系統(tǒng)工程導(dǎo)論第3講

1、第三講 自然物理系統(tǒng)及其復(fù)雜性 系統(tǒng)的層次來看，自然物理系統(tǒng)處于系統(tǒng)底層，可以看作是由非智能的機(jī)械物體構(gòu)成的，滿足特定的自然物理規(guī)律，其復(fù)雜性的根源在“非線性”。在系統(tǒng)科學(xué)中，迄今真正成熟的主要是線性系統(tǒng)理論。系統(tǒng)科學(xué)重點(diǎn)研究的是非線性系統(tǒng)，是處理非線性問題的一種方法論。同時(shí)，相比于靜態(tài)系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)科學(xué)討論的重點(diǎn)對(duì)象。一、線性系統(tǒng)1 線性特性和線性系統(tǒng)一般地說，能夠用線性數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的基本特性，即輸出響應(yīng)特性、狀態(tài)響應(yīng)特性、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性等，都滿足疊加原理。具體講，令f代表某種數(shù)學(xué)操作，如關(guān)系、變換、運(yùn)算、方程或其他，x為數(shù)學(xué)操作的對(duì)象，f(x)表示對(duì)x施行

2、操作f的結(jié)果。若f(x)滿足以下兩個(gè)條件 (1) 加和性：f(x1+x2)f(x1)+f(x2) (2) 齊次性：f(kx)kf(x)即f(ax1+bx2z)af(x1)+bf(x2)，就稱操作f為線性的，滿足疊加原理。2、線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為描述描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程。如果狀態(tài)變量只是時(shí)間的函數(shù)，與空間分布無關(guān)，則稱集中參數(shù)系統(tǒng)，用常微分方程描述；狀態(tài)變量同時(shí)依賴于時(shí)間和空間分布的是分布參數(shù)系統(tǒng)，須用偏微分方程描述。線性連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為線性常微分方程，可以使用一元高階方程，也可以使用多元一階聯(lián)立方程組，這兩種形式是等價(jià)的。一般形式如下：記系數(shù)矩陣，狀態(tài)向量 則上述動(dòng)態(tài)方程

3、可表示為： A不隨時(shí)間變化常系數(shù)方程時(shí)不變線性系統(tǒng)A隨時(shí)間變化 變系數(shù)方程時(shí)變線性系統(tǒng)A包含了線性系統(tǒng)一切行為特性的信息。3、線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的求解分析線性系統(tǒng)的常用方法是求它的通解：其中，為特征方程的特征根； Vk是一組線性無關(guān)的特征向量； Ck是由初值決定的常系數(shù)。二、非線性系統(tǒng)1、非線性特性和非線性系統(tǒng) 如果數(shù)學(xué)操作f不滿足加和性和齊次性要求，則稱f為非線性的，如非線性關(guān)系、非線性變換、非線性變換、非線性運(yùn)算、非線性函數(shù)、非線性范函、非線性方程等。用非線性數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。其基本特征是不滿足疊加原理，即系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性、狀態(tài)響應(yīng)特性、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性中至少有一個(gè)不滿足疊加原理

4、。更一般地說，一個(gè)系統(tǒng)若不能用線性模型描述，不論是否給出數(shù)學(xué)模型，實(shí)質(zhì)上都是非線性系統(tǒng)。2、非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為描述非線性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程一般形式化為以下方程組：其中f1,fn中至少有一個(gè)非線性函數(shù)。記C=(c1,c2,cm)為控制向量，F(xiàn)=(f1,f2,fn), 則上述動(dòng)態(tài)方程可表示為： 上述方程通常稱為系統(tǒng)的演化方程或發(fā)展方程。對(duì)于千差萬別、形態(tài)各異的非線性現(xiàn)象，可作如下粗略分類：(1) 弱非線性和強(qiáng)非線性。強(qiáng)弱是相對(duì)的，沒有精確的分界線。粗略地說，我們把可以忽略不計(jì)的非線性看作弱的，把不可忽略的非線性看作強(qiáng)的。弱非線性可以看作是對(duì)線性關(guān)系的偏離，允許忽略這種偏離，采用線性假設(shè)，用線性

