直線的點(diǎn)向式參數(shù)式一般式方程之間的互化ppt課件

1、 以以下下任任何何一一種種情情形形,都都唯唯一一確確定定一一條條直直線線： （1）作作為為兩兩個(gè)個(gè)相相交交平平面面的的交交線線與與 21 ； （2）21 , MM經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)兩兩點(diǎn)點(diǎn)； （3）M 經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)一一點(diǎn)點(diǎn)，且且平平行行于于一一個(gè)個(gè)非非零零向向量量。 7 7. .3 3. .2 2 直直線線的的方方程程 0022221111DzCyBxADzCyBxA 就表示交線就表示交線L的方程，式稱為空間直線的的方程，式稱為空間直線的一般方程一般方程。 一一 、 直直 線線 的的 方方 程程 （一一）直直線線的的一一般般方方程程 當(dāng)當(dāng)空空間間直直線線 L 作作為為兩兩個(gè)個(gè)相相交交平平面面 1 ：0111

2、1 DzCyBxA， 2 ：02222 DzCyBxA， 的的交交線線時(shí)時(shí)，方方程程組組 xyzo1 2 L 設(shè)直線設(shè)直線 L 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)) , , (zyxM， 方向向量為方向向量為 , ,nmla ， ) , , (zyxM是是 L 上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)， 則則 , ,zzyyxxMM ， （二二）直直線線的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程（或或點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程）與與直直線線平平行行的的非非零零向向量量稱稱為為直直線線的的方方向向向向量量。 例如：方程組例如：方程組 00zy， 00zx， 00yx 分別表示分別表示軸軸 x、軸軸軸和軸和 zy。 MMLyxzoa 直直線線的的任任一一方方向向nml

3、a , , 的的三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量稱稱為為直直線線的的 一一組組方方向向數(shù)數(shù)。 由由MM a，得得： nzzmyylxx ， 式式稱稱為為直直線線的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程或或點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程。 （三三）直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 ntzzmtyyltxx， 方方程程組組稱稱為為直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程。 當(dāng)當(dāng)nml , ,中中有有兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例例如如0 ml，而而0 n， 則則應(yīng)應(yīng)理理解解為為 . 0, 0yyxx 在在直直線線方方程程中中，設(shè)設(shè)tnzzmyylxx ，則則有有 直線的點(diǎn)向式、參數(shù)式、一般式方程之間的互化直線的點(diǎn)向式、參數(shù)式、一般式方程之間的互化 由直線的點(diǎn)向

4、式方程容易得出參數(shù)式方程。由直線的點(diǎn)向式方程容易得出參數(shù)式方程。反之，由反之，由 參數(shù)式方程顯然能直接寫出點(diǎn)向式方程。參數(shù)式方程顯然能直接寫出點(diǎn)向式方程。 把把點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程的的連連等等式式nzzmyylxx 寫寫成成 兩個(gè)方程兩個(gè)方程 nzzmyymyylxx ，即，即 . 0)()(, 0)()(zzmyynyylxxm 便便是是直直線線的的一一般般方方程程。 把把一一般般式式方方程程化化為為點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程，歸歸結(jié)結(jié)為為在在直直線線上上找找出出 一一確確定定點(diǎn)點(diǎn)和和求求出出直直線線的的方方向向向向量量。 再再求求直直線線的的a 方方向向向向量量。由由于于兩兩平平面面的的交交線線

5、與與這這兩兩平平面面 的的法法向向量量1 , 1 , 11 n和和3 , 1 , 22 n都都垂垂直直， 故故取取3 1, , 431211121 kjinna， 直直線線的的點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程為為3142 zyx。 例例 6用用點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程及及參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示直直線線 043202zyxzyx。 解解： （方方法法 1）先先在在直直線線上上找找一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，0 z令令 代代入入原原方方程程組組得得2 x，0 y，則則點(diǎn)點(diǎn)0) 0, , 2( M在在直直線線上上。 （方法方法 2）在直線上取兩點(diǎn)）在直線上取兩點(diǎn)0) 0, , 2( M，)23 ,21 , 0(1 M

6、， 則直線的方向向量為則直線的方向向量為23 ,21 , 21 MM。 直直線線的的點(diǎn)點(diǎn)向向式式方方程程為為232122 zyx， 即即3142 zyx， t 令上式比值為令上式比值為，得得直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程： 3 42tztytx。 （四四）直直線線的的向向量量式式方方程程 在在直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 ntzzmtyyltxx 中中， 若若記記,zyxr ， , ,zyxr ， , ,nmla ，則則有有 t arr 上上式式稱稱為為直直線線的的向向量量式式方方程程。 （五五）直直線線的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程 故故所所求求直直線線方方程程為為 121121121 zzzzyy

