微分幾何彭家貴課后題答案

1、習(xí)題一（P13）2.設(shè)是向量值函數(shù)，證明：（1）常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；（2）的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)。（1）證明：常數(shù)常數(shù)常數(shù)。（2）注意到：，所以的方向不變單位向量常向量。若單位向量常向量，則。反之，設(shè)為單位向量，若，則。由為單位向量。從而，由常向量。所以，的方向不變單位向量常向量。即的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)。補(bǔ)充：定理 平行于固定平面的充要條件是。證明：若平行于固定平面，設(shè)是平面的法向量，為一常向量。于是，。：若，則。若則方向固定，從而平行于固定平面。若，則。令則3.證明性質(zhì)1.1與性質(zhì)1.2。性質(zhì)1.1（1）證明：設(shè)，則（2）證明：設(shè)，則（3）證明：設(shè)，則同理，所以，。性質(zhì)1.2證明：（1）證明：（2）4.

2、設(shè)是正交標(biāo)架，是的一個(gè)置換，證明：（1）是正交標(biāo)架；（2）與定向相同當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)偶置換。（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，是正交標(biāo)架。（2）證明：A)當(dāng)B)當(dāng)C)當(dāng)D) 當(dāng)，此時(shí)，；E) 當(dāng)F) 當(dāng)所以，與定向相同當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)偶置換。習(xí)題二（P28）1. 求下列曲線的弧長(zhǎng)與曲率：（1）解：所以，2. 設(shè)曲線，證明它的曲率為 證明：3. 設(shè)曲線C在極坐標(biāo)下的表示為，證明曲線C的曲率表達(dá)式為證明：所以，； ；。因此，4. 求下列曲線的曲率與撓率：（4）解：；。所以，；。5. 證明：的正則曲線的曲率與撓率分別為，。證明：根據(jù)弗雷內(nèi)特標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程 ，得： 所以，。6證明：曲線 以為弧長(zhǎng)參數(shù)，并求出它

3、的曲率，撓率與Frenet標(biāo)架。證明：1）所以，該曲線以為弧長(zhǎng)參數(shù)。由及得所以，2）；，。3）所求Frenet標(biāo)架是，其中，。10.設(shè)是中的一個(gè)合同變換，。是中的正則曲線。求曲線與曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)、曲率、撓率之間的關(guān)系。解：（1）可見，與曲線除相差一個(gè)常數(shù)外，有相同的弧長(zhǎng)參數(shù)。（2）可見，與曲線有相同的曲率。（3）可見，與曲線的曲率相差一個(gè)符號(hào)。13.（1）求曲率（是弧長(zhǎng)參數(shù)）的平面曲線。解：設(shè)所求平面曲線因?yàn)槭腔￠L(zhǎng)參數(shù)，所以可設(shè)，由曲率的定義，知所以，所求平面曲線。20.證明：曲線與曲線是合同的。證明：1）對(duì)曲線作參數(shù)變換，則。 可知是圓柱螺線()，它的曲率和撓率分別為，。因此，只要證明曲線的

4、曲率，撓率，從而根據(jù)曲線論基本定理，它們可以通過(guò)剛體運(yùn)動(dòng)彼此重合。2）下面計(jì)算曲線的曲率與撓率。由，進(jìn)而 。21.證明：定理4.4定理4.4 設(shè)是連續(xù)可微函數(shù)，則（1） 存在平面的曲線，它以為弧長(zhǎng)參數(shù)，為曲率；（2） 上述曲線在相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)的意義下是唯一的。證明：先證明（1），為此考慮下面的一階微分方程組給定初值，其中是中的一個(gè)與自然標(biāo)架定向相同的正交標(biāo)架，以及，則由微分方程組理論得，有唯一一組解滿足初始條件：。若為所求曲線，則必是它的Frenet標(biāo)架。因此，我們首先證明均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。將微分方程組改寫成其中 。是一個(gè)反對(duì)稱矩陣，即令對(duì)求導(dǎo)，并利用有：表明是微分方程組的解。定