5、模型描述系統(tǒng)。(2) 非本質(zhì)非線性和本質(zhì)非線性。如連續(xù)、光滑變化的非線性是非本質(zhì)的，不連續(xù)、非光滑的非線性是本質(zhì)的。本質(zhì)非線性必定是強(qiáng)非線性，強(qiáng)非線性未必是本質(zhì)非線性。(3) 平庸非線性和非平庸非線性。能產(chǎn)生奇異行為的是非平庸非線性，否則為平庸非線性。按照演化方程對(duì)系統(tǒng)的分類，除了線性與非線性系統(tǒng)、集中參數(shù)與分布參數(shù)系統(tǒng)外，還有如下兩種分類1） 自由系統(tǒng)與強(qiáng)迫系統(tǒng)自由系統(tǒng)：演化方程只是狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)對(duì)狀態(tài)變量的依賴關(guān)系，沒有外作用項(xiàng)；強(qiáng)迫系統(tǒng)：演化方程包含外來作用項(xiàng)，如以下方程描述的系統(tǒng)： 如果令，則上述強(qiáng)迫系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為n+1維自由系統(tǒng)來處理。2） 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 自治系統(tǒng)：演化方程中

6、不明顯包含時(shí)間t； 非自治系統(tǒng)：演化方程中明顯包含時(shí)間t，如以下方程描述的系統(tǒng)： 非自治系統(tǒng)的特例：變系數(shù)系統(tǒng)和含時(shí)間函數(shù)的強(qiáng)迫系統(tǒng)。如果將時(shí)間t作為新的狀態(tài)變量xn+1, 則非自治系統(tǒng)可以變?yōu)閚+1維自治系統(tǒng)。3、非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的求解1）解析方法只有在一些特殊情況下，非線性系統(tǒng)才能獲得解析解。一般情況下，得不到解析解。2）幾何方法主要用于分析系統(tǒng)的定性性質(zhì)。其特點(diǎn)是：避開解方程，從方程的結(jié)構(gòu)和參數(shù)中直接提取系統(tǒng)的定性信息。龐加萊開辟的微分方程定性理論及其后續(xù)發(fā)展為此提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。3）數(shù)值計(jì)算方法利用演化方程定量研究非線性系統(tǒng)普遍有效的方法是使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求得方程的近似解。

7、 4）近似求解對(duì)于弱非線性，通常按照“非線性是對(duì)線性的偏離”的觀點(diǎn)，用線性化方法研究系統(tǒng)的局部行為特性是非常有效的。例如，對(duì)于二維系統(tǒng)：不失一般性，設(shè)f1、f2在(x10,x20)附近連續(xù)可微，則上式可用泰勞級(jí)數(shù)公式展開為 =只要非線性系統(tǒng)在某一點(diǎn)附近滿足連續(xù)性、光滑性要求，就可以在該點(diǎn)附近看作弱非線性系統(tǒng)，將演化方程展開為線性模型，利用線性系統(tǒng)理論來分析，以期獲得對(duì)非線性系統(tǒng)局部行為特性的近似描述，這種方法叫做非線性系統(tǒng)的局部線性化處理。如果單純靠線性模型尚不能滿足要求，還可以把非線性項(xiàng)作為擾動(dòng)因素，對(duì)線性化分析結(jié)果加以修正，這叫做線性化加微擾方法，是線性科學(xué)對(duì)付非線性的主要手段。但是，線性

8、化加微擾的方法本質(zhì)上不是非線性系統(tǒng)理論的方法，而是線性系統(tǒng)理論的方法。它只限于處理非本質(zhì)的非線性問題，不能用于處理有間斷點(diǎn)、不光滑點(diǎn)的非線性問題。即使非本質(zhì)的非線性，也只適用于分析局部特性，不能用于大范圍問題。系統(tǒng)觀點(diǎn)和方法的優(yōu)勢(shì)是處理大范圍的、全局的問題，線性化處理不能真正體現(xiàn)這種優(yōu)點(diǎn)。線性化處理的要害是忽略非線性因素，而非線性因素正是系統(tǒng)產(chǎn)生多樣性、奇異性、復(fù)雜性的根源，線性化處理恰好簡(jiǎn)化掉了這個(gè)根源，因而不是處理非線性問題的根本方法。非線性系統(tǒng)理論研究的基本對(duì)象是不能線性化的問題，即系統(tǒng)在大范圍內(nèi)的行為，特別是本質(zhì)非線性現(xiàn)象。三、連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的若干復(fù)雜特征狀態(tài)量不隨時(shí)間而改變的系統(tǒng)，稱為