7、yyxxxx 。 方方程程稱稱為為直直線線的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程。 解：解：21 , MM直線過(guò)點(diǎn)直線過(guò)點(diǎn)， 取取作為方向向量作為方向向量 , ,12121221zzyyxxMM ， 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)) , , (1111zyxM，) , , (2222zyxM的的直直線線的的方方程程。 二二、空空間間兩兩直直線線的的夾夾角角 兩兩直直線線方方向向向向量量的的夾夾角角（通通常常指指銳銳角角）稱稱為為兩兩直直線線的的夾夾角角。 設(shè)兩直線設(shè)兩直線1L和和2L的方向向量分別為的方向向量分別為 , ,1111nmla ， , ,2222nmla ，則它們的，則它們的 夾夾角角 應(yīng)是應(yīng)是),(21aa或或

8、),(),(2121aaaa 兩者中的銳角，故兩者中的銳角，故 ),cos(cos21aa ，即，即 . cos2222222121212121212121nmlnmlnnmmllaaaa 三、空間兩直線的位置關(guān)系三、空間兩直線的位置關(guān)系 設(shè)設(shè)有有兩兩直直線線 1111111 :nzzmyylxxL ， 2222222 :nzzmyylxxL ， 11111),(LzyxM ， 22222),(LzyxM ， ,1111nmla 為為的的 1L方方向向向向量量， ,2222nmla 為為的的 2L方方向向向向量量。 （1） 1L2L 1a2a212121nnmmll ， （2）1L 2L1a

9、2a0212121 nnmmll； （3）共共面面向向量量共共面面與與 , , 212121aaMMLL ; 0 2121 aaMM（4）0 212121 aaMMLL異異面面與與； （5）212121 aaLLLL不不平平行行于于共共面面且且與與相相交交與與 0 0 212121 aaaaMM且且。 例例 7直直線線 L 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(A且且與與直直線線321 :1zyxL 和和 431221:2 zyxL都都相相交交，求求直直線線 L 的的方方程程。 1)0 , 0 , 0(LB ，2)3 , 2 , 1(LC ， 1 , 1 , 1 AB，2 , 1 , 0 AC， 解解

10、：設(shè)設(shè) L 的的方方程程為為nzmylx111 ， 2121 , , , ,aaaLLL的的方方向向向向量量分分別別為為， 則則 , ,nmla ，3 , 2 , 1 1 a，4 , 1 , 2 2 a。 解解得得m nl2 , 0 ， 故故 L 的的方方程程為為mzmyx21101 ，即即211101 zyx。 0242 210 412 0 22 nmlnmlACaaLL共共面面與與， 02 111 321 0 11 nmlnmlABaaLL共共面面與與， 四四、直直線線與與平平面面的的夾夾角角 當(dāng)當(dāng)直直線線與與平平面面不不垂垂直直時(shí)時(shí)，直直線線與與它它在在平平面面上上的的投投影影 直直線線

11、的的夾夾角角)20( ，稱稱為為直直線線與與平平面面的的夾夾角角。 當(dāng)當(dāng)直直線線與與平平面面垂垂直直時(shí)時(shí)，規(guī)規(guī)定定直直線線與與平平面面的的夾夾角角2 。 故故),cos(sinna ，即即 .sin222222CBAnmlCnBmAl 設(shè)直線的方向向量為設(shè)直線的方向向量為,nmla ， 平面的法向量為平面的法向量為,CBAn ， 直線與平面的夾角為直線與平面的夾角為 ， 則則 2),(na或或 2),(na，),(2na ， nL L直直線線L與與平平面面 的的位位置置關(guān)關(guān)系系如如下下： （1）L )(上上不不在在 L . 0 , 0000DCzByAxCnBmAl （2）上上在在 L . 0

12、 , 0000DCzByAxCnBmAl （3）L nCmBlAna /. 直直線線 L：nzzmyylxx ， 平平面面 ：0 DCzByAx， （4） L交交點(diǎn)點(diǎn) P0 CnBmAl. 例例 8設(shè)有設(shè)有L 直線直線： 03102 0123zyxzyx及及 平平面面：0224 zyx，則則L 直直線線（ ） （A） 平行于平行于； （B）上上在在 ； （C） 垂垂直直于于； （D）斜斜交交與與 。 1 , 2 , 47 7 , 41 ,28 10 , 1 , 2 2 , 3 , 1 a， 平平面面的的法法向向量量為為 1 , 2 , 4 n， an，從從而而 平平面面直直線線 L，故故應(yīng)應(yīng)選

