí)31（萬元） 方案的總運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是31萬元。例4 某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙

5、種原料10千克，可獲利潤1200元。（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來；（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤為（元），生產(chǎn)A種產(chǎn)品件，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？解；（1）設(shè)需生產(chǎn)A種產(chǎn)品件，那么需生產(chǎn)B種產(chǎn)品件，由題意得： 解得：3032 是正整數(shù) 30或31或32有三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品18件。（2）由題意得； 隨的增大而減小 當(dāng)30時(shí)，有最大值，最大值為： 45000（元） 答：與之間的

6、函數(shù)關(guān)系式為：，（1）中方案獲利最大，最大利潤為45000元。例5 某地上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為1億度。本年計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.550.75元之間，經(jīng)測算，若電價(jià)調(diào)至元，則本年度新增用電量（億度）與（元）成反比例，又當(dāng)0.65時(shí)，0.8。（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每度電的成本價(jià)為0.3元，則電價(jià)調(diào)至多少元時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？收益用電量×（實(shí)際電價(jià) 成本價(jià)）解：（1）與反正比例 把0.65，0.8代入上式得：0.2 與之間的函數(shù)關(guān)系式為：（2）由題意得： 化簡得： 即 0.5，0.6 0.550. 75 0.5不符題意，應(yīng)舍去。 故0.6答：電

7、價(jià)調(diào)至0.6元時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%。例6 為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某城市制定了以下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月用水未超過7立方米時(shí)，每立方米收費(fèi)1.0元并加收0.2元的城市污水處理費(fèi)，超過7立方米的部分每立方米收費(fèi)1.5元并加收0.4元的城市污水處理費(fèi)，設(shè)某戶每月用水量為（立方米），應(yīng)交水費(fèi)為（元）（1）分別寫出用水未超過7立方米和多于7立方米時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果某單位共有用戶50戶，某月共交水費(fèi)514.6元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個(gè)月用水未超過7立方米的用戶最多可能有多少戶？解：（1）當(dāng)07時(shí)，當(dāng)7時(shí)， （2）當(dāng)7時(shí)，需付水費(fèi)：7×1.

8、28.4（元）當(dāng)10時(shí)，需付水費(fèi)：7×1.21.9（107）14.1（元）設(shè)這個(gè)月用水未超過7立方米的用戶最多可能有戶，則：化簡得：解得： 答：該單位這個(gè)月用水未超過7立方米的用戶最多可能有33戶。例7 遼南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某鄉(xiāng)組織20輛汽車裝運(yùn)三種蘋果42噸到外地銷售。按規(guī)定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車。（1）設(shè)用輛車裝運(yùn)A種蘋果，用輛車裝運(yùn)B種蘋果，根據(jù)下表提供的信息求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的取值范圍；（2）設(shè)此次外銷活動(dòng)的利潤為W（百元），求W與的函數(shù)關(guān)系式以及最大利潤，并安排相應(yīng)的車輛分配方案。蘋果品種ABC每輛汽車運(yùn)載量 （噸）2.22.12

9、每噸蘋果獲利 （百元）685解：（1）由題意得：化簡得：當(dāng)0時(shí)，10110答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為：；自變量的取值范圍是：110的整數(shù)。 （2）由題意得：W W與之間的函數(shù)關(guān)系式為： W隨的增大而減小 當(dāng)2時(shí)，W有最大值，最大值為： 315.2（百元） 當(dāng)2時(shí)，16，2 答：為了獲得最大利潤，應(yīng)安排2輛車運(yùn)輸A種蘋果，16輛車運(yùn)輸B種蘋果，2輛車運(yùn)輸C種蘋果。同學(xué)們，從以上幾例的解答過程中，你學(xué)到了解決這類問題的基本思路和方法嗎？確定函數(shù)解析式，求函數(shù)值確定自變量取值范圍實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題方案設(shè)計(jì)：利用不等式或不等式組及題意方案決策： 最優(yōu)方案：利用一次函數(shù)的性質(zhì)及自變量取值范圍確定最優(yōu)方案解決

10、問題小結(jié)：次函數(shù)應(yīng)用題例析  一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，設(shè)計(jì)一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，備受各地命題者的青睞.本文采擷幾例中考試題加以評析，供參考.一、圖象型例1 (2003年廣西)在抗擊“非典”中，某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種預(yù)防“非典”的藥品.經(jīng)試驗(yàn)這種藥品的效果得知：當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用該藥后1小時(shí)時(shí)，血液中含藥量最高，達(dá)到每毫升5微克，接著逐步衰減，至8小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升1.5微克.每毫升血液中含藥量y(微克)隨時(shí)間x(小時(shí))的變化如圖所示.在成人按規(guī)定劑量服藥后：(1)分別求出x1，x1時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果每毫升血液中含藥量為2微克或2微

11、克以上，對預(yù)防“非典”是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間為多少小時(shí)？解析本題涉及的背景材料專業(yè)性很強(qiáng)，但只要讀懂題意，用我們學(xué)過的函數(shù)知識(shí)是不難解答的.題目的主要信息是由函數(shù)圖象給出的，圖象是由兩條線段組成的折線，可把它看成是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的組合.(1)當(dāng)x1時(shí)，設(shè)y=k1x.將(1，5)代入，得k1=5. y=5x. 當(dāng)x1時(shí)，設(shè)y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得， (2)以y=2代入y=5x，得； 以y=2代入，得x2=7. . 故這個(gè)有效時(shí)間為小時(shí).注：題中圖像是已知條件的重要組成部分，必須充分利用.二、預(yù)測型例2 (2002年遼寧省)隨著我國人口增長速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童