9、靜態(tài)系統(tǒng)或靜力學(xué)系統(tǒng)。描述靜態(tài)系統(tǒng)主要關(guān)心的，一是輸入量與輸出量的對(duì)應(yīng)關(guān)系Y=(U,C)，二是性能指標(biāo)J與輸入量U的對(duì)應(yīng)關(guān)系 J=(U,C)。靜態(tài)系統(tǒng)概念基于這樣一個(gè)假設(shè)：系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移可以在瞬間完成。狀態(tài)隨時(shí)間而改變的系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。一切實(shí)際存在的系統(tǒng)原則上都是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，靜態(tài)系統(tǒng)不過是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的過渡過程短暫到可以忽略的極限情形而已。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，或稱為演化(發(fā)展)方程。1、狀態(tài)、狀態(tài)變量、控制參量系統(tǒng)連續(xù)運(yùn)行中表現(xiàn)出來的狀況或態(tài)勢(shì)，稱為系統(tǒng)狀態(tài)，可用一組稱為狀態(tài)量的參量來表征。給定這些參量的一組數(shù)值，就是給定該系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，這些量的不同取值代表不

10、同的狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量。一般系統(tǒng)須用多個(gè)狀態(tài)變量刻畫，稱為多變量系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量x1，x2，xn，定義以狀態(tài)變量xi(i1，2，n)為分量的n維向量X為狀態(tài)向量。同一系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以有不同的選擇，但應(yīng)當(dāng)滿足以下要求：(1) 客觀性：具有現(xiàn)實(shí)意義，能反映系統(tǒng)的真實(shí)屬性；(2) 完備性：n足夠大，能全面刻畫系統(tǒng)的特性；(3) 獨(dú)立性：任一狀態(tài)量都不是其他狀態(tài)量的函數(shù)。系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的集合，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間。以狀態(tài)變量x1，x2，xn為坐標(biāo)張成的空間就是狀態(tài)空間，獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)n代表狀態(tài)空間的維數(shù)。真實(shí)系統(tǒng)往往把狀態(tài)變量限制于一定范圍，稱為系統(tǒng)的相空間。在相空間之外取值的可能狀態(tài)

11、沒有現(xiàn)實(shí)意義。為簡(jiǎn)化計(jì)，可把相空間與狀態(tài)空間看作一個(gè)概念。維數(shù)n是獨(dú)立決定系統(tǒng)狀態(tài)的最小自由度。理論上允許n為無窮大，在無窮維空間中討論問題。狀態(tài)空間可根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特性分類，如狀態(tài)變量離散地取值時(shí)，稱為離散狀態(tài)空間；連續(xù)取值時(shí)，稱為連續(xù)狀態(tài)空間。決定系統(tǒng)行為特性的還有另一類量，它反映環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的制約，往往不直接由系統(tǒng)決定，稱為環(huán)境參量。一般情形下這類量變化緩慢，與狀態(tài)量顯著不同，因而在一次觀察或運(yùn)行過程中可以看作常量。由于它們對(duì)系統(tǒng)行為特性有重要影響，有時(shí)可以改變系統(tǒng)的定性性質(zhì)，又可在一定范圍內(nèi)調(diào)整控制，常稱為控制參量。這兩類系統(tǒng)量的劃分是相對(duì)的：在一定條件下，為了降低相空間維數(shù)，把某些變化

12、相對(duì)緩慢的量作為控制參量進(jìn)行分析計(jì)算；但在另外的條件下，把其中一些量當(dāng)作狀態(tài)量可能更合理些?？刂茀⒘恳话悴恢挂粋€(gè)。以m記控制參量的個(gè)數(shù)，設(shè)系統(tǒng)的控制參量為c1，c2，cm，以它們?yōu)榉至啃纬傻膍維向量C稱為系統(tǒng)的控制向量。以控制參量為坐標(biāo)張成的空間，稱為控制空間或參量空間。系統(tǒng)的許多行為特性、特別是定性性質(zhì)的改變，要在控制空間才能看清楚。有時(shí)還要在狀態(tài)空間和控制空間構(gòu)成的乘積空間V狀態(tài)空間×控制空間中研究系統(tǒng)。輸入量與輸出量也是描述系統(tǒng)行為特性的重要變量。設(shè)系統(tǒng)有k個(gè)輸入變量ul，u2，uk，l個(gè)輸出變量yl，y2，yl，記輸入向量U=(ul，u2，uk)，記輸出向量Y=(yl，y2，

