練習(xí)7矩陣函數(shù)

1、練習(xí)7矩陣函數(shù)知識(shí)背景MATLAB的全稱(chēng)是Matrix Laboratory，意思是矩陣實(shí)驗(yàn)室。可見(jiàn)，MATLAB最重要的功能在于矩陣運(yùn)算?？偹苤?，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線(xiàn)性問(wèn)題廣泛存在于自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，某些非線(xiàn)性問(wèn)題也能夠轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題來(lái)處理。而矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中最基本的工具。所有線(xiàn)性代數(shù)問(wèn)題歸根到底都是矩陣問(wèn)題。掌握了矩陣的計(jì)算方法，也就能夠掌握代數(shù)方法和幾何方法曲處理科學(xué)技術(shù)中遇到的難題。在本練習(xí)當(dāng)中我們就來(lái)學(xué)習(xí)MATLAB中重要的部分：矩陣函數(shù)。主要內(nèi)容【本練習(xí)考察知識(shí)點(diǎn)】本練習(xí)首先借扇MATLAB中常用的矩陣函數(shù)，包括求方矩陣的行列式，求一般矩陣的秩、矩陣的范數(shù)等。接著向

2、大家介紹矩陣的分解，如何根據(jù)計(jì)算要求將原有矩陣分解，這也是計(jì)算中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在本練習(xí)中，你將看到有關(guān)這方面的內(nèi)容。練習(xí)過(guò)程（1）首先我們來(lái)認(rèn)識(shí)MATLAB中常用的矩陣函數(shù)。我們將常用矩陣函數(shù)列表如下：表71常用矩陣函數(shù)函數(shù)功能Cond(A)求矩陣A的條件數(shù)Det（A）求方陣A的行列式Dot（A，B）矩陣A與B的點(diǎn)積Eig（A）方陣A的特征值合特征向量Norm（A，1）矩陣A的1范數(shù)Norm（A）、norm（A，2）矩陣A的2范數(shù)Funm（A，fun）一般的方陣函數(shù)Norm（A，inf）矩陣A的無(wú)窮大范數(shù)Norm（A，fro）矩陣A的F范數(shù)Rank（A）矩陣A的秩Rcond（A）矩陣A的倒條

3、件數(shù)Svd（A）矩陣A的奇異值分解Trace（A）矩陣A的跡Expm（A）求的值Expm1（A）用Pade法求的值Expm2（A）用求用Tayor級(jí)數(shù)求的值Expm3（A）用特征值和特征向量求的值（獨(dú)立特征向量等于矩陣秩）Logm（A）求矩陣A的對(duì)數(shù)Sqrtm（A）求矩陣的平方根我們?cè)谙旅娴睦又衼?lái)看一下矩陣函數(shù)的用法：我們?cè)诿顓^(qū)中輸入：Arand（4）；adet（A）btrace（A）crank（A）dnorm（A，inf）enorm（A，fro）得到如下的結(jié)果：a=0.1155 （A的行列值）b=2.7334（求得A的跡）c=4 （求得方陣A的秩）d=3.5846（求得方陣A的無(wú)窮大范數(shù)

4、）e=2.5716（求得方陣A的F范數(shù)）從上面的例子可以看出，有了這些函數(shù)，我們將能夠很方便、快捷地計(jì)算出矩陣的相關(guān)數(shù)值。那么，矩陣函數(shù)和我們?cè)谏蟼€(gè)練習(xí)中學(xué)到的標(biāo)量函數(shù)和向量函數(shù)有什么區(qū)別呢？如果我們?cè)诿顓^(qū)中輸入：A1/6,1/2;2/3,5/6*pi;Bsin(A)Cfunm（B，sin）得到的結(jié)果如圖71所示：從圖中我們可以清楚地看到，對(duì)于一個(gè)矩陣，數(shù)組型函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)和向量函數(shù)）是對(duì)矩陣中的每一個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算，而矩陣函數(shù)則先進(jìn)行矩陣特征值分解，然后再進(jìn)行計(jì)算。這是很重要的區(qū)別，請(qǐng)讀者注意。（2）矩陣分解在代數(shù)運(yùn)算中，往往要牽涉到矩陣分解。它是矩陣計(jì)算的基礎(chǔ)，是很重要的一環(huán)。下面我們來(lái)學(xué)

5、習(xí)分解矩陣。我們來(lái)學(xué)習(xí)解線(xiàn)性方程組經(jīng)常要用到的LU分解。LU分解，又稱(chēng)作高斯消去法，它可以把任意方陣分解成下三角矩陣的基本變換形式和上三角矩陣的乘積。它的表達(dá)式為：ALU。其中，L為下三角矩陣的基本表達(dá)形式，U為上三角矩陣。比如說(shuō)，我們有矩陣A2，3，4；6，7，8，；1，5，9，想要分解成兩個(gè)矩陣的乘積。首先在命令區(qū)中輸入：A2，3，4；6，7，8，；1，5，9l,u=lu(A)按回車(chē)后，將得到如圖72所示的結(jié)果。從結(jié)果中我們可以清楚地看到，矩陣A被分解成了兩個(gè)矩陣地的積，其中，u是一個(gè)下三角陣。矩陣LU分解是一個(gè)非常有用的分解函數(shù)，MATLAB里矩陣的求逆和求行列式都是通過(guò)LU分解來(lái)實(shí)現(xiàn)的