13、選（C） 。 C解解：L 直直線線的的方方向向向向量量為為 例例 9求求直直線線 tztytx2321與與平平面面052 zyx的的交交點(diǎn)點(diǎn)。 五五、直直線線與與平平面面的的交交點(diǎn)點(diǎn) 05) 23()2()1(2 ttt， 解解出出4t， 再再把把4 t代代入入直直線線方方程程，得得3 x，6 y，5 z， 即即交交點(diǎn)點(diǎn)為為)5 6, , 3( P。 設(shè)設(shè)) , ,(zyxM為為直直線線L 外外一一點(diǎn)點(diǎn)，L 的的a 方方向向向向量量為為， 求求dLM 的的距距離離到到。 則則 aaMMd 1。 六六、點(diǎn)點(diǎn)到到直直線線的的距距離離 M1MdaL解解：在在 L 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),(1111z

14、yxM，以以MM1a 和和為為邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積為為aMM 1， 上上的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)，則則，分分別別為為，方方向向向向量量分分別別為為為為兩兩異異面面直直線線，設(shè)設(shè)21212121, LLMMaaLL七七、兩兩異異面面直直線線的的距距離離 212121212121 )( aaaaMMaaaaMMd 1L1M2M2L2a1a例例 10求求兩兩異異面面直直線線 L1：111343 zyx， L2：1202 zyx間間及及的的距距離離 d公公垂垂線線 L 的的方方程程。 解解：1 , 0 , 2 ,1 , 1 , 4 ,2121 aaLL的的方方向向向向量量為為， 2 , 2

15、, 11, 0 , 21 , 1 , 421 aa， 12 , 2 , 11 , 3 , 3)(2121 aaMM， .3131 )( 212121 aaaaMMd 11)1 , 3 , 3(LM ，22)2 , 0 , 0(LM ，1 , 3 , 321 MM， 公公垂垂線線 L 的的2 , 2 , 1 21 aaa方方向向向向量量， 11 所所確確定定的的平平面面記記為為與與 LL， 22 所所確確定定的的平平面面記記為為與與 LL， 設(shè)設(shè)2121 nn和和的的法法向向量量分分別別為為和和平平面面 ，則則 1 , 1 , 099, 9, 01, 1 , 42, 2 , 111 aan， 4

16、, 5, 21 , 0 , 22, 2 , 1 22 aan， 0)1(1)3(1)3(0 1 zyx的的方方程程為為， 即即02 zy。 又又11)1 , 3 , 3( M，22)2 , 0 , 0( M， 0)2(4)0(5)0(2 2 zyx的的方方程程為為， 即即08452 zyx。 或或把把 L2化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 tzytx202，代代入入的的方方程程平平面面1 ， )2 , 0 , 8(12 AL ， 故故公公垂垂線線方方程程為為22218 zyx。 21 L，公公垂垂線線L L的的方方程程為為 . 08452 , 02zyxzy 八八、過(guò)過(guò)直直線線的的平平面面束束 設(shè)設(shè)直

17、直線線L L的的方方程程為為 0022221111DzCyBxADzCyBxA) (21 L， 通通過(guò)過(guò)定定直直線線的的所所有有平平面面的的集集合合稱稱為為平平面面束束。 則則過(guò)過(guò) L 的的平平面面束束為為 0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA， 其其中中022 。 若若0 , 1 ，即為，即為的方程的方程平面平面 1 ； 若若1 , 0 ，即為，即為的方程的方程平面平面 2 。 表示缺少一個(gè)平面表示缺少一個(gè)平面 的平面束。的平面束。方方程程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 注：注：2 例例 11求求直直線線 L： 0101zyxzyx在在 平平面面：052 zyx 上上的的的的投投影影直直線線 1L方方程程。 解解：設(shè)設(shè)過(guò)過(guò)直直線線 L 的的平平面面束束方方程程為為 0)1()1( zyxzyx， 即即 0)()()()( zyx， 設(shè)設(shè)在在平平面面束束中中與與 平平面面垂垂直直的的平平面面1 為為， 則則 平平面面與與1 平平面面的的交交線線為為 1L投投影影直直線線。 1L投投影影直直線線的的方方程程為為