13、·，yl)。2、軌道、初態(tài)與終態(tài)、暫態(tài)與定態(tài)演化方程X=F(X,C)的每個(gè)解X(t)代表系統(tǒng)的一個(gè)行為過程，即狀態(tài)隨時(shí)間而變化的動(dòng)態(tài)過程。研究演化方程解的特性，是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論的基本任務(wù)。最理想的定量方法是求出方程的解析解，用數(shù)學(xué)分析工具徹底把握系統(tǒng)的行為特性，但能夠得到解析解的方程是很少的。借助計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解，這種近似方法更有效。定性方法基于相空間概念，繞開求解方程的難關(guān)，通過分析方程結(jié)構(gòu)和參量變化去描述解的定性特征，不僅直觀形象，而且能揭示解的一系列本質(zhì)特性，是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論的基本工具之一。 一個(gè)動(dòng)態(tài)過程開始時(shí)刻t0(通常取t00)的狀態(tài)X0，稱為系統(tǒng)的初態(tài)(初值，初始條件)。相空

14、間的每個(gè)點(diǎn)都有資格作為初態(tài)，動(dòng)力學(xué)認(rèn)為初態(tài)的獲得與系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律無關(guān)，是擾動(dòng)因素獨(dú)立作用的結(jié)果一旦系統(tǒng)在t0時(shí)刻獲得初態(tài)X0(x10，x20，xn0)，就會(huì)沿著通過X0的那條軌道演化，從而啟動(dòng)一個(gè)動(dòng)態(tài)過程；一個(gè)動(dòng)態(tài)過程在終了時(shí)刻t時(shí)趨向的有限狀態(tài)，稱為系統(tǒng)的終態(tài)。一個(gè)動(dòng)態(tài)過程可能沒有終態(tài)，即當(dāng)t時(shí)，x(t)沒有有限極限。具有實(shí)際意義的是存在終態(tài)的過程。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論關(guān)心的首要問題是系統(tǒng)的終態(tài)行為：是否存在終態(tài)？終態(tài)類型?終態(tài)在相空間如何分布？是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論研究的重要問題。1)平衡態(tài)：最簡(jiǎn)單一類定態(tài)是平衡態(tài)，在數(shù)學(xué)上由不動(dòng)點(diǎn)來刻劃。2)周期態(tài)：設(shè)(t)是演化方程的一個(gè)解，滿足條件 (t+T)=(

15、t), T為某個(gè)常數(shù)，則稱(t)是方程的一個(gè)以T為周期的周期解。周期解由相空間的一條閉曲線表示，代表系統(tǒng)的條周期軌道，數(shù)學(xué)上稱為極限環(huán)(Limit Cycle)，特點(diǎn)是當(dāng)t趨向于正或負(fù)無窮時(shí)附近的相軌道以該閉曲線為極限。3維以上的系統(tǒng)還可能出現(xiàn)更復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，用2維或多維環(huán)面表示。準(zhǔn)確地說，環(huán)面代表的是由不同頻率的周期運(yùn)動(dòng)合成的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)，叫做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。3)擬周期態(tài)：4)混沌態(tài)(分形) （略）定態(tài)與空間維數(shù)有密切關(guān)系。1維空間的狀態(tài)只能在一條線上變換、轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)只有不動(dòng)點(diǎn)表示的定態(tài)，即只有平衡運(yùn)動(dòng)一種行為方式。2維系統(tǒng)的狀態(tài)可以在平面上轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性比1維系統(tǒng)豐富得多，不僅有不動(dòng)

16、點(diǎn)，可以作平衡運(yùn)動(dòng)，還可能有極限環(huán)，作周期運(yùn)動(dòng)。但2維空間仍不夠?qū)掗煛?維和高維空間給系統(tǒng)提供了充分的舞臺(tái)，可以形成各種可能的定態(tài)，呈現(xiàn)出各種行為特性。3、穩(wěn)定性系統(tǒng)是在充滿各種擾動(dòng)因素的環(huán)境中產(chǎn)生出來并存續(xù)運(yùn)行的，受到擾動(dòng)后能否恢復(fù)和保持原來行為的恒定性，就是穩(wěn)定性問題。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要維生機(jī)制，穩(wěn)定性愈強(qiáng)，意味著系統(tǒng)維生能力愈強(qiáng)。從實(shí)用角度看，只有滿足穩(wěn)定性要求的系統(tǒng)，才能正常運(yùn)轉(zhuǎn)并發(fā)揮功能。穩(wěn)定性是一個(gè)復(fù)雜問題，在不同的系統(tǒng)現(xiàn)象和實(shí)際背景下需要不同的概念來描述。作為一種動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)理論關(guān)心的首先是軌道的穩(wěn)定性，亦即演化方程解X(t)的穩(wěn)定性,通常采用李亞普諾夫的穩(wěn)定性定義。定義1：