12、數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，試用你所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決下列問題：(1)求入學(xué)兒童人數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1000人？年份(x) 2000 2001 2002 入學(xué)兒童人數(shù)(y) 2520 2330 2140 解析建立反比例函數(shù)，一次函數(shù)或二次函數(shù)模型，考察哪一種函數(shù)能較好地描述該地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，這就要討論.若設(shè)(k0)，在三點(diǎn)(2000，2520)，(2001，2330)，(2002，2140)中任選一點(diǎn)確定k值后，易見另兩點(diǎn)偏離曲線較遠(yuǎn)，故反比例函數(shù)不能較好地反

13、映入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，從而選用一次函數(shù).(1)設(shè)y=kx+b (k0)，將(2000，2520)、(2001，2330)代入，得故y=-190x+382520.又因?yàn)閥=-190x+382520過點(diǎn)(2002，2140)，所以y=-190x+382520能較好地描述這一變化趨勢.所求函數(shù)關(guān)系式為y=-190x+382520.(2)設(shè)x年時(shí)，入學(xué)兒童人數(shù)為1000人，由題意得-190x+382520=1000.解得x=2008.所以，從2008年起入學(xué)兒童人數(shù)不超過1000人.注：從數(shù)學(xué)的角度去分析，能使我們作出的預(yù)測更準(zhǔn)確.本題也可構(gòu)造二次函數(shù)模型來描述這一變化趨勢.三、決策型例3 (20

14、03年甘肅省)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為1萬元，其原材料成本價(jià)(含設(shè)備損耗等)為0.55萬元，同時(shí)在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有1噸的廢渣產(chǎn)生.為達(dá)到國家環(huán)保要求，需要對廢渣進(jìn)行脫硫、脫氮等處理.現(xiàn)有兩種方案可供選擇.方案一：由工廠對廢渣直接進(jìn)行處理，每處理1噸廢渣所用的原料費(fèi)為0.05萬元，并且每月設(shè)備維護(hù)及損耗費(fèi)為20萬元.方案二：工廠將廢渣集中到廢渣處理廠統(tǒng)一處理.每處理1噸廢渣需付0.1萬元的處理費(fèi).(1)設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，每月利潤為y萬元，分別求出用方案一和方案二處理廢渣時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(利潤=總收入-總支出)；(2)如果你作為工廠負(fù)責(zé)人，那么如何根據(jù)月

15、生產(chǎn)量選擇處理方案，既可達(dá)到環(huán)保要求又最合算.解析先建立兩種方案中的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)月生產(chǎn)量的多少通過分類討論求解.(1)y1=x-0.55x-0.05x-20 =0.4x-20； y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.(2)若y1y2，則0.4x-200.35x，解得x400； 若y1=y2，則0.4x-20=0.35x，解得x=400； 若y1y2，則0.4x-200.35x，解得x400. 故當(dāng)月生產(chǎn)量大于400件時(shí)，選擇方案一所獲利潤較大；當(dāng)月生產(chǎn)量等于400件時(shí)，兩種方案利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量小于400件時(shí)，選擇方案二所獲利潤較大.注：在處理生產(chǎn)實(shí)踐和市場經(jīng)濟(jì)中的一些問題時(shí)，

16、用數(shù)學(xué)的眼光來分辨，會(huì)使我們作出的決策更合理.四、最值型例4 (2003年江蘇省揚(yáng)州市)楊嫂在再就業(yè)中心的支持下，創(chuàng)辦了“潤揚(yáng)”報(bào)刊零售點(diǎn)，對經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供了如下信息.買進(jìn)每份0.2元，賣出每份0.3元；一個(gè)月(以30天計(jì))內(nèi)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份.一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同，當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.1元退回給報(bào)社.(1)填表：一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù) 100 150 當(dāng)月利潤(單位：元) (2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)這種晚報(bào)x份(120x200)時(shí)，月利潤為y元，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值.解析(1)由

17、題意，當(dāng)一個(gè)月每天買進(jìn)100份時(shí)，可以全部賣出，當(dāng)月利潤為300元；當(dāng)一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)150份時(shí)，有20天可以全部賣完，其余10天每天可賣出120份，剩下30份退回報(bào)社，計(jì)算得當(dāng)月利潤為390元.(2)由題意知，當(dāng)120x200時(shí)，全部賣出的20天可獲利潤：20(0.3-0.2)x=2x(元)；其余10天每天賣出120份，剩下(x-120)份退回報(bào)社，10天可獲利潤：10(0.3-0.2)×120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利潤為y=2x-x+240 =x+240(120x200).由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=200時(shí)，y有最大值，為y=200+240=440(元).注：對于一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值y可取最大(或最小)值，這種最值問題往往用來解決“成本最省”、“利潤最大”等方面的問題.五、學(xué)科結(jié)合型例5 (2002年南京市)聲音在空氣中傳播的速度y(m/s)(簡稱音速)