5、義則且即 所以，是微分方程組的解。注意到：，所以是微分方程組滿足初始條件的唯一解。從而所以， 均是正交標(biāo)架。由于是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且。故由知，?？梢姡桥c自然定向相同的正交標(biāo)架。于是由微分方程組有：，這表明為弧長(zhǎng)參數(shù)。從而由推出是單位切向量。由推出是曲線的曲率，從而由推出由，即是單位正法向量。可見，微分方程組的滿足初始條件：唯一一組的確表明：存在平面的曲線，它以為弧長(zhǎng)參數(shù)，為曲率，當(dāng)是連續(xù)可微函數(shù)時(shí)。再證明（2）：設(shè)與是平面中兩條以為弧長(zhǎng)參數(shù)的曲線，且定義在同一個(gè)參數(shù)區(qū)間上，。則存在剛體運(yùn)動(dòng)把曲線變?yōu)?，即。證明開始：設(shè)，考慮兩條曲線在處的Frenet標(biāo)架與。則存在平面中一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)把第二個(gè)標(biāo)

6、架變?yōu)榈谝粋€(gè)標(biāo)架，即與在處的Frenet標(biāo)架重合。因此我們只須證明當(dāng)曲線與在處的Frenet標(biāo)架重合時(shí)，。曲線Frenet標(biāo)架的標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程為這是一個(gè)關(guān)于向量值函數(shù)的常微分方程。曲線的Frenet標(biāo)架與的Frenet標(biāo)架都是微分方程組的解。它們?cè)谔幹睾暇鸵馕吨@兩組解在的初值相等，由解對(duì)初值的唯一性定理立即得到。定理證明完成。習(xí)題三（P68）2（1）是什么曲面？解：4.證明：曲面的切平面過(guò)原點(diǎn)。證明：無(wú)妨假定方程確定一個(gè)的隱函數(shù)，于是設(shè)，則所以，處的切平面為易見，當(dāng)時(shí)，有：所以結(jié)論為真。6. 證明：曲面在點(diǎn)的切平面等于曲面上過(guò)點(diǎn)的曲線在點(diǎn)的切向量的全體。證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為，。令為參數(shù)區(qū)域

7、中過(guò)則的參數(shù)曲線，為曲面上過(guò)點(diǎn)的曲線。于是這表明曲線過(guò)點(diǎn)的切向量都可由與線性表出。可見過(guò)點(diǎn)的切向量都在過(guò)點(diǎn)的切平面上。另一方面，對(duì)于任意切向量 ，在參數(shù)區(qū)域中取過(guò)且方向?yàn)榈膮?shù)曲線則此時(shí)，從而 。這表明：在點(diǎn)的切平面中每一個(gè)向量都是過(guò)點(diǎn)的某一曲線的位于點(diǎn)的切向量。于是：曲面在點(diǎn)的切平面等于曲面上過(guò)點(diǎn)的曲線在點(diǎn)的切向量的全體。25. 求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對(duì)應(yīng)的主方向. 解： 由，。，其中 。由，。于是Gauss曲率：，平均曲率：。因?yàn)椋裕灾髑剩簩?duì)應(yīng)的主方向?yàn)椋渲?所以。同理，另一個(gè)主曲率：，對(duì)應(yīng)的主方向?yàn)椤Ｗⅲ涸O(shè)為外恩格爾登變換，則。補(bǔ)充：定理（1）

8、函數(shù)是主曲率的充要條件是 。（2）方向 d = du:dv 是主方向的充要條件是。證明：（1）設(shè)是對(duì)應(yīng)的主方向，則有，即。分別用與上式兩邊作內(nèi)積，得 ，。所以主方向滿足 由于不全為零，可得 （2）在臍點(diǎn)，。 從而由可知，中的兩個(gè)方程成為恒等式。此時(shí)，任何方向都是主方向。在非臍點(diǎn)，分別用和代入得到相應(yīng)的主方向和。將改寫成 由于不全為零，有 。28曲面上的一條曲線稱為曲率線，如果曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向。證明：曲線是曲率線當(dāng)且僅當(dāng)沿著，與平行。證明： 設(shè)為外恩格爾登變換，則。所以，曲線是曲率線當(dāng)且僅當(dāng)沿著，與平行。29.設(shè)是曲面的一個(gè)參數(shù)表示，證明：曲面的參數(shù)曲線和是曲率線的充要條件是。證明：曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價(jià)于曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向曲線在每一點(diǎn)，同理，曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價(jià)于曲線在每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的一個(gè)主方向曲線在每一點(diǎn)，顯然，（假若，則矛盾?。?。從而。所以，曲面的參數(shù)曲線和是曲率線的充要條件是。35.若曲面是極小曲面，證明：除相差一個(gè)常數(shù)外，它可以寫成 ，這個(gè)曲面稱為Scherk面。證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為，則， 。因此，。由得到，即