17、設(shè)是向量微分方程的解，定義在上，初態(tài)為，初值擾動(dòng)對(duì)應(yīng)的軌道為。如果對(duì)于足夠小的總有使得只要就有，則稱是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱是L穩(wěn)定的。否則，稱是李亞普諾夫意義下不穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱是L不穩(wěn)定的。定義2：設(shè)的解是L穩(wěn)定的。如果存在，使得只要就有，則稱是李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱是L漸近穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性完全取決于控制參量或特征值，與初態(tài)無關(guān)，這是線性系統(tǒng)的重要特征?？梢哉f一個(gè)線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而不只講某條軌道是否穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性需針對(duì)具體軌道，常用李亞普諾夫給出的兩個(gè)方法判別： 李亞普諾夫第一方法，又叫做線性近似法，是把非線性系統(tǒng)作線性化處理，判別所得線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由

18、于穩(wěn)定與否一般是系統(tǒng)的局部特性，這種判別法是有效的。只要變量變化足夠小，這種分析技術(shù)被稱為線性穩(wěn)定性分析。 李亞普諾夫第二方法，又稱直接方法。思路是：不從解方程入手，而是研究方程的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，構(gòu)造所謂李亞普諾夫函數(shù)V(x)，按V(x)性質(zhì)可以對(duì)穩(wěn)定性做出判斷。直接方法的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)V(x)，但至今尚無通用的構(gòu)造方法。軌道穩(wěn)定性，是系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。許多情形下還要考察系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性，即輸入輸出穩(wěn)定性(I/O穩(wěn)定)。簡(jiǎn)單地說，如果對(duì)于一個(gè)有界輸入|u(t)|<k1，存在有限時(shí)刻T，在-T內(nèi)只能產(chǎn)生一個(gè)有界輸出|y(t)|<k2，就說系統(tǒng)是I/O穩(wěn)定的，其中k1、k2都是有限數(shù)。簡(jiǎn)言

19、之，有界輸入必定產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)是I/O穩(wěn)定的。4、目的性與吸引子相空間中滿足以下3個(gè)條件的點(diǎn)集合A（可能包含1個(gè)點(diǎn)、有限個(gè)點(diǎn)或無限個(gè)點(diǎn)），稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的吸引子。l 終極性：處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠(yuǎn)去；處于目的態(tài)的系統(tǒng)“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無力改變這種狀態(tài)。l 穩(wěn)定性：目的態(tài)是系統(tǒng)自身質(zhì)的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)；l 吸引性：吸引性是目的性的根本要素，沒有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標(biāo)。只要系統(tǒng)尚未到達(dá)目的態(tài)，現(xiàn)實(shí)狀態(tài)與目的態(tài)之間必定存在非0的吸引力，牽引著系統(tǒng)向目的態(tài)運(yùn)動(dòng)。1）乍看起來穩(wěn)定性

20、與吸引性是一致的。這是一種假象，不僅存在滿足李雅普諾夫要求但沒有吸引性的定態(tài)，也存在有吸引性而不滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性要求的定態(tài)。例如以下系統(tǒng)為不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)時(shí)的所有軌道都有吸引力，但不是李雅普諾夫穩(wěn)定的；存在這樣的軌道，它們從無限接近點(diǎn)開始，但要經(jīng)歷很長(zhǎng)的旅程才能回到，如圖在軸（相空間）上標(biāo)明流線的走向。這表明穩(wěn)定性與吸引性是相互獨(dú)立的，互不包含。2）凡存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)。從暫態(tài)向漸近穩(wěn)定定態(tài)的運(yùn)動(dòng)過程，就是系統(tǒng)尋找目的的過程。所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點(diǎn)或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點(diǎn)或環(huán)上才能罷休。3）一個(gè)系統(tǒng)可能沒有吸引子，也可能同時(shí)存