6、。我們?cè)賮?lái)看一下如何驚醒奇異值分解。不妨設(shè)矩陣A的行數(shù)大于列數(shù)，b是矩陣A中n個(gè)奇異值所構(gòu)成的列向量。若A=1,2;3,4;5,6，如何對(duì)它進(jìn)行奇異值分解呢？我們來(lái)使用svd函數(shù)命令。在命令區(qū)輸入：A=1,2;3,4;5,6；a,b,c=svd(A)e,f,g=svd(A,0)得到以下結(jié)果：a=0.22980.88350.40820.52470.2408 0.81650.8196 0.40190.4082b=9.525500 0.51430 0c=0.6196 0.78490.7849 0.6196e=0.22980.88350.52470.24080.8196 0.4019f=9.52550

7、0 0.5143g=0.6196 0.78490.78490.6196上述結(jié)果中，a、b、c是奇異值分解的結(jié)果：d、e、f是以簡(jiǎn)單形勢(shì)給出的奇異值分解結(jié)果。為了讓讀者一目了然，我們將矩陣的分解命令總結(jié)如表72所示。表72矩陣分解函數(shù)函數(shù)功能Cdf2rdf（V，D）復(fù)數(shù)對(duì)角形轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)塊對(duì)角形Cchol（A）矩陣A的Cholesky分解Eig（A）矩陣A的特征值分解Hess（A）矩陣A的Hessenberg形式Lu（A）矩陣A的Lu分解Null（A）由奇異陣分解得出的矩陣A的零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基Orth（A）矩陣A行向量的標(biāo)準(zhǔn)正交基Pinv（A）求矩陣A的偽逆Qr（A）矩陣A的QR正交三角形分解Q

8、z（A）矩陣A的QZ分解，用于廣義特征值Rref（A）將矩陣A轉(zhuǎn)化為逐行遞減的階梯陣Rsf2csf（V，D）實(shí)數(shù)塊對(duì)角形轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)對(duì)角形Schur（A）矩陣A的Schur分解Subspace（A）計(jì)算由A、B張成的子空間的夾角Svd（A）方陣A的奇異值分解請(qǐng)讀者對(duì)照上表，練習(xí)幾個(gè)命令。相信讀者能夠舉一反三，最終熟練使用矩陣分解命令，從而完成矩陣計(jì)算?！揪毩?xí)小結(jié)】本練習(xí)主要向大家介紹了MATLAB中常用的矩陣函數(shù)和分解函數(shù)。如何利用矩陣函數(shù)進(jìn)行矩陣運(yùn)算，如何利用矩陣分解函數(shù)恰當(dāng)?shù)貙⒃芯仃嚪纸鉃樾碌木仃?，這些內(nèi)容都要求讀者掌握。這里特別強(qiáng)調(diào)指出的是LU函數(shù)。因?yàn)樗桥c解線(xiàn)性方程組有關(guān)的一個(gè)非常重

9、要的函數(shù)，所以請(qǐng)讀者熟練掌握?！舅伎碱}】1、 創(chuàng)建一個(gè)矩陣，然后求出它的秩。這要用到什么命令？2、 MATLAB中有擊中求范數(shù)的函數(shù)命令，它們的區(qū)別是什么？3、 矩陣函數(shù)與數(shù)組型函數(shù)有什么區(qū)別？4、 矩陣分解除了LU命令外，還有哪擊中？分解后的矩陣是什么形式的矩陣？5、 試分解第1題中創(chuàng)建的矩陣。解答：1、創(chuàng)建一個(gè)矩陣，然后求出它的秩。這要用到什么命令？創(chuàng)建一個(gè)3*3矩陣：a= 1 2 3 ;6 5 4;7 8 9a= 1 2 3 6 5 47 8 9求秩：用rank(a)命令 rank(a)ans =22、MATLAB 有幾種求范數(shù)的函數(shù)命令，它們的區(qū)別是什么？求范數(shù)的命令有：norm(a,1) 用于求矩陣a的1范數(shù)norm(a,2) 用于求矩陣a的2范數(shù)norm(a,inf) 用于求矩陣a的無(wú)窮大范數(shù)norm(a,fro) 用于求矩陣a的F范數(shù)3、矩陣函數(shù)與數(shù)組型函數(shù)有什么區(qū)別？對(duì)于一個(gè)矩陣，數(shù)組型函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)和向量函數(shù)）是對(duì)矩陣中的每一個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算，而矩陣函數(shù)則先進(jìn)行矩陣特征值分解，然后再進(jìn)行計(jì)算。4、矩陣分解了作了用LU命令外，還有哪幾種？分解后的矩陣是什么形式的矩陣？還有cchol(a