21、在多個(gè)吸引子。不同吸引子可能屬于同一類型，也可能屬于不同類型。原則上講，幾類吸引子的各種組合都可能出現(xiàn)。4）當(dāng)相空間同時(shí)存在幾個(gè)吸引子時(shí)，整個(gè)相空間將以它們?yōu)橹行膭澐譃閹讉€(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域內(nèi)的軌道都以該吸引子為歸宿，稱為該吸引子的吸引域或流域。 5）線性系統(tǒng)可能沒有吸引子，至多存在一個(gè)吸引子，或?yàn)榉€(wěn)定結(jié)點(diǎn)，或?yàn)榉€(wěn)定焦點(diǎn)。只要有吸引子，整個(gè)相空間都是它的吸引域，定態(tài)對(duì)相空間所有軌道都有吸引作用。建立了系統(tǒng)演化方程后，可以用數(shù)學(xué)語言回答下列問題：系統(tǒng)有無吸引子？有幾個(gè)吸引子？有哪些類型的吸引子?吸引子在相空間如何分布?如何劃分吸引域(即確定吸引域的邊界)？等等。關(guān)于這些問題的一般結(jié)論，構(gòu)成所謂吸引子

22、理論。5、周期運(yùn)動(dòng)與自激振蕩在物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象、生命現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象和心理現(xiàn)象中，經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在不斷作時(shí)起時(shí)伏、或升或降的運(yùn)動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為振蕩。一種簡(jiǎn)單而常見的情形是有固定周期的振蕩，稱為周期運(yùn)動(dòng)。非線性系統(tǒng)只要有極限環(huán)，系統(tǒng)就可能在沒有外部周期力驅(qū)動(dòng)下由于本身的非線性效應(yīng)而自發(fā)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，稱自激振蕩；系統(tǒng)如果在有外部周期力驅(qū)動(dòng)下而出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，就稱他激振蕩。非線性系統(tǒng)在經(jīng)過線性化處理后，產(chǎn)生自激振蕩的根源就被當(dāng)作次要因素忽略掉，當(dāng)問題涉及系統(tǒng)的振蕩現(xiàn)象時(shí)，不可使用線性化方法。線性系統(tǒng)不存在極限環(huán)，表明它不可能自發(fā)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)，即自激振蕩。線性系統(tǒng)只有當(dāng)外部輸入周期性強(qiáng)迫作用時(shí)，才

23、會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。由于極限環(huán)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分，非線性系統(tǒng)的自激振蕩也有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。穩(wěn)定的自激振蕩是可自行維持的，稱為自持振蕩；不穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)的是非自持振蕩。例如在非線性動(dòng)力學(xué)發(fā)展史上起過重大作用的范德波爾方程 此處參量，為非線性阻尼項(xiàng)：當(dāng)時(shí)類似于正阻尼，當(dāng)時(shí)類似于負(fù)阻尼。為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，如下圖左邊所示，一條非圓的閉軌道；右圖為時(shí)間域上的行為，一種非正弦波的周期運(yùn)動(dòng)。因此這個(gè)方程描述的系統(tǒng)可以出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振蕩。 判斷一個(gè)非線性系統(tǒng)有無極限環(huán)，進(jìn)而了解是否可能發(fā)生自激振蕩，是非線性系統(tǒng)研究中具有重要理論和實(shí)際意義的問題。6、回歸性與非游蕩集 人們總是希望根據(jù)以

24、往的事件預(yù)見未來，前提是系統(tǒng)行為具有回歸性（回復(fù)性）。靜止的平衡態(tài)具有最平庸的回歸性：不動(dòng)也是回歸。周期運(yùn)動(dòng)具有最典型的回歸性，軌道上的每個(gè)狀態(tài)經(jīng)過確定的周期后必定嚴(yán)格地再次出現(xiàn)，只要沒有外部擾動(dòng)，每個(gè)狀態(tài)都會(huì)無數(shù)次的重復(fù)出現(xiàn)。一般情形下，回歸性并不要求嚴(yán)格地回到原有狀態(tài)，也不要求按確定的周期回歸，只要在過程中能夠反復(fù)回到其任意近的地方。注意：有限次的回歸后逃逸掉的狀態(tài)不算具有回歸性的狀態(tài)。具體地，數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義如下：系統(tǒng)的演化方程或其描述的動(dòng)力學(xué)規(guī)律記作，可以視作以相空間的點(diǎn)（系統(tǒng)的可能狀態(tài)）為對(duì)象的操作變換。將施加于初態(tài)，在過程中可以得到從出發(fā)的那條軌道上的所有的點(diǎn)；把施加于不同的初態(tài)，

25、可以得到相空間的所有點(diǎn)。這樣，相空間的點(diǎn)可以分為兩類：在變換作用下具有回歸性的相點(diǎn)稱為非振蕩的（Nonwanding），在有限次回歸后逃逸掉的相點(diǎn)稱為游蕩的（Wanding）。定義如下概念：令記相點(diǎn)的一個(gè)鄰域，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，與不相交，即 ，則稱為的一個(gè)游蕩點(diǎn)；否則，稱為的一個(gè)非游蕩點(diǎn)。7、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與分岔前面討論的都是在給定控制參量條件下在相空間研究系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，下面的討論是建立在控制參量變化基礎(chǔ)上的。1）結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性狀態(tài)空間是在給定控制參量的前提下建立的，在狀態(tài)空間中研究的是給定控制參量的特定系統(tǒng)。參量空間研究的是具有相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的演化方程描述的系統(tǒng)族，而不是單個(gè)系統(tǒng)，更不是系統(tǒng)的某

26、條軌道。控制參量的變化不改變系統(tǒng)演化方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但可能改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，包括定性性質(zhì)的改變，即系統(tǒng)相圖結(jié)構(gòu)的改變?？刂茀⒘康男_動(dòng)不會(huì)引起系統(tǒng)相圖定性特征的變化，就說系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的（Structure Stable）；如果控制參量的小擾動(dòng)引起系統(tǒng)相圖發(fā)生定性性質(zhì)的改變，就說系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。注意：（1）應(yīng)區(qū)分運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定是在狀態(tài)空間中研究系統(tǒng)的概念，反映的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或行為具有穩(wěn)定性；結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是在參量空間研究系統(tǒng)的概念，反映的是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律的穩(wěn)定性。（2）結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性不是指系統(tǒng)組分之間關(guān)聯(lián)方式的穩(wěn)定性，而是指系統(tǒng)相圖結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。但兩者有內(nèi)在聯(lián)系，如果系統(tǒng)在參量空

27、間表現(xiàn)出相圖的穩(wěn)定性，系統(tǒng)組分之間的關(guān)聯(lián)方式即結(jié)構(gòu)也是穩(wěn)定性的；反之，如果相圖結(jié)構(gòu)發(fā)生定性性質(zhì)變化，組分之間關(guān)聯(lián)方式必定出現(xiàn)定性性質(zhì)的變化。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性也是作為參量空間的局部特性來定義的，所以某些判別方法與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性相同。2）分岔控制參量變化所引起的系統(tǒng)定性性質(zhì)的改變，叫做分岔。分岔現(xiàn)象要在控制空間中考察。控制空間中引起分岔現(xiàn)象的臨界點(diǎn)，叫做分岔點(diǎn)。研究分岔的定義、分岔發(fā)生的條件、分岔的類型、如何求分岔解、解的穩(wěn)定性、解的對(duì)稱破缺等，構(gòu)成所謂分岔理論。 例幾種一維系統(tǒng)的分岔：l 鞍結(jié)分岔：l 跨臨界分岔：l 叉式分岔：例逐級(jí)分岔分岔是系統(tǒng)演化過程中廣泛存在的一種動(dòng)力學(xué)機(jī)制。系統(tǒng)演化之所以從單一到多樣、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，分岔機(jī)制是重要根源。分岔把歷史性賦予演化系統(tǒng)。系統(tǒng)后續(xù)演化所建立的定態(tài)，與它先前經(jīng)歷的分岔路線有關(guān)。分岔理論第一次揭示出物理系統(tǒng)也有歷史性。當(dāng)分岔點(diǎn)上存在不止一個(gè)新的穩(wěn)定分支解時(shí)，系統(tǒng)面臨如何選擇的問題。在一般情形下，幾個(gè)新定態(tài)是對(duì)稱的，有相同的機(jī)會(huì)接受選擇。存在兩種基本選擇(對(duì)稱破缺) 方式：一是誘導(dǎo)破缺選擇，環(huán)境中存在某種誘導(dǎo)力量，迫使系統(tǒng)